Diapositiva 1

1
certoanzi probabile
2
Atto di nascita 1733 fu introdotta nella teoria
della probabilità da Abraham De Moivre come
approssimazione della distribuzione binomiale
media µ
3
Distribuzione binomiale
Sia dato un evento E di probabilità p(E)0,47 si
fanno 10 prove e si calcola la probabilità che
levento E si verifiche 0 volte, 1 volta, 2
volte, .10 volte
n. successi probabilità
0 0,001748875
1 0,015508889
2 0,061889245
3 0,146354442
4 0,227125525
5 0,241695842
6 0,178611707
7 0,090509436
8 0,030098657
9 0,005931392
10 0,000525991
4
P(E) 0,47 n numero delle prove 20
n. successi probabilità
0 3,05856E-06
1 5,42462E-05
2 0,000456999
3 0,002431578
4 0,009164296
5 0,026005852
6 0,057654484
7 0,102255123
8 0,147353491
9 0,174229284
10 0,169955736
11 0,137014058
12 0,091127275
13 0,049729833
14 0,02205002
15 0,007821517
16 0,002167519
17 0,000452268
18 6,68447E-05
19 6,23972E-06
20 2,76667E-07
5
26 0,087481325
27 0,068958026
28 0,050231554
29 0,03379273
30 0,020976997
31 0,012001447
32 0,006319158
33 0,003056608
34 0,001355289
35 0,000549422
36 0,00020301
37 6,81184E-05
38 2,06655E-05
39 5,63878E-06
40 1,37512E-06
41 2,97425E-07
42 5,65188E-08
43 9,32474E-09
44 1,31554E-09
45 1,55548E-10
46 1,49934E-11
47 1,13157E-12
48 6,2717E-14
49 2,27008E-15
50 4,02618E-17
n. successi probabilità
0 1,63604E-14
1 7,25413E-13
2 1,57606E-11
3 2,23623E-10
4 2,3301E-09
5 1,90101E-08
6 1,26435E-07
7 7,04766E-07
8 3,35927E-06
9 1,39019E-05
10 5,05452E-05
11 0,000162993
12 0,000469759
13 0,001217691
14 0,00285386
15 0,006073876
16 0,01178246
17 0,020897193
18 0,033974367
19 0,050742252
20 0,069746662
21 0,088358305
22 0,103286766
23 0,111505648
24 0,111242663
25 0,10259512
6
La curva fu poi ripresa in un ambito matematico
diverso da Carl Friedrich Gauss (1777-1855) tanto
che oggi è ricordata come curva di Gauss o curva
degli errori. Gauss la descrisse come
distribuzione delle misure atte a determinare la
posizione degli astri.
7
Riportiamo sullasse orizzontale le misure di una
certa grandezza fatte con uno strumento di
precisione e sullasse verticale la frequenza con
cui si sono verificate queste misure.
Media valore della misura
8
Quello che è eccezionale
è che la curva gi Gauss caratterizza anche la
distribuzione delle principali grandezze
antropometriche di una popolazione di individui,
come il peso, laltezza ecc
In questo grafico ad esempio in ascissa sono
riportati i pesi di 4.017.264 bambini nati da
gravidanze singole nel 1991 negli Stati Uniti e
in ordinate il numero dei neonati aventi un
determinato peso. Le informazioni sono state
raccolte utilizzando i certificati di nascita. Il
valore del peso centrale che è la moda è anche la
media dei pesi.
9
Uno dei primi che nei suoi lavori fece grande
uso della curva di Gauss fu Adolphe Quételet che
è ritenuto uno dei padri della statistica
sociale. La statistica nasce attorno alla
seconda metà del Seicento con il nome di
ARITMETICA SOCIALE o CALCOLO SOCIALE o SCIENZA
NUMERICA DELLA SOCIETA e DEGLI STATI. Si
studiavano mediante indagini statistiche eventi
naturali come le nascite , le morti, ma anche gli
atti volontari come i matrimoni, i crimini e i
suicidi. Tutto ciò per la promozione di una
politica statale più informata e quindi più
efficace. Di qui probabilmente il nome di
Statistica, i suoi praticanti furono chiamati
statisti e verso la fine del XIX secolo
statistici. La Statistica si sviluppa poi in
modo particolare nel corso dellOttocento appunto
con Quételet. Ma le basi della statistica
matematica moderna furono poste tra il 1890 e il
1930. Fra i fondatori della moderna statistica
matematica ricordiamo Pearson, Spearman, Yule,
Gosset, Fisher.

