La potenza in alternata

1
La potenza in alternata
In continua esiste una sola potenza, misurata in
watt. Essa si calcola facendo il prodotto tra
tensione e corrente P VI. Essendo i due
valori di tensione e di corrente costanti nel
tempo, anche la potenza sarà costante. Tutto ciò
in alternata non è più vero. Infatti sia la
tensione che la corrente variano sinusoidalmente,
quindi la potenza sarà anchessa
variabile. Inoltre bisogna distinguere il caso di
potenza su un carico resistivo R ed il caso di
potenza su carico reattivo (cioè C o L). Le due
situazioni sono diverse poiché le sinusoidi di
tensione e corrente sono in fase nel primo caso e
sfasate di 90 nel secondo. Unaltra differenza
tra carico resistivo R e carico reattivo deriva
dalla considerazione che mentre R dissipa energia
(la trasforma in altra forma di energia), L e C
non dissipano energia, ma la immagazzinano e la
restituiscono periodicamente. Tutto ciò si può
verificare partendo dalle sinusoidi di tensione e
corrente, ricavando poi la sinusoide della
potenza.
2
La potenza in alternataPOTENZA ATTIVA
Studiamo il primo caso del carico resistivo R. Di
seguito vediamo due equazioni di sinusoidi V e I
e poi il loro prodotto, cioè P. Successivamente
realizziamo il grafico delle tre equazioni
scritte.
In queste formule abbiamo tenuto conto che la
tensione e la corrente sono in fase (langolo dei
due seni sono uguali) e si è fatta la
semplificazione che la fase iniziale sia zero. La
prossima pagina mostrerà i grafici delle tre
formule.
3
La potenza in alternataPOTENZA ATTIVA
Si nota chiaramente che la potenza P è sempre
positiva e che ha frequenza doppia delle altre
sinusoidi. Una potenza sempre positiva significa
che il suo verso è sempre lo stesso dal
generatore alla resistenza e mai al contrario. A
questo grafico si possono applicare tutte le
considerazioni fatte sul valore efficace.
4
La potenza in alternataPOTENZA ATTIVA
Dal calcolo si nota che il prodotto tra i valori
efficaci di tensione e corrente è esattamente il
valore medio della curva che rappresenta la
potenza. Quindi la superficie racchiusa sotto la
curva della potenza vale 6 W. Questa è
lequivalente in continua della potenza in
alternata. In definitiva possiamo quindi
calcolare la potenza su un carico resistivo
facendo il prodotto tra i valori efficaci di
tensione e di corrente (o facendo la metà del
prodotto tra le ampiezze). Tale potenza prende il
nome di POTENZA ATTIVA e si misura in WATT.
5
La potenza in alternataPOTENZA
ATTIVADIMOSTRAZIONE
Lultima espressione ci dimostra matematicamente
che la potenza che dissipa una resistenza R è
formata da un temine costante (continua) che non
viene restituita al generatore e da un termine
variabile, cioè il coseno, con frequenza doppia (
2w) della tensione e della corrente. Questultimo
termine ha valore medio zero quindi non aggiunge
altra potenza a quella in continua.
6
La potenza in alternataPOTENZA ATTIVA
La formula appena ricavata è applicabile solo
alla potenza dissipata sulle resistenze R.
Quindi possiamo anche trovare altre formule
valide solo per le resistenze ricordando
che VEFF V R(eff) IEFF I R(eff) VR(eff)
RIR(eff) IR(eff) VR(eff) / R Sostituendo o
la prima o la seconda formula in quella della
potenza si avrà P VEFF IEFF RI2 R(eff) P
VEFF IEFF V2 R(eff) / R
7
Richiamo di trigonometria
cos( f ) sen( f p /2 )
- cos( f ) sen( f - p /2 )
8
La potenza in alternataPOTENZA REATTIVA
Studiamo il secondo caso di carico induttivo L.
Di seguito vediamo due esempi di equazioni di
sinusoidi V e I e poi il loro prodotto, cioè QL.
Successivamente realizziamo il grafico delle tre
equazioni scritte.
9
La potenza in alternataPOTENZA REATTIVA
Si nota chiaramente che la potenza QL è
alternativamente positiva e negativa e che ha
frequenza doppia delle altre sinusoidi. Questa
potenza cambia il suo verso ogni mezzo periodo,
quindi si sposta dal generatore allinduttanza
quando è positiva, in verso opposto quando è
negativa. Ciò significa che linduttanza non
dissipa energia, ma la immagazzina per mezzo
periodo e la restituisce nellaltro mezzo
periodo.
