PROBABILIT

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PROBABILITÉSen 3ème 
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• Pourquoi laléatoire au collège ?
• Le programme de troisième et un bref historique
  de lenseignement des probabilités depuis 1970
• Lapproche fréquentiste des probabilités et
  quelques notions de probabilités
• Un aperçu des programmes de lycée

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1. Pourquoi laléatoire au collège ?
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• Pour permettre au citoyen daborder
  lincertitude et le hasard dans une perspective
  rationnelle

• Objectifs
• Familiariser plus tôt les élèves avec cette
  branche des mathématiques, très utilisée dans de
  nombreux secteurs professionnels.
• Initier une réflexion sur la modélisation et la
  simulation.

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• Car cest
• Une clé essentielle pour lanalyse et la
  compréhension des phénomènes incertains.
• Un enjeu de citoyenneté être capable davoir
  un esprit critique face à certaines affirmations
  des médias.
• Un enjeu de société être en cohérence avec nos
  voisins européens.

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2. Le programme de troisième et un bref
historique de lenseignement des probabilités au
lycée
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Les textes officiels

• Le programme de 3ème a pour objectifs

• de poursuivre la mise en place de paramètres
• (de position et de dispersion) d'une série
  statistique
• et denvisager ainsi la notion de résumé
  statistique 
• de mettre en pratique sur des exemples simples
  la notion de probabilité.

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Connaissances
Capacités
1.4. Notion de probabilité   Thèmes de
convergence
- Comprendre et utiliser des notions élémentaires
de probabilité. - Calculer des probabilités
dans des contextes familiers.
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Exemples dactivités, commentaires
Commentaires spécifiques pour le socle
La notion de probabilité est abordée à partir de
situations familières (pièces de monnaie, dés,
roues de loteries, urnes). Certaines de ces
situations permettent de rencontrer des cas pour
lesquels les probabilités ne sont pas définies à
partir de considérations intuitives de symétrie
ou de comparaison mais sont approximativement
évaluées par les fréquences observées
expérimentalement (approche fréquentiste des
probabilités). La notion de probabilité est
utilisée pour traiter des situations de la vie
courante pouvant être modélisées simplement à
partir des situations précédentes. Les situations
étudiées concernent les expériences aléatoires à
une ou à deux épreuves.
Dans le cadre du socle, aucune compétence
nest exigible dans le cas des expériences à deux
épreuves.
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Lévolution de lenseignement des probabilités
depuis 1970

• 1970 -gt 1990 les probabilités sont présentées
  sous forme axiomatique.Le modèle étudié est
  fondé sur léquiprobabilité des événements
  élémentaires. Cela nécessite létude préalable
  des dénombrements.

• En 1986 , la statistique descriptive arrive au
  collège. Une démarche de mathématisation du réel
  est initiée observation ? schématisation ?
  modèle

11

• En 1990, lapproche fréquentiste de la notion de
  probabilité apparaît dans les programmes de
  première.Pour introduire la notion de
  probabilité, on sappuiera sur létude de séries
  statistiques obtenues par répétition dune
  expérience aléatoire.
• Pour passer de lobservation de fréquences à la
  notion de probabilité, il y a nécessité de
  modéliser. (La probabilité dun événement est
  définie par addition de probabilités dévénements
  élémentaires.)
• Le choix du modèle peut être légitimé par des
  raisons de symétrie. Mais des situations ne
  relevant pas de léquiprobabilité peuvent aussi
  être étudiées et le dénombrement nest plus
  forcément nécessaire.

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3. Quelques notions de probabilités
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Expériences aléatoires
Une expérience aléatoire - est une
expérience - elle peut être décrite par un
protocole et peut être répétée dans les mêmes
conditions - on peut déterminer à lavance la
liste des issues - on ne peut pas prévoir quelle
en sera lissue au moment où on la réalise.
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La proportion de boules jaunes dans lurne est
2/5.Lorsquon tire une boule au hasard dans
lurne, on a 2 chances sur 5 dobtenir une boule
jaune.La probabilité dobtenir une boule jaune
est 2/5.
Probabilité dune issue obtenue par des
considérations de symétrie ou de comparaison
La réalisation dexpériences permet de donner du
sens et de casser les fausses représentations.
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Probabilité obtenue par une approche fréquentiste

• Exemple du lancer de punaise
• La fréquence de chacune des issues  Tête  ou
   Côté  tend à se stabiliser pour un grand
  nombre de lancers.
• On ne peut approcher la probabilité de  Tête 
  ou celle de  Côté  que par lexpérimentation.

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Lapproche fréquentiste des probabilités

• Lorsquon répète n fois une expérience aléatoire,
  la série des résultats obtenus est appelée
  échantillon de taille n.
• Les distributions des fréquences obtenues varient
  dun échantillon à lautre cest ce quon
  appelle la fluctuation déchantillonnage.

17
La fluctuation déchantillonnage
Formules utilisées ENT(ALEA()6)1 et
NB.SI(A8A57"1")
18
On observe que la fréquence se stabilise lorsque
la taille des échantillons augmente.
19
La loi des grands nombres

• Énoncé vulgarisé .
• Pour une expérience donnée, dans le modèle
  défini par une loi de probabilité p, les
  distributions des fréquences calculées sur des
  séries de taille n se rapprochent de p quand n
  devient grand.