10
Adolphe Quételet (Gand 1796- Bruxelles 1874)
Astronomo, matematico interlocutore di matematici
illustri come Fourier, Poisson, Laplace, è
indubbiamente la figura più importante nello
sviluppo della statistica scientifica. Cerca di
portare in Statistica il rigore dei metodi usati
in astronomia e limpiego sistematico della
matematica. Nel 1834 fonda la Statistical Society
di Londra. Per Quételet la matematica avrebbe
dato un ordine allapparente caos sociale, nel
senso che pensava - in campo sociale esistono
delle leggi come nel mondo naturale che possono
essere scoperte con la statistica. Per lui la
statistica divenne una Physique sociale.
11
Ad esempio Quételet si occupò di eventi come il
crimine e il suicidio e scoprì che lattività
criminale variava di poco di anno in anno. E a
proposito di tale regolarità Quételet osservava
essa ci insegna che lazione delluomo è
limitata in tale ambito e che le grandi leggi
della natura sono per sempre al di fuori della
sua influenza essa dimostra inoltre che nel
mondo morale possono esistere delle leggi di
conservazione allo stesso modo in cui si trovano
nel mondo fisico. Sulla base delle leggi
sociali scoperte la società era vista come
unentità a se stante, indipendente dai capricci
e dalle idiosincrasie degli individui che la
costituiscono. Ci sono delle leggi sociali
ineluttabili per quanto possa sembrare diverso ed
irrazionale il comportamento dei singoli uomini.
Cè una regolarità collettiva.
12
Questa visione della ineluttabilità delle leggi
sociali diventa visione filosofica e in campo
politico costituisce anche il fondamento della
politica liberale del laissez faire dato che la
società era governata da leggi statistiche il
suo governo si doveva limitare ad un ruolo
ancillare, lo Stato doveva solo favorire e
assecondare la naturale evoluzione
sociale. Luomo può essere considerato un
enigma solo come individuo, come massa è un
problema matematico.
13
L homme moyen Nellultimo periodo
del suo lavoro Quételet elabora il concetto di
homme moyen. Questo essere astratto definito nei
termini della media di tutte le sue qualità umane
in un determinato paese costituiva il tipo
nazionale rappresentativo della società nella
scienza sociale analogo al baricentro in fisica.
I calcoli relativi a lhomme moyen physique non
poneva particolari problemi in quanto si trattava
di misurare le altezze, i pesi, le dimensione
delle membra e dei vari organi e di farne poi la
media. Maggiori ostacoli presentava invece la
definizione dell homme moyen moral perché non si
poteva misurare il coraggio, la criminalità e i
buoni sentimenti. Lo stesso risultato si poteva
ottenere registrando gli atti coraggiosi o
criminali dellintera società e quindi si poteva
attribuire alluomo medio una tendenza al crimine
equale al numero dei delitti commessi diviso il
numero della popolazione. In questo modo un
insieme di atti separati commessi dai singoli
individui veniva trasformato in una grandezza
costante, la propensione che era attribuita
alluomo medio.
14
Per determinare le caratteristiche delluomo
medio Quételet fece una serie di esperimenti in
cui usò la curva a campana di Gauss. Infatti
dimostrò che i caratteri antropometrici come il
peso, laltezza, la lunghezza degli arti ecc..
Hanno una distribuzione gaussiana
15
Quételet misurò le circonferenza toraciche di
5738 soldati scozzesi e le raggruppò in
intervalli di ampiezza un pollice,ottenendo
sedici gruppi. Quételet osservò che la
distribuzione delle frequenze approssimava la
distribuzione gaussiana. Quételet concluse che se
le misurazioni delle circonferenze toraciche si
comportavano nel modo indicato dalla teoria degli
errori di Gauss, allora le misure delle
circonferenze toraciche dei soldati potevano
essere interpretate come repliche sottoposte a
errori di misurazioni della misura toracica
delluomo medio. La stessa cosa vale per il
peso, laltezza ecc..
16
In ascissa x valori di una variabile In
ordinata y i valori della densità di probabilità
della x
y
deviazione standard
s
x
µ media
I valori di µ e di s individuano perfettamente la
curva
17
h densità di probabilità
probabilità
?x 10
Statura (cm) frequenza Frequenza Relativa (probabilità p)
(140-150 5 0,05
(150-160 9 0,09
(160-170 20 0,20
(170-180 32 0,32
(180-190 20 0,20
(190-200 9 0,09
(200-210 5 0,05
totale 100 1,00
Le probabilità p sono le aree dei rettangoli, le
altezze h dei rettangoli sono le densità di
probabilità h ?x areap
18
Al tendere a 0 di ?x listogramma diventa la
curva a campana che ha quindi in ascissa x i
valori delle altezze e in ordinate y i valori
della densità di probabilità.
y
Probabilità di trovare individui di altezza
compresa fra x1 e x2
x
x1 x2
19
In ascissa x valori di una variabile In
ordinata y i valori della densità di probabilità
della x
y
s
x
µ media
20

• Il problema della stima della media o di una
  proporzione di una popolazione
• - Indagine completa
• Indagine campionaria la inferenza statistica
• Teorema del limite centrale sia data una
  popolazione la cui media sia µ (e la cui
  proporzione sia P). Estraiamo da essa tutti i
  possibili campioni di dimensione n (grandi
  campioni con n30) e di ogni campione calcoliamo
  la media m (o la frequenza f). Otteniamo una
  distribuzione di medie campionarie (o di
  proporzioni campionarie).
• Esempio se la popolazione ha dimensione N10 e n
  2 allora i campioni sono 45
• Se N 100 e n 10 allora i campioni sono 1,73103
  1013

21
Sia la popolazione costituita da 4 elementi a,
b, c, d Tutti i possibili campioni di dimensione
2 sarebbe costituito da a, b a, c a, c b, c b,
d c, d
22

• Valgono i seguenti risultati
• tali distribuzioni sono gaussiane
• la media delle medie campionarie coincide con la
  media µ della popolazione
• la media delle frequenze campionarie coincide con
  la proporzione P della popolazione
• La deviazione standard della distribuzione delle
  medie campionarie è dove s è la deviazione
  standard della popolazione.
• La deviazione standard della distribuzione delle
  frequenze campionarie è
• dove P è la
  Proporzione della popolazione.