10
La potenza in alternataPOTENZA REATTIVA
Per avere un dato sugli scambi energetici tra
generatore e induttanza (che comunque ci sono!)
si parla di potenza reattiva QL e si calcola
tramite il prodotto tra i valori efficaci della
tensione e della corrente.
11
La potenza in alternataPOTENZA REATTIVA
Lultima espressione ci dimostra matematicamente
che la potenza che scambia una induttanza L è
formata da un solo temine variabile con frequenza
doppia ( 2w) della tensione e della corrente.
Questultimo termine ha valore medio zero quindi
non dissipa potenza, come già detto. Nella
formula precedente il prodotto VEFF IEFF NON HA
lo stesso significato che ha nella potenza
attiva, poiché la tensione e la corrente non sono
in fase. Quindi non ha il significato di potenza
continua equivalente allalternata. Il
significato, come già detto, è quello di fornire
un dato sugli scambi energetici tra generatore e
induttanza. Per evidenziare questa differenza
anche lunità di misura non è quella della
potenza attiva ma si chiama Volt Ampere Reattivi
V.A.R.
12
La potenza in alternataPOTENZA REATTIVA
La formula appena ricavata è applicabile alla
induttanza L. Quindi possiamo anche trovare
altre formule valide solo per le induttanze
ricordando che VEFF V L(eff) I EFF I
L(eff) VL(eff) XL IL(eff) IL(eff) VL(eff)
/ XL Sostituendo o la prima o la seconda formula
in quella della potenza si avrà QL VEFF IEFF
XLI2 L(eff) QL VEFF IEFF V2 L(eff) / XL
13
La potenza in alternataPOTENZA REATTIVA
Studiamo il terzo caso di carico capacitivo C. Di
seguito vediamo due equazioni di sinusoidi V e I
e poi il loro prodotto, cioè QC. Successivamente
realizziamo il grafico delle tre equazioni
scritte.
14
La potenza in alternataPOTENZA REATTIVA
Si nota chiaramente che la potenza QC è
alternativamente positiva e negativa e che ha
frequenza doppia delle altre sinusoidi. Questa
potenza cambia il suo verso ogni mezzo periodo,
quindi si sposta dal generatore al condensatore
quando è positiva, in verso opposto quando è
negativa. Ciò significa che linduttanza non
dissipa energia, ma la immagazzina per mezzo
periodo e la restituisce nellaltro mezzo
periodo.
15
La potenza in alternataPOTENZA REATTIVA
Per avere un dato sugli scambi energetici tra
generatore e condensatore (che comunque ci sono!)
si parla di potenza reattiva QC e si calcola
tramite il prodotto tra i valori efficaci della
tensione e della corrente.
16
La potenza in alternataPOTENZA REATTIVA
Anche in questo caso si possono ripetere le
stesse considerazioni fatte per le induttanze.
Per evidenziare questa differenza anche lunità
di misura non è quella della potenza attiva ma
si chiama Volt Ampere Reattivi V.A.R.
La formula appena ricavata è applicabile al
condensatore C. Quindi possiamo anche trovare
altre formule valide solo per il condensatore
ricordando che VEFF V C(eff) I EFF I
C(eff) VC(eff) XC IC(eff) IC(eff) VC(eff)
/ XC Sostituendo o la prima o la seconda formula
in quella della potenza si avrà QC VEFF IEFF
XCI2 C(eff) QC VEFF IEFF V2 C(eff) / XC
17
La potenza in alternataPOTENZE ATTIVA E REATTIVA
I tre grafici riportati mostrano che le tre
potenze sono tra loro sfasate di angoli che
determineremo. Si nota subito che QLe QC sono tra
loro sfasate di 180. Questo dato si ricava anche
dalle formule trovate QL V L(eff)IL(eff)sen(
2wt) QC - V C(eff)IC(eff)sen(2wt). Il segno
- in QC indica appunto lo sfasamento di 180.
18
La potenza in alternataPOTENZE ATTIVA E REATTIVA
Resta da capire quale sia lo sfasamento della
potenza attiva rispetto a quelle reattive
(ricordiamo che anche la potenza attiva varia nel
tempo e che quindi ha una relazione di fase con
le Q). Nel prossimo grafico è rappresentata la
potenza attiva solo con la sua componente
alternata, cioè senza la continua.
