Grafos

1
UNIPAR Universidade Paranaense Campus Sede
Umuarama
Tópicos Especiais em Tecnologia da
Computação(TETC)
2
GERSTING, Judith Fundamentos Matemáticos para a
Ciência da Computação Editora LTC, 1995, São
Paulo, Cap.5 Sistemas de Informação 4º SI

• Grafos
• Definição, Terminologia e Conceitos Elementares

Professora Elaine Augusto Praça Fevereiro/2008
3
O que é um grafo?

• Um grafo é uma representação gráfica de elementos
  de dados e das conexões entre alguns destes
  itens.
• Uma árvore é um caso particular de grafo.
• Outros exemplos interesse de desempregados por
  vagas em empresas, rotas de uma companhia aérea.

4
Qual a importância computacional do uso dos
grafos?

• É bastante abrangente o uso de grafos na
  computação em áreas como
• Análise de planejamento de projetos
• Cibernética
• Redes de Computadores
• Circuitos Eletrônicos.

5
Qual a importância computacional?
6
Definição

• Definição
• Um grafo é uma tripla (N, A, g) em que
• N um conjunto não vazio de vértices (nós ou
  nodos)
• A um conjunto de arestas (arcos)
• g uma função que associa cada aresta a a um par
  não-ordenado x-y de vértices chamados extremos de
  a

7
Adjacência

• Dois vértices são vértices adjacentes se forem os
  extremos de uma mesma reta.

1 e 3 (a5)
8
Adjacência

• Duas arestas que possuem um extremo em comum são
  ditas arestas adjacentes.

A1 e a4 (2)
9
Laços

• Um laço é uma aresta com extremos n-n para algum
  nó n.

• Um grafo que não possui laços é chamado grafo sem
  laços.

a3 (2-2)
10
Paralelismo

• Duas arestas que tem os mesmos extremos são ditas
  arestas paralelas.

A1 e a2 (1-2)
11
Grafo Simples

• Um grafo simples é um grafo que não tenha arestas
  paralelas nem laços.

• Vértice isolado não é adjacente a qualquer outro
  vértice.

5
12
Outros grafos

• Diagramas com arestas paralelas são chamados de
  multigrafos.

• Diagramas com arestas paralelas e laços são
  chamados de pseudografos.

13
Tipos de Grafos
Grafo
Multigrafo
Pseudografo
14
Tipos de Grafos

• Grafos simples e multigrafos são pseudografos,

Grafo
Multigrafo
Pseudografo

• Um vértice isolado não é adjacente a qualquer
  outro vértice.

15
Grau

• O grau de um vértice é número de arestas que o
  tem como ponto extremo.
• Como a função g relaciona cada aresta a seus
  extremos, cada aresta tem um único par de pontos
  extremos.

Vértice 1 grau 3 Vértice 5 grau 0 Vértice 2
grau 5 g(a1) 1-2 g(a6) 3-4 g(a3) 2-2
16
Grafos completos

• Um grafo completo é aquele no qual todos os
  vértices distintos dois a dois são adjacentes.
• Kn é um grafo completo com n vértices. Exemplo K4

17
Grafos Completos

• Exemplos Kn (grafos completos)

K2 K3 K4 K5
18
Subgrafo
a2
a3
a1
1
2

• Um subgrafo de um grafo consiste em um conjunto
  de vértices e um conjunto de arestas que são
  subconjuntos de vértices e arestas originais, nos
  quais os extremos de qualquer aresta são os
  mesmos que no grafo original.

a4
5
a5
a6
4
3
4
19
Grafos e subgrafos

• G1, G2, G3, G4 e G5 são subgrafos de G com os
  vértices V1,2,3,4.

20
Grafos e subgrafos

• O grafo G1 se destaca dos demais pois este possui
  todas as arestas que estão no grafo G. O grafo G1
  é chamado de sub-grafo induzido pelo conjunto de
  vértices 1,2,3,4.

21
Grafos e subgrafos

• H e J são subgrafos induzidos de G sobre os
  conjuntos Vh1,3,4,5,6 e Vj6,1,5.
• Q não é um subgrafo induzido por V1,3,4,5,6
  pois a aresta 1-4 não faz parte do subgrafo.

22
Grafos e subgrafos

• Definições 1- Dado um grafo G(V, a) dizemos que
  o grafo G1(V1,a1) é um subgrafo de G se V1 é um
  subconjunto de V (podendo ser igual a V) e as
  arestas de a1 são um subconjunto das arestas a.
• 2- Dizemos que G1 é um subgrafo induzido por V1
  se todas as arestas V1V2 de a tais que V1 e V2
  pertencem a V1 então V1V2 também pertence a a1.

23
Desconectando um grafo

• O grafo Q foi obtido do grafo P removendo-se o
  vértice 4 e suas arestas incidentes. P é conexo e
  Q é desconexo com duas componentes conexas e 4 é
  o vértice de corte.

24
Desconectando um grafo

• O grafo N foi obtido de M removendo-se a aresta
  3-4. O grafo M é conexo e N é desconexo. A aresta
  3-4 é chamada de aresta de corte ou ponte.

25
Desconectando um grafo

• Muitas vezes, para se desconectar um grafo é
  necessário remover um ou mais vértices ou arestas
  e um conjunto mínimo de vértices que desconecta
  um grafo é chamado de vértices de corte.
• De modo análogo, temos arestas de corte.