23
95
Densità di frequenza delle medie campionarie
Medie campionarie
Media della popolazione
24
Un ingegnere addetto al controllo di quantità
vuole stimare il peso medio di una scatola di
cereali riempita da una certa macchina in un
certo giorno. Estrae un campione casuale di 100
scatole ne calcola la media campionaria m
300,5 grammi e la deviazione standard s 15
grammi.
Livello di fiducia
dove s è la deviazione standard della popolazione
e n la dimensione del campione .
Lintervallo di confidenza al 95 è 300,5
(1,96)(1,5)300,5(1,96)(1,5) cioè
(297,56303,44)
25
La media campionaria m proviene dalle code del 5
della distribuzione delle medie campionarie, così
lintervallo di confidenza al 95 non contiene la
media della popolazione.
26

• Una stima è tanto più precisa quanto più piccolo
  è lintervallo di confidenza
• È tanto più affidabile quanto maggiore è il
  livello di fiducia
• Da notare che mantenendo costante la dimensione
  del campione, aumentando il livello di fiducia
  aumenta anche lintervallo di confidenza, cioè
  aumentando lattendibilità della stima diminuisce
  la sua precisione.

27

• Tuttavia si può conciliare laumento
  dellattendibilità con laumento della precisone
  o a precisione invariata, aumentando la
  dimensione del campione.
• Infatti allaumentare della dimensione del
  campione diminuisce la deviazione standard della
  distribuzione che si concentra maggiormente
  attorno alla media

28
Dimensione del campione n 250
dimensione del campione n100
29
La verifica delle ipotesi, i test di
significatività Il nostro ingegnere potrebbe
procedere in modo diverso per vedere se la
produzione procede sotto controllo. Supponiamo
che lazienda dichiari di produrre scatole di
cereali del peso di 300 grammi, per cui la
produzione sarà sotto controllo se la media è 300
grammi. Si tratta di verificare questa ipotesi al
livello di fiducia del 95. H0 µ 300 si dice
ipotesi nulla, lipotesi alternativa H1 µ ? 300.
Ogni giorno per sapere se la produzione è sotto
controllo lingegnere estrae a caso un campione
di 100 scatole, ne calcola il peso medio m e la
deviazione standard s Supponiamo che la media del
campione sia 303 grammi. Si pone il problema
seguente La differenza 3 grammi rientra nella
normale variabilità campionaria oppure è
significativa del fatto che in realtà stiamo
producendo scatole di peso medio superiore a 300
grammi?
30

s è la deviazione standard della popolazione ed è
stimata dalla deviazione standard del campione.
Lintervallo verde indica la zona di accettazione
dellipotesi nulla. Le semirette rosse indicano
la zona del rifiuto dellipotesi nulla.
31
P95
a/22,5
a/22,5
P0,95 si dice livello di fiducia a 0,05 1-p
1-0,95 area delle due code si dice livello di
significatività.
32

• Ogni decisione che si prende è soggetta ad un
  errore, si hanno due tipi di errori
• Si rifiuta H0 quando è vera. Lerrore si commette
  quando la media campionaria m cade nella zona di
  rifiuto. La probabilità dellerrore è a. Lerrore
  si dice di1 specie
• Si accetta H0 quando è falsa. Si dice che si
  commette un errore ß di 2 specie
• Si prendono invece decisioni giuste quando
• Si accetta H0 quando è vera (La probabilità è il
  livello di fiducia p)
• Si rifiuta Ho quando è falsa (La probabilità è
  1- ß che è detta potenza del test).

33
E chiaro che la cosa migliore sarebbe costruire
un test in modo da rendere minime le probabilità
degli errori a e ß, ma vediamo se ciò è
possibile. E più agevole discutere la cosa nel
caso in cui le ipotesi alternative siano 2.
Supponiamo che due persone A e B stiano
giocando ai dadi con la regola che A perde ogni
volta che esce la faccia 1. supponiamo che in 100
lanci la faccia 1 si sia presentata 27 volte, per
cui A ha perso con una frequenza pari a 0,27.
Considerato che la probabilità che esca 1 è
0,167, A sospetta che B stia giocando con un dado
truccato, magari con uno di quei dadi in cui 1
esce con probabilità 0,25. E possibile
sottoporre a verifica tale sospetto?
34

• Le ipotesi in conflitto sono
• Ipotesi nulla H0 p0,167 il dado non è truccato
• Ipotesi alternativa H1 p 0,25, il dado è
  truccato