P
QC
QL
Da questo grafico si vede che P è sfasata di 90
in ritardo rispetto a QL, e 90 in anticipo
rispetto a QC
19
La potenza in alternataPOTENZE ATTIVA E REATTIVA
Possiamo quindi disegnare il diagramma vettoriale
tra le tre potenze. Ricordiamo che un diagramma
vettoriale ha significato se è rappresentativo di
sinusoidi, quindi lavere trascurato la
componente continua della potenza P è legittimo.
Nel grafico vettoriale a) sono rappresentati i
tre vettori come derivano dal grafico delle
sinusoidi, però è maggiormente usato il grafico
vettoriale b) (equivalente a quello a) ).
In questi grafici i vettori hanno tutti la stessa
ampiezza (derivano da un esempio numerico!).
Questa però è una condizione particolare, mentre
in generale le tre ampiezze sono tutte diverse.
Quindi il diagramma vettoriale sarà di due tipi
QLgtQC e QLltQC.
20
La potenza in alternataPOTENZE ATTIVA, REATTIVA
ED APPARENTE
I grafici potranno essere i due seguenti.
La risultante S è chiamata POTENZA APPARENTE e
si misura in Volt Ampere (V.A.). Siccome S è la
somma vettoriale della potenza attiva dissipata
dalle resistenze e della potenza reattiva
immagazzinata dai condensatori ed induttori essa
è la potenza complessiva proveniente dal
generatore. Questo è il significato fisico di S.
21
La potenza in alternataPOTENZE ATTIVA, REATTIVA
ED APPARENTE
Una importante applicazione delle formule e
diagrammi vettoriali riguarda i circuiti R-C ed R
L. Ricordiamo che ogni circuito si può ridurre
ad uno dei due citati.
Utilizziamo i valori efficaci di tensione e
corrente P VR I (W) QC VC I
(VAR) Dal diagramma vettoriale disegnato a lato
si ricavano le seguenti formule VR VG cos (
f ) VC VG sen ( f ) Quindi possiamo
riscrivere le potenze così P VG cos ( f )
I (W) QC VG sen ( f ) I
(VAR) Cioè P VG I cos ( f ) (W) QC VG
I sen ( f ) (VAR)
DA RICORDARE
22
La potenza in alternataDIAGRAMMI VETTORIALI
DELLE POTENZE ATTIVA, REATTIVA ED APPARENTE
P VR I QC VC I La P e la
Q sono vettori proporzionali ad I e quindi non
cambia langolo tra di loro ed S. I diagrammi
vettoriali hanno gli stessi sfasamenti
Dal diagramma delle potenze si ricavano anche le
formule riportate a lato.
23
La potenza in alternataESPRESSIONE MATEMATICA
DELLA POTENZA APPARENTE
Quanto vale S? Per effettuare la dimostrazione
ricordiamo le formule ricavate P VG I
cos ( f ) (W) QC VG I sen ( f ) (VAR)
24
La potenza in alternataPOTENZE ATTIVA, REATTIVA
ED APPARENTEIL FATTORE DI POTENZA
A
B
Facciamo una riflessione sulle formule e sul
diagramma vettoriale. Nella figura A langolo f è
maggiore dellangolo f1 della figura B, ma la
potenza P resta invariata. Se langolo f
diminuisce, il cos(f) aumenta. Se la potenza
attiva P resta uguale, allora significa che la
potenza reattiva QC diminuisce. Il fattore di
potenza cos(f) deve essere mantenuto
sufficientemente alto (maggiore di 0,8 per legge,
ma tecnicamente è auspicabile che sia maggiore di
0,95) per un problema tecnico-economico che verrà
affrontato quando si parlerà del RIFASAMENTO.
25
La potenza in alternataPOTENZE ATTIVA, REATTIVA
ED APPARENTE
Nei circuiti R L le formule restano identiche,
fatta eccezione del diagramma vettoriale,
riportato di seguito.
FORMULE P VR I QL VL I P
VG I cos ( f ) (W) QL VG I sen ( f
) (VAR)
Dal diagramma delle potenze si ricavano anche le
formule riportate a lato.
26
La potenza in alternataPOTENZE ATTIVA, REATTIVA
ED APPARENTEIL FATTORE DI POTENZA
Per il circuito R-L valgono le stesse
considerazioni fatte per il circuito R-C
proposito del fattore di potenza cos(f).