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Modélisation et simulation

• Simuler une expérience, c'est choisir un
  modèle de cette expérience (c'est-à-dire lui
  associer une loi de probabilité), puis effectuer
  une autre expérience suivant la même loi (et plus
  facile à réaliser).

Simulation
Statistique
Probabilité
Modélisation
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Exemple de simulation
Pour chacun des jeux, chacun des deux résultats
possibles a une chance sur 2 de se produire. Ils
ont la même probabilité 1/2
On peut simuler lune des expériences à laide de
lautre, ou à laide dun tableur en utilisant la
formule SI(ALEA()lt0.5,P,F).
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Un exemple dexpérience à deux épreuves

• On dispose
• dune part, dun dé ayant une face rouge,
• deux faces noires et trois faces vertes
• dautre part, dune pièce de monnaie.
• Les deux sont bien équilibrés. On lance le dé
  puis la pièce.
• Écrire tous les résultats possibles.
• Déterminer la probabilité dobtenir Vert et
  Pile.

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Présentation des résultats à laide dun arbre
P

(RP)?

R

F

(RF)?

P

(N1P)?

N1

F

(N1F)?

P

(N2P)?

N2

F

(N2F)?

P

(V1P)?

V1

F

(V1F)?

(V2P)?

P

V2

F

(V2F)?

P

(V3P)?

V3

(V3F)?

F


La probabilité dobtenir (VP) est 3/12 soit 1/4
24
On peut également présenter les résultats sous
forme darbre pondéré.
1/2
P

• Au premier niveau, chaque branche est pondérée
  par la probabilité de l'événement correspondant.

R

F

1/2

1/6

• Un chemin représente l'intersection des
  événements qui le composent.

1/2

P

2/6

N

• Le poids d'une branche secondaire est la
  probabilité conditionnelle de l'événement qui se
  trouve à son extrémité sachant que l'événement
  situé à son origine est réalisé.

F


1/2
1/2
3/6

P


V

• Ainsi, la probabilité d'un chemin est le produit
  des probabilités figurant sur ses branches.

F

1/2


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4. Les programmes actuels au lycée
26
Le programme actuel en seconde

• Dans les programmes de seconde de 2000, la
  statistique descriptive opère une synthèse de ce
  qui a été étudié en collège (représentations,
  médiane, étendue), en approfondissant les
  propriétés de la moyenne.

• En statistique inférentielle, la population nest
  plus étudiée pour elle-même, mais considérée
  comme un échantillon dune population plus
  grande. Les séries statistiques étudiées sont
  obtenues par répétition dune expérience
  aléatoire. On travaille sur la distribution des
  fréquences, simulation et fluctuation
  déchantillonnage.

27
Un exemple de travail sur la simulation
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Les programmes en première

• En statistique, les paramètres de dispersion
  (écart type et écart interquartile) sont
  introduits.
• Létude de séries de données (en particulier
  chronologiques) est approfondie en ES. Le lien
  entre arbre et tableau à double entrée y est
  effectué.

• La notion de probabilité est introduite le lien
  avec la distribution des fréquences est éclairé
  par un énoncé vulgarisé de la loi des grands
  nombres.
• En S, des expériences aléatoires de référence
  étant modélisées, on peut simuler des lois de
  probabilités simples.

29
La probabilité dun événement est égale à la
somme des probabilités des issues qui les
composent, de la même manière que pour la
fréquence.
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Les programmes en terminale

• En ES, lajustement affine de séries statistiques
  à deux variables est effectué.
• Le problème de ladéquation à une loi
  équirépartie est posé.

• La définition de la probabilité conditionnelle de
  B sachant A est justifiée par des calculs
  fréquentiels. La notion dindépendance permet de
  modéliser des expériences indépendantes, en
  particulier la répétition des expériences de
  référence vues en première.
• Des exemples de lois discrètes (en S et ES) et
  continues (en S) sont abordés.

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Lien entre fréquences et probabilités
conditionnelles

• Une enquête de marketing portant sur le choix
  entre deux abonnements A et B lors de lachat
  dun téléphone portable et le statut de
  lacheteur (salarié ou non salarié) a conduit au
  recueil des données de 9321 nouveaux acheteurs,
  consignées dans le tableau suivant

Effectifs A B Total
Salarié 4 956 1 835 6 791
Non salarié 1 862 668 2 530
Total 6 818 2 503 9 321
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Fréquences conditionnelles A B Total
Salarié 0,727 0,733 0,729
Non salarié 0,273 0,267 0,271
Total 1 1 1
Notation f A (S) 0,727
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Conclusion

• Nouvelle forme de pensée à acquérir.
• Favoriser la démarche par lexpérience, laisser
  du temps,effectuer des allers-retours entre
  expérience et modèle.
• Fil rouge tout au long de lannée, qui permet de
  réinvestir dautres notions, en particulier de
  statistique.