Si deve assumere una regola di decisone che
potrebbe essere la seguente Se dopo una serie di
100 lanci la frequenza con cui esce 1 è flt 0,20
allora si accetta H0, altrimenti si accetta H1.
La situazione per quanto riguarda gli errori di
1 e di 2 specie è allora la seguente.
35
Distribuzione delle frequenze campionarie di
campioni di 100 lanci
Zona rifiuto
Zona accettazione
36
Aumentando la dimensione dei campioni è possibile
diminuire sia a sia ß
37
Esempio in campo giudiziario
Limpossibilità di diminuire contemporaneamente a
e ß a parità di dimensione del campione è
chiarita bene dal seguente esempio in campo
giudiziario. Sia H0 limputato è innocente
H1 limputato è colpevole a errore di 1
specie, è la probabilità di condannare un
innocente cioè la probabilità di rifiutare H0 e
quindi accettare H1 quando H0 è vera ß errore
di 2 specie, è la probabilità di assolvere un
colpevole cioè la probabilità di accettare H0
(limputato è innocente) quando invece è vera H1
cioè limputato è colpevole. Le riforme a
carattere garantista che vogliono diminuire il
rischio di condannare un innocente (a) portano
necessariamente al rischio di aumentare ß cioè ad
aumentare il rischio di assolvere un colpevole.
38
Il T test Caso dellefficacia di un medicinale
(ad esempio per abbassare la pressione)
Pressione sistolica Pressione sistolica
Paziente Placebo medicinale Differenze d
1 211 181 30
2 210 172 38
3 210 196 14
4 205 191 14
5 197 167 30
6 190 161 29
7 191 180 11
8 177 160 17
9 173 149 24
10 170 119 51
11 163 156 7
39
Si calcola la media delle differenze e si ottiene
m 24,1 e la deviazione standard delle differenze
13,15
Lipotesi che vogliamo verificare è che tale
differenza sia nulla, che corrisponde alla
ipotesi della inefficacia del medicinale.
Vogliamo verificare tale ipotesi al livello di
significatività del 5. H0 µ0 H1 µgt0 In
questo caso, dato che il campione è piccolo
(lt30), si adopera non la distribuzione gaussiana
ma unaltra (la t di Student) che lapprossima.
40
Agli inizi della probabilità
Nel 1654 il cavalier Antonio de
Méré si rivolse a Blaise Pascal per sapere
perché mai puntando sulluscita del 6 nel gioco
del dado, in 4 lanci la pratica del gioco rendeva
evidente che fosse più facile vincere che perdere
mentre puntando sulluscita del doppio 6 su 24
lanci di due dadi fosse viceversa più facile
perdere che vincere. Secondo i calcoli che
faceva Antonio de Méré avrebbe dovuto succedere
il contrario. La risposta che diede Pascal fu
molto semplice fai bene i calcoli e vedrai che
la teoria conferma la pratica.
Infatti nel primo caso si perde se nei 4 lanci
esce sempre un numero diverso da 6. La
probabilità di perdere è quindi 5/65/65/65/6
(5/6)4 0,483 che è minore della probabilità di
vincere che è 1-(5/6)40,517. Nel caso di 24
lanci di due dadi si perde se in ogni lancio non
esce il doppio 6. La probabilità che nei 24 lanci
non esca mai il doppio 6 è (35/36)240,508 per
cui la probabilità di vincere è 1-0,5080,492 che
è minore della probabilità di perdere.
41
E con Pierre-Simon Laplace che la
probabilità cessa di essere una curiosità
matematica. I lavori che Laplace pubblicò a
partire dal 1794, in particolare la Théorie
analitique des probabilités del 1812
trasformarono una serie di problemi legati
principalmente ai giochi dazzardo e alle rendite
vitalizie delle assicurazioni nella teoria
classica della probabilità che divenne una
disciplina scientifica davanguardia. E
interessante illustrare le motivazioni che
spingono Laplace a questa fatica. Laplace era un
convinto sostenitore di una visione
meccanicistica e deterministica del mondo, che
secondo lui era regolato da ferree leggi
esprimibili in termini matematici.
42
Scrive nel celeberrimo Essai philosophique
sur les probabilités pubblicato nel 1814 e a
partire dalla seconda edizione, premesso come
introduzione alla Théorie Dobbiamo dunque
considerare lo stato presente delluniverso come
leffetto del suo stato anteriore e come la causa
del suo stato futuro. UnIntelligenza che, per un
dato istante, conoscesse tutte le forze da cui è
animata la natura e la situazione rispettiva
degli esseri che la compongono, se per di più
fosse abbastanza profonda da sottomettere questi
dati allanalisi, abbraccerebbe nella stessa
formula i movimenti dei più grandi corpi
delluniverso e dellatomo più leggero nulla
sarebbe incerto per essa, e lavvenire come il
passato sarebbe presente ai suoi occhi. Lo
spirito umano offre, nella perfezione che ha
saputo dare allastronomia, un pallido esempio di
questintelligenza. Le sue scoperte in meccanica
e in geometria, unite a quelle della gravitazione
universale, lhanno messo in grado di abbracciare
nelle stesse espressioni analitiche gli stati
passati e quelli futuri del sistema del mondo.
