BEBERAPA DISTRIBUSI

1
BEBERAPA DISTRIBUSI PROBABILITAS KONTINYU (SSTS
2305 / 3 sks)
Dra. Noeryanti, M.Si
2
Pengantar Dalam pokok bahasan disini
memuat beberapa distribusi koninyu yang sangat
penting di bidang staistika. diantaranya
distribusi normal, distribusi gamma dan
eksponensial, distribusi chi-kuadrat dan
distribusi weibull. Distribusi-distribusi ini
yang sangat berperan pada statistik inferensial
yaitu dalam pengujian hipotesis, pengujian
panjang umur (life testing) dan
sebagianya Disini setiap distribusi tersebut
diatas telah dibuat grafiknya menggunakan
software R. Selain digunakan membuat grafik
fungsi, nilai-ilai yang biasanya dicari di tabel,
disini diberikan cara penggunaan program R dalam
menenukan distribusi probabilitasnya.
3

• Kompetensi
• Setelah mempelajari materi pokok bahasan
  disini, mahasiswa diharapkan
• Mampu menggunakan konsep-konsep dasar teori
  Distribusi Probabilitas Kontinu secara benar.
• Mampu melakukan operasi hitungan-hitungan yang
  berkaitan dengan distribusi normal, distribusi
  gamma dan eksponensial, distribusi chi-kuadrat
  dan distribusi weibull.
• Terampil dalam mengerjakan soal-soal tugas dan
  latihan.

4

• Daftar Isi Materi
• Distribusi Normal
• Luas Daerah dibawah Kurva Normal
• Distribusi Gamma dan Eksponensial
• Distribusi Chi-kuadrat
• Distribusi Weibull

5
6.1 Distribusi Normal Distribusi probailitas
kontinyu yang terpenting di bidang statistik
adalah distribusi Normal. Grafiknya disebut
kurva normal, berbentuk lonceng seperti gambar
6.1. Distribusi ini ditemukan Karl Friedrich
(1777-1855) yang juga disebut distribusi
Gauss. Perubah acak X yang bentuknya seperti
lonceng disebut perubah acak normal dengan
persamaan matematik distribusi probabilitas yang
bergantung paramerter
dinyatakan Pada
gambar (6.2) melukiskan dua kurva normal dengan
simpangan baku yang sama tapi rata-rata berbeda,
gambar 6.3 melukiskan beberapa kurva yang
mempunyai mean sama tetapi standart deviasi
bebeda. Gambar 6.4 mellukiskan kurva normal
dengan mean dan standart deviasi yang berbeda.
6
Ganbar 6.1 Kurva normal
7
Ganbar 6.2 Kurva normal dengan simpangan baku
sama
8
Ganbar 6.3 Kurva normal dengan rata-rata sama
9
Ganbar 6.4 Kurva normal dengan mean dan standart
deviasi yang berbeda
10
Fungsi padat perubah acak normal X, dengan
rata-rata dan variansi dinyatakan
sebagai
Begitu dan diketahui, maka kurva
normal dapat ditentukan. Misal
maka ordinat
dengan mudah dapat dihitung.
Sifat-sifat Kurva Normal 1. Modus (nilai x
maksimun) terletak di 2. Simetris terhadap
sumbu vertikal melalui 3. Mempunyai titik belok
pada 4. Memotong sumbu mendatar secara
asimtotis. 5. Luas daerah dibawah kurva dg sumbu
mendatar sama dg 1
11
6.2. Luas daerah di bawah kurva Normal
Luas daerah kurva normal antara x a dan x b
dinyatakan sbb
a b
Ganbar 6.5 Luas daerah P(altxltb) luas daerah di
arsir
12

• Untuk mengatasi kesulitan menghitung integral.

Gunakan tabel distribusi normal standart (Z)
yaitu distribusi normal dengan  Caranya
menggunakan transformasi dengan rumus
Setiap pengamatan perubah acak X dapat
ditransformasikan ke perubah acak Z dengan
rata-rata 0 dan variansi 1. Jika X mendapat
nilai padananya diberikan oleh .
Jadi jika X bernilai dan
maka perubah acak Z akan bernilai dan
kemudian dinyatakan sebagai
13
X1 x2
Ganbar 6.6 P(x1ltxltx2) untuk kurva normal yang
berbeda
14
Definisi (6.1) Distribusi perubah acak
normal dengan rata-rata nol dan variansi 1
disebut distribusi normal baku
x1 x2
z1 z2
Ganbar 6.7 Distribusi normal asli dan yang telah
ditransformasikan
15
Contoh 6.1
Diketahui suatu distribusi normal dengan
dan Carilah probabilitas bahawa X mendapat
ilai antara 45 dan 62

