CONICHE

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CONICHE

• 1. coniche come luoghi solidi
• 1.1 le coniche di Menecmo
• 1.2 le coniche di Apollonio
• 2. coniche come luoghi geometrici del piano
• 2.1 fuochi
• 2.2 direttrici ed eccentricità
• 3. coniche come trasformazioni proiettive del
  circolo
• 4. teorema di Quetelet e Dandelin

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1. STEROI TOPOI (luoghi solidi)
ORTOTOMA
1.1 Coniche di Menecmo
OXITOMA
AMBLITOMA
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Cono rettangolo
ORTOTOMA
Cono acutangolo
OXITOMA
Cono ottusangolo
AMBLITOMA
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1.2 Coniche di Apollonio
superficie conica rotonda è il luogo delle rette
g (generatrici) che passano per un punto V
(vertice) di una retta v (asse) e che formano con
v un angolo ? costante. Sezione conica è la
curva (necessariamente chiusa) nella quale un
piano taglia una superficie cnica rotonda.
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Un qualunque piano ? (non passante per V) taglia
la superficie conica in una curva simmetrica
lungo un asse detto asse focale o asse principale
della sezione conica. Tale asse focale è
lintersezione del piano ? della conica con il
piano ad esso ? che passa per lasse v della
superficie conica e dunque è anche un piano di
simmetria della superficie. Lasse focale
incontra la curva nei suoi due apsidi A1 e A2,
vertici principali della conica la cui distanza
2a misura la lunghezza dellasse focale.
Conica (sezione)
Apside A1
Apside A2
2a asse focale
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parabola
Lasse focale della sezione conica può formare un
angolo rispetto allasse v uguale, minore o
maggiore di ? (langolo formato dalle generatrici
g della superficie) a seconda che il piano ? sia
// a una, a due o a nessuna generatrice. Nel
primo caso ? incontra al finito tutte le
generatrici tranne quella a esso // per cui la
curva, parabola, ha tutti punti propri tranne il
suo secondo vertice principale. Nel secondo caso
i vertici della curva sono propri ma, essendo ?
// a due generatrici, la curva, iperbole, ha due
punti impropri e dunque consta di due rami. Nel
terzo caso ? incontra tutte le generatrici al
finito e quindi si determina una curva, ellisse o
in particolare circolo, composta di tutti punti
propri che presenta anche una coppia di vertici
secondari agli estremi di un secondo, minore,
asse di simmetria ortogonale.
iperbole
ellisse
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Consideriamo sezione conica qualunque sezione
piana della superficie conica, e dunque è una
conica, anche quella ottenuta con un piano
sezionante che passi per il vertice della
superficie, solo che in quel caso la curva si
riduce o a un punto o a una coppia di rette
(distinte oppure coincidenti) è detta conica
degenere.
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circolo
conica degenere
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Le proprietà metriche e grafiche delle sezioni
del cono si deducono da quelle della superficie
conica. Il luogo dei punti medi di tutta la
schiera di corde parallele di una superficie
conica sono i punti di un piano che passa per il
vertice e che chiamiamo piano diametrale
coniugato alla direzione delle corde //. Così
sul piano ? della sezione conica il luogo dei
punti medi di una schiera di corde // della curva
è una retta che viene detta diametro coniugato
alla direzione delle corde. Una schiera di
piani // taglia generalmente una superficie
conica in una serie di coniche centrali
omotetiche rispetto al vertice V quindi il luogo
dei centri di queste coniche è una retta che
passa per V che viene detta diametro coniugato
alla giacitura dei piani // considerati. Segue
che (se una sezione conica ha centro) tutti i
diametri coniugati passano per il centro della
conica. Caso particolare è quello in cui ? taglia
la superficie conica in una parabola, allora il
piano diametrale coniugato a una direzione // a ?
passa per la generatrice // a ?. Tutti i diametri
di una parabola sono // al suo asse. Nel punto in
cui un diametro incontra la conica, la tangente
alla conica è \\ alla direzione coniugata a quel