43
Ma il punto è che luomo è ben lontano dalle
capacità dellIntelligenza da lui immaginata.
Infatti poco oltre Laplace afferma La
regolarità che lastronomia ci presenta nel
movimento delle comete, ha luogo senza dubbio in
tutti i fenomeni. La curva descritta da una
semplice molecola di aria o di vapore è regolata
con la stessa certezza delle orbite planetarie
non vè tra esse nessuna differenza, se non
quella che vi pone la nostra ignoranza. La
probabilità è relativa in parte a questa
ignoranza, in parte alle nostre
conoscenze. Secondo Laplace luomo non è
lIntelligenza che lui si è figurato e pertanto
molte volte non è in grado né di conoscere tutte
le forze di cui la natura è animata, né le
posizioni delle particelle che la compongono, né
infine, conoscendo tanto le une quanto le altre,
di sottoporre allanalisi matematica i dati in
suo possesso. In questi casi si deve ricorrere
alla probabilità. Quindi alla base della
probabilità troviamo la nostra ignoranza.
44
Definizione classica o laplaciana di
Probabilità Sia E un evento, siano n i casi
possibili e m quelli favorevoli ad esso, allora
P(E) m/n . La definizione è valida
nellipotesi che tutti i casi possibili siano
ritenuti egualmente possibili. Esempio
Probabilità che lanciando un dado non truccato
esca il numero 6 è 1/6 in quanto i casi possibili
sono 6 e quelli favorevoli allevento sono 1.
Per tutto lOttocento la definizione di
probabilità fu quella classica di Laplace,
tuttavia a partire dagli ultimi anni
dellOttocento specie in fisica e in Biologia gli
esempi di eventi per i quali si doveva ricorrere
alle osservazioni per determinare le probabilità
si andavano moltiplicandosi.
45
Definizione frequentista o
statistica di probabilità Frequenza assoluta
numero delle volte che un evento si verifica. Es
lancio il dado 10 volte, il numero 6 si verifica
3 volte. 3 è la frequenza assoluta di 6 Frequenza
relativa è il rapporto fra la frequenza assoluta
e il numero delle prove fatte. Nellesempio
precedente la frequenza relativa di uscita di 6
è 3/10 0,3 La probabilità di un evento in senso
frequentista è il limite al quale tende la
frequenza relativa quando il numero delle prove
tende allinfinito oppure la probabilità di un
attributo in una certa popolazione è il limite al
quale tende la frequenza relativa dellattributo
quando la frequenza è calcolata su campioni
estratti dalla popolazione di grandezza via via
crescente e tendente allinfinito.
46
Tuttavia perché la definizione sia valida
occorre che levento sia ripetibile e le
singole prove sia indipendenti o che i campioni
via via usati siano casuali cioè tali che i
componenti abbiano tutti la stessa probabilità di
essere estratti. Esempio supponiamo di lanciare
un dado un gran numero di volte, diciamo mille, e
di constatare che il 2 si è presentato 173 volte,
per cui 173/10000,173 è la frequenza relativa
delluscita del numero 2. Proseguendo nei lanci
la frequenza relativa assumerà valori diversi ma
tenderà a stabilizzarsi attorno ad un certo
valore che viene assunto come valore della
probabilità dellevento. Lesperienza ci mostra
che in tutti i fenomeni di massa la frequenza
relativa di un certo attributo si stabilizza al
crescere del numero delle osservazioni ed è
proprio questo fatto che in qualche modo
giustifica la definizione frequentista di
probabilità.
47
Un ponte fra le definizione di probabilità in
senso classico e in senso frequentista fu
gettato agli inizi del Novecento da Guido
Castelnuovo che nel suo Calcolo delle probabilità
del 1919 introdusse la famosa legge empirica del
caso che dice In una serie di prove ripetute
un gran numero di volte e nelle stesse
condizioni, ciascuno degli eventi possibili si
manifesta con una frequenza relativa che è presso
a poco uguale alla sua probabilità.
Lapprossimazione cresce ordinariamente col
crescere del numero delle prove.
48
n. Lanci 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 10000 Frequenza assoluta 14 35 52 69 86 95 108 128 141 156 318 478 636 810 974 1172 1329 1481 1657 Frequenza relativa 0,140000 0,175000 0,173333 0,172500 0,172000 0,158333 0,154286 0,160000 0,156667 0,156000 0,159000 0,159000 0,159000 0,162000 0,162333 0,167429 0,166125 0,164556 0,165700
Esempio di simulazione al computer del lancio
di un dado. Frequenza con cui si presenta il
numero 3 al crescere del numero dei lanci.
  Probabilità classica di uscita di 3 1/6
0,166667 Un contributo determinante alla
formulazione di questa definizione fu data da
Richard von Mises tedesco che pubblicò un
trattato sulla probabilità dal titolo
impronunciabile nel 1928.  
49
MATEMATICA ATTUARIALE   Le aziende per testare
la vita media dei loro prodotti, per esempio
lampadine e frigoriferi, eseguono dei test di
durata vale a dire che scelgono un campione