Jawab Dicari nilai z yang berpadaan dengan
adalah
dan Jadi

Ganbar 6.7 Luas daerah contoh 6.1
16
Gunakan tabel distribusi normal standart,
diperoleh
Dengan R gt pnorm(-0.5) 1 0.3085375
gt pnorm(1.2) 1 0.8849303
Tabel 6.1. Luas daerah di bawah kurva normal
z 0.00 0.04 .. 0.09

-0.5 0.3085

0

1.2 0.8849

17
6.3 Distribusi Gamma dan Eksponensial
Distribusi gamma dan eksponensial memaikan
peran yang sangat penting di bidang teori antrian
dan teori keandalan (reliabilitas). Distribusi
Eksponensial merupakan keadaan khusus dari
distribusi gamma. Distribusi gamma mendapat
namanya dari fungsi gamma yang sudah dikenal luas.
Definisi (6.2)
Fungsi gamma didefinisikan sebagai Untuk
Jadi

18
Jika di integralkan per bagian (parsial)
dengan Diperoleh Maka Jadi diperoleh
19
Dengan formula (rumus) berulang diperoleh
dan seterusnya Jika
dengan bilangan n bulat positif, maka
20

• Sifat penting fungsi Gamma adalah

Bukti Dari definisi Untuk Menggunakan
substitusi Diperoleh Dengan merubah sistem
koordinatnya ke polar koordinat dengan

persamaan diatas menjadi

21
Jadi
22
Definisi (6.3) Perubah acak kontinu X
berdistribusi gamma dengan parameter dan ,
jika fungsi padatnya berbentuk Grafik
beberapa distribusi gamma dipelihatkan pada
gambar 6.8, untuk beberapa nilai parameter
dan Distribusi gamma yang khusus dengan
disebut distribusi Eksponensial, dan grafik
distribusi gamma dengan dan beberapa
nilai dipelihatkan pada gambar 6.9
23
Gmbar 6.8 Distribusi Gamma
24
Gmbar 6.9 Distribusi Eksponensial
(Distribusi Gamma dengan )
25
Definisi (6.4)
Perubah acak kontinu X terdistribusi
eksponensial dengan parameter, , jika fungsi
padatnya berbentuk
Teorema 6.1 Rata-rata dan variansi distribusi
gamma adalah
Akibat (1) Rata-rata dan variansi distribusi
eksponensial adalah
26
Contoh 6.2
Suatu sistem memuat sejenis komponen yang
mempunyai daya tahan pertahun dinyatakan oleh
perubah acak T yang berdistribusi eksponensial
dengan parameter waktu rata-rata sampai gagal
Bila sebanyak 5 komponen tersebut
dipasangkan dalam sistem yang berlainan, berapa
pobabilitas bahwa paing sedikit 2 masih akan
berfungsi pada akir tahun ke delapan.
Jawab Probabilitas bahwa suatu komponen
tertentu masih akan berfungsi setelah 8 tahun
adalah
27
Contoh 6.3
Hubungan saluran telepon tiba i suatu gardu
(sentral) memrnuhi proses poisson dengan
rata-rata 5 hubungan yang masuk per menit. Berapa
probabilitasnya bahwa setelah semenit berlalu
baru 2 sambungan telepon masuk ke gardu tadi
Jawab Proses poisson berlaku denganwaktu sampai
kejadian poisson memenui distribusi gamma
dengan parameter Misalkan X perubah acak yang
menyatakan waktu dalam menit yang berlalu
sebelum 2 hubungan masuk,probabilitasnya adalah

28
6.4 Distribusi Chi-kuadrat
Hal khusus lainya yang sangat penting dari
distribusi gamma adalah dengan mengambil

Hasilnya disebut distribusi chi-kuadrat,
dan v disebut derajad bebas

Definisi (6.4)
Perubah acak kontinu X terdistribusi
chi-kuadrat dengan derajad bebas v, jika fungsi
padatnya berbentuk
Akibat (2) Rata-rata dan variansi distribusi
chi-kuadrat adalah
29
Gambar 6.10 Distribusi Chi- Kuadrat
30
6.5 Distribusi Weibull
Distribusi Weibull ini diperkenalkan oleh ahli
fisikawan swedia Waloddi Weibull pada tahun 1939.
Grafik distribusi weibll untuk dan berbagai
nilai parameter dilukiskan pada gambar 6.11
Definisi (6.5)
Perubah acak kontinyu X terdistribusi Weibull
dengan parameter , jika fungsi
padatnya berbentuk Jika maka
distribusi weibull menjadi distribusi
eksponensial. Jika maka kurvanya mirip
lonceng dan menyerupai kurva normal tetapi agak
mencong.
31
Gambar 6.11 Distribusi Weibull
32
Teorema .6.2 Rata-rata dan variansi distribusi
Weibull adalah
Seperti distribusi gamma dan eksponensial,
distribusi weibull juga dipakai pada persoalan
keandalan dan pengujian panjang umur seperti
waktu sapai rusak (panjang umur) suatu komponen,
diukur dari suatu waktu tertentu sampai rusak.