27
La potenza in alternataIL PROBLEMA DEL
RIFASAMENTO
In ogni impianto elettrico, in generale, sono
presenti utenti che richiedono potenza attiva (le
resistenze) ed altri richiedono potenza reattiva
(condensatori ed induttanze). Le resistenze
possono essere le lampade, i forni, le stufe ecc.
In generale sono utenti che convertono lenergia
elettrica in altre forme di energia e quindi
mettono in atto un processo fisico irreversibile
(cioè lenergia utilizzata non ridiventerà mai
più elettrica). Questa potenza attiva dobbiamo
pagarla allente che la fornisce. Per quanto
riguarda la potenza reattiva, essa può servire
per il funzionamento di motori (che sono
essenzialmente delle induttanze) o per caricare
dei condensatori. Il caso più frequente è quello
dei motori e quindi di carichi induttivi. Come
abbiamo già studiato la potenza reattiva non
viene convertita in altre forme di potenze e
quindi periodicamente restituita allente che in
precedenza laveva fornita. Ne deriva che non cè
un consumo e quindi non può esserci un
pagamento. Tuttavia per fornire una potenza
reattiva occorre far fluire una corrente nei cavi
che collegano il generatore allutente QL VG
I
28
La potenza in alternataIL PROBLEMA DEL
RIFASAMENTO
Quindi la corrente che occorre per trasportare
la potenza reattiva rende necessario la
realizzazione di cavi elettrici di sezione
maggiore di quella sufficiente ad una data
potenza attiva. Questa maggiore sezione dei cavi
rende limpianto più costoso per lente che eroga
energia. Per evitare delle pesanti penali a
carico dellutente si deve procedere alla
realizzazione del RIFASAMENTO dellimpianto. Si
tratta in pratica di generare localmente la
corrente reattiva necessaria allutente, senza
gravare sullente erogatore e quindi senza
appesantire limpianto con rame in più. Facciamo
un esempio numerico. Supponiamo di avere una
resistenza (ad es. una lampada) che assorba una
potenza attiva di 40 W. Colleghiamo questa
lampada prima da sola al generatore e poi in
serie ad una induttanza di 1000 mH. Valutiamo in
tutti e due i casi quanto vale la corrente che il
generatore deve erogare. Naturalmente la
frequenza vale 50 Hz ed il generatore eroghi la
200 V.
29
La potenza in alternataIL PROBLEMA DEL
RIFASAMENTO
A
B
I P / VG 40 / 220 0,181 A R VG/ I 220 /
0,181 1215 W

• XL 2 p f L 6,2050100010-3 314 W
• VL XL I1 314 I1
• VR R I1 1215 I1
• arctang ( VL/VR) arctang ( 314 / 1215)
• 14,5
• P VGI1cos(?) 220I10,97
• I1 40 / (2200,97) 40/213 0,188 A

Da questi semplici calcoli si nota che la
corrente con linduttanza in serie (a parità di
potenza attiva richiesta) è maggiore di quella
con solo la resistenza.
30
La potenza in alternataIL PROBLEMA DEL
RIFASAMENTO
Questo problema si risolve utilizzando un
condensatore di rifasamento che di solito si pone
in parallelo al generatore. La sua funzione è
quella di immagazzinare potenza reattiva e di
fornirla allinduttanza quando questa la richiede.
Dal diagramma vettoriale si ricava che il
condensatore provoca una diminuzione delle
corrente erogata dal generatore che passa da I ad
I1 ed una diminuzione dello sfasamento da f a f1,
con un aumento del fattore di potenza
cos(f1). Questo è proprio quello che si cerca di
ottenere. Contestualmente si può dire che il
problema si risolve aumentando il fattore di
potenza. Calcoliamo adesso il valore del
condensatore di rifasamento da inserire nel
circuito.
31
La potenza in alternataIL PROBLEMA DEL
RIFASAMENTOCALCOLO DI C
Dimostrazione
Il problema del rifasamento si può studiare anche
facendo riferimento al diagramma vettoriale delle
potenze, affrontato nella prossima diapositiva.
32
La potenza in alternataIL PROBLEMA DEL
RIFASAMENTOCALCOLO DI C
Prima del rifasamento la potenza reattiva
vale QL Ptang(f) Dopo il rifasamento la
potenza reattiva vale Q1 Ptang(f1) Dal
secondo grafico delle potenze si ricava che QL si
sottrae alla la potenza del condensatore QC. La
potenza risultante sarà quindi Q1 QL QC Da
questa formula ricaviamo la QC. QC QL Q1
Ptang(f) - Ptang(f1) Ptang(f) - tang(f1)