casuale della loro produzione e li fanno
funzionare finché non si guastano. In questo modo
se 100 lampadine scelte a caso da una produzione
sono accese in media 60 ore (si registra la vita
di ogni lampadina e poi si fa la media) possiamo
dire che la vita media di una lampadina di quel
tipo è di 60 ore (in realtà si fa una stima per
intervalli). In matematica attuariale e per le
molte applicazioni nel campo delle assicurazioni
ha molta importanza stabilire quale sia la vita
media di un individuo di età x oppure sapere
quale è la probabilità che un individuo che oggi
ha 40 anni possa vivere ancora 20 anni. E chiaro
che per calcolare la vita media delle persone non
si può seguire il metodo delle lampadine cioè
scegliere 100 individui e poi seguirli finché non
muoiono tutti. Sarebbe troppo lungo. Queste
valutazioni si fanno ricorrendo alle tavole
demografiche o tavole di sopravvivenza.
50
La prima rudimentale ma interessante tavola di
sopravvivenza risale alla prima metà del XVII
secolo e fu composta dallinglese J. Graunt che
reperì i dati dai registri parrocchiali. Un
tretennio più tardi lastronomo inglese Edmund
Halley (1656-1742) compilò una tavola simile
sempre basandosi sui registri parrocchiali. Da
allora applicando i metodi della statistica e del
calcolo delle probabilità si sono potute
costruire tavole demografiche sempre più precise
ed affidabili basandosi essenzialmente su due
tipi di osservazioni, diverse ma complementari i
dati dei censimenti e quelli dei decessi. In
Italia si occupa della compilazione delle tavole
lIstituto di Statistica (Istat). Dai censimenti
che nel nostro paese vengono fatti ogni 10 anni,
si possono estrarre i dati relativi ai viventi
suddivisi per età e sesso. Rilevando invece per
un certo numero di anni i dati sui decessi dai
registri dello stato civile, si possono ricavare
informazioni sul numero medio dei morti,
suddivisi per fasce di età. Si costruiscono
quindi delle tavole che anno per anno indicano
quante persone sono sopravvissute rispetto ad un
nucleo iniziale e quante quindi sono decedute. E
importante avvalersi di tavole aggiornate perché
al cambiare delle condizioni di vita cambiano le
probabilità di vita e di morte.
51
Descrizione delle tavole
dx lx-lx1.
52
Si può vedere che lx ( il numero dei
sopravvissuti) è una funzione decrescente
delletà, (ovviamente man mano che passa il tempo
il numero dei vivi diminuisce, qualcuno muore) ma
prima fino a circa 60 anni decresce lentamente
poi in maniera più rapida. Dal grafico di dx si
vede che il numero dei morti diminuisce
abbastanza rapidamente nei primi anni di vita poi
a partire da 10 anni circa comincia ad aumentare
fino a 80 anni poi diminuisce rapidamente fino
alletà estrema.
53
Alcune probabilità di vita e di morte calcolate
in base alla definizione frequentista di
probabilità. Tasso annuo di sopravvivenza, cioè
la probabilità che un individuo di età x arrivi
alletà x1.  Esempio probabilità che un
individuo maschio di 60 anni arrivi a
61  Probabilità che un individuo di 80 anni
arrivi a 81
54
Tasso annuo di mortalità, cioè la probabilità
che un individuo di età x muoia prima di
compiere letà x1   Esempio probabilità che
una persona di 20 anni muoia prima di compiere 21
anni.  
55
Probabilità di essere in vita dopo h
anni Esempio probabilità che un individuo
maschio di 39 anni arrivi alletà di 59 anni.
56
Vita media   È il tempo medio di vita residua
che ha una persona di età x. Si calcola nel
modo seguente sia lx il numero delle persone
di età x, dx è il numero delle persone di
questo gruppo che moriranno entro lanno, si può
pensare che ognuna di queste persone vivranno in
medio ½ di anno. Le persone che moriranno lanno
successivo cioè alletà x1 sono dx1 , si può
pensare che ognuno di essi abbia vissuto un anno
e mezzo cioè 3/2 di anno. Le persone che
moriranno alletà x2 sono dx2 e si può
pensare che ognuno di essi abbai vissuto 2 anni e
mezzo cioè 5/2 di anno. E così via. In
conclusione in questo modo abbiamo calcolato la
vita media di ogni individuo del gruppo iniziale.
La vita media di un individuo di età x sarà la
media ponderata delle vite medie di tutto il
gruppo dei viventi alletà x, cioè vita media
età x Esempio La vita media di un maschio di
60 anni è
57
Vita probabile
La vita probabile di un individuo di età x è il
numero di anni che devono trascorrere affinché la
popolazione dei viventi alletà x diventi la
metà. Essa viene indicata con il simbolo px
. Allora px si trova risolvendo lequazione
lxpx ½ lx Ad esempio Dalle tavole risulta che
il numero dei viventi maschi alletà di 50 è l50
93016 Essi diventano la metà (cioè 46508)
quando il gruppo ha unetà compresa fra 78 e 79
per cui si può dire che la vita media è circa
78-50 28
58

