Title: PROGETTO LAUREE SCIENTIFICHE
1PROGETTO LAUREE SCIENTIFICHE
2PRINCIPI DELLA LOGICA ARISTOTELICA
3INDIMOSTRABILI DI CRISIPPO
- Se p, allora q. Ma p dunque q. ( es. Se é giorno,
c'é luce. Ma é giorno, dunque c'é luce) - Se p, allora q. Ma non q, dunque non p ( es . Se
é giorno, c'é luce. Ma non c'é luce, dunque non é
giorno ) - Non possono essere p e q insieme. Ma p, dunque
non q ( es . Non può essere insieme giorno e
notte. Ma é giorno, dunque non é notte ) - O p o q. Ma p, dunque non q ( es . O é giorno o é
notte. Ma é giorno, dunque non é notte) - O p o q. Ma non q, dunque p ( es . O é giorno o é
notte. Ma non é notte, dunque é giorno)
4PROPOSIZIONI E CONNETTIVI
Una proposizione atomica è unespressione di
senso compiuto formata da un soggetto, un
predicato ed eventuali complementi per la quale
abbia senso chiedersi se è vera o falsa. Le
proposizioni composte si ottengono da quelle
atomiche tramite i connettivi 1) v
vel (disgiunzione inclusiva) 2) aut
(disgiunzione esclusiva) 3) ? se
allora (implicazione logica) 4) lt?gt se e
solo se (coimplicazione logica) 5) ? et
(congiunzione logica)
5TAVOLA DELLE VERITÀ
P Q P ?Q P? Q P Q P?Q Plt?gtQ
F F F F F V V
F V F V V V F
V F F V V F F
V V V V F V V
6VERIFICA CON ESEMPIO
- Stasera vado al cinema o in pizzeria
- Non vado al cinema
- -------------------------------- (corretto)
- Vado in Pizzeria
- Un esempio di ragionamento scorretto (detto anche
paralogismo) è invece il seguente - Se la benzina finisce allora la macchina si ferma
- La benzina non finisce
- ---------------------------------(non corretto)
- Allora la macchina non si ferma
7PROBLEMINO LOGICO
- Antonio afferma che Barbara mente
- Barbara afferma che Carlo mente
- Carlo afferma che Antonio e Barbara mentono
- E facile accorgersi che Antonio non può dire il
vero, altrimenti Barbara direbbe il falso, da cui
Carlo direbbe il vero Antonio e Barbara
mentono. Quindi avremmo che Antonio mente e
non mente , contraddizione. Quindi Antonio
mente, Barbara dice il vero e Carlo mente.
8QUANTIFICATORI
- In logica ci sono i quantificatori universale e
esistenziale che corrispondono rispettivamente
alle espressioni ogni cosa e qualcosa - In simboli
-
- per ogni
-
- esiste almeno un
9CANTOR
- Cantor
- Dato un insieme X, l'insieme delle parti di X
(cioè l'insieme formato da tutti i possibili
sottoinsiemi di X) ha sempre cardinalità maggiore
di quella di X.
10DIMOSTRAZIONE TEOREMA DI CANTOR (DIAGONALE DI
CANTOR)
Sia A N e P(A) linsieme dei sottoinsiemi di N.
Si suppone, per assurdo, che esista una
corrispondenza biunivoca tra gli elementi di N e
i sottoinsiemi di N. Si costruisce una tabella
nelle cui colonne sono inseriti i numeri naturali
e nelle righe i sottoinsiemi, il primo insieme è
quello dei numeri pari e così via.
1 2 3 4 .
Pari NO SI NO SI
Dispari SI NO SI NO
Primi NO SI SI NO
Multipli di 3 NO NO SI NO
.
Nuovo SI SI NO SI
Questo nuovo sottoinsieme non è corrispondente di
nessun numero naturale, non si trova in alcuna
riga della tabella.
11CANTOR E LINFINITO
- 1.Supponiamo per assurdo che l'intervallo 0,1
sia numerabile. - 2.ciò implica che gli elementi di 0,1 possono
essere posti in corrispondenza biunivoca con i
numeri naturali dando luogo ad una successione di
numeri reali r1, r2, r3, ... che esaurisce
tutti i numeri reali compresi tra 0 e 1. - 3.Possiamo rappresentare ciascun numero della
successione in forma decimale e visualizzare la
successione di numeri reali come una matrice
infinita che avrà più o meno quest'aspetto - r1 0, 5 1 0 5 1 1 0 ...
- r2 0, 4 1 3 2 0 4 3 ...
- r3 0, 8 2 4 5 0 2 6 ...
- r4 0, 2 3 3 0 1 2 6 ...
- r5 0, 4 1 0 7 2 4 6 ...
- r6 0, 9 9 3 7 8 3 8 ...
- r7 0, 0 1 0 5 1 3 5 ...
- ...
- In realtà ci sono numeri che hanno più di una
rappresentazione decimale quelli che terminano
con una sequenza infinita di 9 o di 0 ne hanno
due, in tal caso conveniamo di prendere la
rappresentazione che termina con 0. - 4.Costruiamo un r tale che abbia la prima cifra
decimale diversa da quella r1, la seconda cifra
decimale diversa da quella di r2, la terza cifra
decimale diversa da quella di r3, e così via... - 5.Si deduce dunque che r non è nell'elenco
mostrato, il quale aveva lo scopo di enumerare
tutti i numeri reali compresi nell'intervallo
0,1. L'intervallo in questione dunque non è
numerabile e a maggior ragione non lo è R.
12COROLLARI DEL TEOREMA
- Ogni insieme infinito può essere messo in
corrispondenza biunivoca con un suo sottoinsieme
proprio - Un segmento è equipotente ad una retta
- Un segmento è equipotente ad un quadrato
- Indicata con L la cardinalità di N, linsieme
delle parti di N, cioè P(N), ha cardinalitÃ
maggiore di - Tale cardinalità è chiamata cardinalità del
continuo - Risulta lt 2
- In particolare linsieme dei numeri reali ha la
cardinalità del continuo.
13TORRI DI CANTOR
-
.. - PPPPX Y PPPPY
Z - PPPX
PPPY - PPX
PPY - PX ..
PY - X PPPPZ
Y - PPPZ
- PPZ
- PZ
- Z
14ANTINOMIE
- Paradosso del mentitore
- Io dico Sto mentendo .
- Ho detto la verità ??
- CELEBRI
- Russell
- Consideriamo linsieme di tutti gli insiemi che
non sono elementi di se stessi. Se esso è un
elemento di se stesso, allora non è un elemento
di se stesso. Se non lo è, lo è.
15REALIZZATO DA
- Serena Pinelli
- Andrea Raia
- Marco Preziosi
- Giuseppe Iodice