diametro.
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2-3. Dalle diverse coniche di Apollonio alle
coniche come diverse manifestazioni di un unico
ente matematico
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2. Coniche come luogo geometrico di punti
del piano rispondenti a proprietà metriche 2.1
fuochi
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2.1 Distanze dai FUOCHI
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Come il circolo è il luogo dei punti di un piano
equidistanti da un solo punto F (centro),
lellisse è quello dei punti per i quali è
costante la somma delle distanze da due punti F1,
F2 detti fuochi,
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liperbole è il luogo dei punti per i quali è
costante la differenza delle distanze da due
fuochi F1, F2,
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la parabola è il luogo dei punti per i quali è
uguale la distanza da un punto F (fuoco) e una
retta d (direttrice).
direttrice
fuoco
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2.2 direttrici
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2.2 eccentricità Le coniche si possono
anche definire come il luogo dei punti P di un
piano tali che il rapporto tra la loro distanza
PF da un punto F detto Fuoco e la loro distanza
Pd da una retta d (corrispondente a F) detta
direttrice è sempre costante tale rapporto si
dice eccentricità e PF/Pd , e per e1, elt1, egt1
la curva è rispettivamente parabola, ellisse ed
iperbole.
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3. Coniche come trasformazioni proiettive del
circolo
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4. Teorema di Quetelet e Dandelin.
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4. Teorema di Quetelet e Dandelin. In una
superficie conica rotonda sezionata con un piano
? non // a una generatrice (caso dellellisse e
delliperbole) esistono due sfere iscritte alla
superficie conica e tangenti al piano ? nei
fuochi F1 e F2 della conica. Se ? è // a una
generatrice esiste una sola sfera iscritta alla
superficie e tangente al piano ? nel fuoco F
della parabola. Inoltre i piani dei circoli di
contatto delle sfere iscritte con la superficie
conica intersecano il piano sezionante ? nelle
direttrici della sezione conica.
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Per dimostrare questa proposizione si consideri
la sezione con il piano ? ? e che passa per
lasse v della superficie conica esso taglia la
superficie secondo due generatrici g1 e g2 e
individua su ? lasse principale A1 A2 della
conica. In quel piano le due sfere iscritte alla
superficie conica e tangenti a ? risultano
tagliate in due cerchi massimi che si possono
disegnare facilmente uno come il circolo (di
centro C1) iscritto al triangolo VA1A e laltro
come quel circolo (di centro C2) ex-iscritto del
trilatero VA1A2 che ha centro sullasse v.
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È evidente che il trilatero VA1A2 rappresenta le
tangenti condotte dai punti A1,e A2 ai due
circoli di centri C1 e C2 nei punti Q2, Q1, F2,
F1, R2, R1. E per la simmetria del cerchio sono
ovviamente uguali i due segmenti di tangente che
vanno dai punti di contatto R e Q ai punti
esterni A per i quali si conducono tali tangenti
così A1Q1 A1F1 e A1F2 A1R1.
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Si vede dunque come sia A1Q1 A1R1 2a
(lunghezza dellasse focale A1A2 della conica) e
quindi come un qualsiasi segmento di generatrice
compreso tra i due circoli di contatto delle
sfere iscritte abbia estensione uguale allasse
focale A1A2. Si immagini uno qualunque di
questi segmenti di generatrice P1P2 compresi tra
i due circoli di contatto intersecare il piano ?
nel punto P. I segmenti PP1 e PP2 (distanze di
P dai circoli di contatto) sono i segmenti di
tangenti condotte da P alle due sfere iscritte e
per la simmetria della sfera si può constatare
che PP1 PF1 e PP2 PF2 e concludere che PF1
PF2 A1A2 2a, cioè che tutti i possibili punti
P della sezione individuano unellisse poiché
sono tali per cui resta costante ( 2a)la somma
delle loro distanze da F1 e da F2.
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