• Calcolo del premio di una assicurazione di
  capitale differito. Una persona di età x
  riscuote un certo capitale C se sarà vivo
  alletà xn. Quale premio deve pagare?
• Ad esempio una persona di 30 anni vuole che la
  Compagnia di assicurazione gli versi la somma di
  100.000 se sarà in vita alletà di 60 anni.
• Il premio può essere
• Unico o periodico
• Puro o caricato
•  
•  

59
Calcolo del premio unico puro Si interpreta
il contratto come un gioco di sorte, in cui
lassicurato vince la somma C se arriva vivo
alletà xn, e paga per giocare il premio
U.   Che cosa è la vincita attesa? È il prodotto
della somma da vincere per la probabilità di
vincerla Il premio è puro se il gioco di sorte è
equo cioè la vincita attesa del banco e del
giocatore sono uguali. .
60
La vincita del banco (in questo caso la
Compagnia di Assicurazione) è certa perché egli
riscuote oggi con certezza il premio U. Quindi
la vincita attesa del banco è U1 U La vincita
attesa dellassicurato e la somma che riscuoterà
fra n anni valutata ad oggi ( C(1i)-n dove i è
il tasso tecnico delloperazione) moltiplicata
per la probabilità che egli sia in vita fra n
anni. Quindi la vincita attesa dellassicurato
è Quindi il premio puro da pagare sarà U
61
Nel nostro esempio C100.000, i 0,02, x 30,
n 30  
62
Teorema di Bayes Thomas Bayes (1702-1761)
matematico e ministro britannico. Il teorema fu
pubblicato postumo nel 1763. Supponiamo che un
evento E possa essere determinato da n cause H1,
H2,Hn di cui è certo che solo una si può
verificare. Supponiamo di conoscere le
probabilità con cui si verificano le n cause
p(H1), p(H2),p(Hn) e la probabilità con cui si
verifica levento E dato la causa cioè
p(E/H1).p(E/Hn). Supponiamo che si sia
verificato levento E, il teorema di Bayes ci
permette di calcolare la probabilità che sia
stata la causa Hi a determinare E.
63
Esempio Supponiamo che un medico sappia che
un certo sintomo E (esempio una febbre
altissima in un quadro clinico specifico) possa
essere leffetto di tre sole malattie H1, H2, H3
le cui probabilità sono p(H1)0,03
p(H2)0,70 p(H3)0,27 Supponiamo inoltre che
la probabilità che ci sia febbre alta con la
malattia H1, H2, H3 siano p(E/H1)0,90
p(E/H2)0,10 p(E/H3)0,30 . Come si vede a
priori la malattia H2 è la più probabile.
64
Il problema è visto che il paziente ha febbre
altissima quale è la causa più probabile?   Il
teorema di Bayes nellesempio dice che N.B.
il denominatore della frazione è la
p(E) Analogamente per le altre cause Come
si vede la presenza del sintomo febbre E ha
modificato lopinione del medico circa la
graduatoria delle malattie infatti a priori la
malattia più probabile era H2, seguita da H3 e
infine H1. Vista la febbre, la malattia più
probabile a posteriori è H3. Visto che i
denominatori delle frazioni sono uguali la
malattia più probabile dipende dalle probabilità
a priori della malattia e dalle probabilità
condizionate del sintomo data la malattia.
65
Applicazioni del teorema di Bayes nei test
diagnostici.   Esempio la diagnosi della
sindrome di Down La sindrome di Down è una
condizione cromosomica patologica, che riguarda
circa un feto su 1000. Il più accurato test per
la sindrome di Down richiede lamniocentesi, un
intervento che purtroppo implica un piccolo
rischio di aborto (circa un caso su 200). Cè un
altro test accurato della sindrome di Down che è
privo di rischi, noto come triplo test. Questo
esame è diventato recentemente di uso comune e si
basa sulla concentrazione di tre ormoni nel
sangue materno a circa 16 settimane di
gravidanza. Come ogni test anche il triplo test
non è sempre perfetto, cioè è possibile che il
test risulti negativo cioè non indica malattia
ma il feto è malato (errore detto falso negativo)
oppure che risulti positivo cioè indica malattia
ma il feto è sano (errore detto falso
positivo). I termini della questione sono i
seguenti
66
Prevalenza della malattia o anche detta
probabilità a priori è la probabilità che un
individuo sia malato, nel caso della sindrome di
Down p(Em) 0,001 cioè 1 su 1000, o anche su
1000000, 1000 sono malati e 999000 sono
sani. la probabilità di un falso positivo
p(T/Es) 0,05 cioè 5. Su 999000 sani il 5
cioè 49950 risulteranno falsi positivi al test
specificità del test probabilità che il test
sia negativo dato che lindividuo è sano p(T-/Es)
1-p(T/Es) 1-0,050,95. Sui 999000 sani il 95
cioè 949050 risulteranno negativi al
test. sensibilità del test probabilità che il
test sia positivo dato che il feto è malato,
p(T/Em) 0,60. Dei 1000 malati il 60 cioè 600
risulteranno positivi al test Quindi su 1000000
di test risulteranno positivi 4995060050550 di
cui solo 600 veri positivi in quanto
malati. probabilità di un falso negativo
p(T-/Em) 1- p(T/Em) 0,40 cioè il 40. Dei
1000 malati il 40 cioè 400 risulteranno negativi
al test
67
Il problema è calcolare la probabilità che il
feto sia malato dopo che il test è risultato
positivo, tale valore è detto valore predittivo
di un test positivo o probabilità a
posteriori.   Risulta Esiste una bassa
probabilità che un feto risultato positivo al
triplo test sia effettivamente affetto da
sindrome di Down. Tale valore si poteva ottenere
anche considerando che su 50.550 test positivi
solo 600 sono malati per cui Calcoliamo ora
la probabilità che un feto risultato negativo sia
effettivamente sano cioè il valore predittivo di
un test negativo. Esiste quindi quasi la
certezza che se il test è negativo il feto è
sano.
68
Le tabelle di contingenza Alla scoperta della
dipendenza o indipendenza fra variabili o
mutabili Esempio il casco protettivo è efficace
per prevenire i traumi cranici conseguenti a
incidenti?
Casco protettivo Casco protettivo
Trauma cranico si no Totale Frequenze osservate
Si 17 218 235 235/79329,6
No 130 428 558 558/79370,4
totale 147 646 793
Campione di 793 soggetti coinvolti in incidenti
con la motocicletta in un anno.
69
La tabella delle frequenze attese se non ci
fosse alcuna dipendenza fra il casco protettivo
e il trauma cranico. Dalla tabella precedente si
deduce che in tutto il campione ha avuto un
trauma cranico il 29,6 delle persone e non lo ha
avuto il 70,4. Se luso del casco non avesse
alcuna influenza nel proteggere dal trauma
cranico ci aspetteremmo che il 29,6 dei 147 che
avevano il casco, avranno trauma cranico cioè
0,296x14743,6 e la differenza cioè 103,4 avente
casco non avranno avuto trauma cranico. Analogamen
te se luso del casco non avesse alcuna influenza
sul trauma cranico ci aspetteremmo che il 29,6
dei 646 che non avevano casco avranno trauma
cranico, cioè 0,296x 646 191,4 e la differenza
pari a 454,6 non aventi il casco non avranno
avuto trauma cranico.
Casco protettivo Casco protettivo
Trauma cranico si no totale
si 43,6 191,4 235
no 103,4 454,6 558
Totale 147 646 793
70
Tabella delle frequenze osservate (O)
Casco protettivo Casco protettivo
Trauma cranico si no Totale
Si 17 218 235 235/79329,6
No 130 428 558 558/79370,4
totale 147 646 793
Tabella delle frequenze attese (A)
nel caso della indipendenza
Casco protettivo Casco protettivo
Trauma cranico si no totale
si 43,6 191,4 235
no 103,4 454,6 558
Totale 147 646 793
71
E naturale pensare che i caratteri saranno
tanto più indipendenti quanto più le frequente
osservate si avvicinano a quelle attese e quindi
tanto più dipendenti quanto più le frequenze
osservate si discostano da quelle attese. Un
indice significativo di questa discordanza sarà
quindi Se i caratteri sono indipendenti e il
numero delle osservazioni sufficientemente
elevati ( in pratica non ci devono essere
frequenze attese inferiori a 5) lindice dato ha
una distribuzione che si avvicina a Chi-quadrato
con un grado di libertà uguale a (p-1)(q-1) dove
p e q sono rispettivamente il numero delle
colonne e delle righe della tabella. Allora se
i caratteri sono indipendenti cè una probabilità
del 95 che il chi-quadrato calcolato sia
inferiore al chi-quadrato tabulato cioè presente
nella tabella del chi-quadrato allincrocio della
colonna corrispondente a 0,95 e alla riga del
grado di libertà (p-1)(q-1). Per cui se il
chi-quadrato calcolato è superiore al
chi-quadrato tabulato si conclude che i caratteri
sono dipendenti al grado di fiducia del 95.
72
La distribuzione ?2 Sia data
popolazione gaussiana con varianza s2, estraiamo
da essa tutti i possibili campioni di dimensione
n e per ogni campioni consideriamo il
rapporto dove m è la media del
Campione.
Otteniamo una distribuzione di numeri, detta
distribuzione chi-quadrato il cui grafico al
variare della dimensione dei campioni è il
seguente
73
(No Transcript)
74
Allincrocio della colonna ?2 di pedice 0,95 e la
riga 9 cè il numero 16,9. Il significato è il
seguente. Estraendo dalla popolazione un campione
di dimensione 10 si ha una probabilità del 95
che esso abbia un chi-quadrato inferiore a 16,9.
75
La statistica prevede il futuro
Andamento della mortalità infantile in Italia
(yi morti per 1000 nati vivi)
Anni xi yi
1971 0 28,5
1972 1 27,0
1973 2 26,2
1974 3 22,9
1975 4 21,2
1976 5 19,5
1977 6 18,1
1978 7 17,1
1979 8 15,7
1980 9 14,6
1981 10 14,1
76
1981 Valori extrapolati Valori extrapolati
Anni xi yi Ip. lineare Ip. esponenziale Valori reali
1971 0 28,5 28,1 28,9 28,5
1972 1 27,0 26,5 26,8 27,0
1973 2 26,2 25,0 24,9 26,2
1974 3 22,9 23,5 23,1 22,9
1975 4 21,2 22,0 21,4 21,2
1976 5 19,5 20,4 19,9 19,5
1977 6 18,1 18,9 18,4 18,1
1978 7 17,1 17,4 17,1 17,1
1979 8 15,7 15,9 15,9 15,7
1980 9 14,6 14,3 14,7 14,6
1981 10 14,1 12,8 13,7 14,1
1982 11 11,3 12,7 12,9
1983 12 9,8 11,8 12,3
1984 13 8,2 10,9 11,3
1985 14 6,7 10,1 10,5
1986 15 5,2 9,4 10,1
77
FINE
78
Al CALCOLO SOCIALE era attribuita molta
importanza in relazione al governo dei popoli.
Significativa è questa frase di Jean-Jacques
Rousseau (1712-1778) tratta dal Contratto
sociale Il Governo sotto il quale () i
cittadini realizzano il massimo incremento e si
moltiplicano è infallibilmente il migliore. Allo
stesso modo, il Governo sotto il quale un popolo
diminuisce e si logora è il peggiore esperti di
calcolo! Lascio a voi il compito di contare, di
misurare, di paragonare. Comunque è nel corso
del XIX secolo che il CALCOLO SOCIALE si sviluppa
e prende forma come tecnica statistica usata su
larga scala. Alcuni esempi di studi statistici
dopo le guerre napoleoniche i medici militari
focalizzarono la loro attenzione sulla salubrità
degli orfanotrofi, delle prigioni e degli ospizi
per i poveri, di solito con lo scopo di stimolare
le riforme necessarie. Ci sono poi le ricerche
sullistruzione pubblica.
79
Ecco alcuni obiettivi di ricerca posti nel 1835
dalla Statistical Society di Londra per quanto
riguarda listruzione 1) Qual è stato
leffetto dellestensione dellistruzione nel
comportamento del popolo? E diventato più
disciplinato, sobrio, soddisfatto o è successo il
contrario? 2) Qual è il rapporto fra crimini e
istruzione? Gli scolarizzati sono più esenti dei
non scolarizzati o accade il contrario? 3) Quale
crimine prevale di più nelle province colte i
reati contro la proprietà o contro la
persona? 4) Quanti criminali , specialmente
nelle classi di crimini più volgari, sapevano
leggere e scrivere in base ai rendiconti del 1833
o del 1834? 5) Qual è il numero dei libri
pubblicati durante lultimo anno e come sono
classificati?    
80
Influenza di Quételet sulla fisica   Fu il
lavoro di Quetelet a ispirare James Clerk Maxwell
e Ludwig Boltzmann a dare alla teoria cinetica
dei gas unimpostazione statistica. In una
conferenza alla British Association nel 1873
Maxwell fece un chiaro riferimento alla fisica
sociale di Quételet, dicendo che non si
sarebbero mai trovate le leggi dei gas seguendo
il moto e le collisioni di milioni di particelle
indipendenti dato che non erano disponibili
informazioni sulle singole molecole ed i calcoli
sarebbero stati in ogni caso estremamente
complessi. In effetti nella teoria cinetica dei
gas il comportamento di un gas perfetto viene
descritto attraverso delle grandezze
macroscopiche come il Volume, la Temperatura e la
Pressione, le ultime due fanno riferimento
allenergia cinetica media delle molecole secondo
le note formule Energia cinetica media Ecm
3/2KT dove k è la costante di Boltzmann, PV2/3nN
Ecm dove n è il numero di grammomolecole e N è il
numero di Avogadro.
81
Le velocità delle molecole di un gas si
distribuiscono secondo una gaussiana detta
distribuzione maxwelliana. Come si vede dal
grafico al crescere della temperatura del gas il
picco della distribuzione (velocità media) si
sposta verso destra (verso valori più alti).