26
Desconectando um grafo

• Nas figuras abaixo as arestas 4-7,5-6 são
  arestas de corte e este conjunto é mínimo pois
  removendo-se apenas uma das arestas o grafo não
  desconecta.

27
Desconectando um grafo

• As arestas 4-7,5-6,6-7 também desconectam o
  grafo, mas elas não são consideradas arestas de
  corte, pois este não é um subconjunto mínimo de
  corte, já que existe o subconjunto 4-7, 5-6
  contido em 4-7, 5-6, 6-7 que desconecta o grafo.

28
Caminho

• Um caminho é uma seqüência de vértices e arestas,
  onde para cada i, os extremos da aresta ai são
  ni-ni1.

Alguns Caminhos possíveis vértices 2-4 2, a1, 1,
a2, 2, a4, 3, a6, 4 Ou 2, a4, 3, a6, 4 Ou...
29
Comprimento

• O comprimento de um caminho é o número de
  arestas que ele contém.

Caminhos \ comprimento 2, a1, 1, a2, 2, a4, 3,
a6, 4 ?comprimento 4 2, a4, 3, a6, 4 ?comprimento
2
30
Conexão

• Um grafo é conexo se houver um caminho entre
  quaisquer dois vértices.

a2
a3
a1
1
2
a4
a5
3
Não conexo (vértice 5 isolado)
Conexo (caminhos entre 2 vértices)
31
Ciclos

• Um ciclo é um caminho de algum vértice n até n de
  novo de forma que nenhum vértice ocorra mais de
  uma vez no caminho.
• Um grafo sem ciclos é dito grafo acíclico.

Ciclo 1, a1, 2, a4, 3, a5, 1
32
Complemento

• Denomina-se complemento de um grafo G(V,E) ao
  grafo G, o qual possui o mesmo conjunto de
  vértices do que G tal que para todo par de
  vértices distintos v, w de V, tem-se que (v,w) é
  aresta de G se e somente se não o for de G.

33
Grafos Regulares e Completos

• Um grafo é dito regular se todos os seus vértices
  possuem o mesmo grau.
• Um grafo é dito completo se existe uma aresta
  ligando todos os pares de vértices.
• Exemplos de grafos regulares

34
Grafos Regulares

• Um grafo cujos vértices têm o mesmo grau é
  chamado de grafo regular.

Grau 4
Grau 1
Grau 2
Grau 3
35
Grafos Regulares e Completos

• Dado um grafo kn (grafo completo com n
  vértices), este possui o número máximo de
  arestas.
• Cada vértice tem grau n-1, logo todo grafo
  completo é necessariamente regular.

36
PRÁTICA 1 (219)

• Trace um grafo que tenha
• os vértices 1,2,3,4,5,
• as arestas a1, a2, a3, a4, a5, a6
• e a função g(a1) 1-2,
• g(a2) 1-3,
• g(a3) 3-4,
• g(a4) 3-4,
• g(a5) 4-5,
• g(a6) 5-5.

37
PRÁTICA 2 (219)

• Encontre
• a - dois vértices que não sejam adjacentes
• b - um vértice que seja adjacente a ele mesmo
• c - um laço
• d - duas arestas paralelas
• e - o grau do vértice 3
• f - um caminho de comprimento 5
• g - um ciclo
• h - o complemento deste grafo.
• Este grafo é completo?
• Este grafo é conexo?

38
Grafos Isomorfos 07-06 paramos aqui
f1 1?a 2 ?b 3 ?c 4 ?d
f2 a1?e2 a2 ?e1
39
Grafos Isomorfos

• Dois grafos podem parecer muito diferentes em
  suas representações gráficas, mas serem, ainda
  assim, o mesmo grafo de acordo com nossa
  definição de grafo.
• Os grafos apresentados anteriormente são os
  mesmos, pois tem os mesmos vértices, as mesmas
  arestas e a mesma função de associação de arestas
  e seus extremos.

40
Grafos Isomorfos

• Para mostrar que dois grafos são isomorfos é
  preciso produzir novos rótulos (por meio de uma
  função injetiva e sobrejetiva) e então mostrar
  que a lista de quais arestas conectam quais
  vértices é preservada.

41
Grafos Isomorfos

• Dados G1V1, a1 e G2V2, a2
• V1A, B,C,D
• a1AC, CD, DA, AB, CB, DB
• V2 A1,A2,A3,A4
• a2 A1A2,A2A3,A3A4,A1A4,A2A4,A3A1
• Ambos possuem 4 vértices e 6 arestas. Desenhe G1
  e G2

42
Grafos Isomorfos

• Se trocamos no gráfico G1
• A ? A1 D ? A3 C ? A2 B ? A4
• Cada aresta de G1 será transformada em uma aresta
  de G2
• AC ? A1A2 DA ? A3A1 CD ? A2A3
• CB ? A2A4 AB ? A1A4 DB ? A3A4

43
Grafos Isomorfos

• Dados dois gráficos G1(V1, a1) e G2(V2, a2) são
  ditos isomorfos se existe uma função 1-1
• f V1 ? V2
• de modo que dois vértices quaisquer de V1, A e B
  são adjacentes se e somente se f(A) e f(B) são
  vértices adjacentes em V2.

44
Grafos Isomorfos

• A função f(Ui)Vi, i1, 2...,6, faz corresponder
  a cada aresta de G1 uma aresta de G2 e
  reciprocamente.

45
Condições que garantem que dois grafos não são
isomorfos

• Um grafo tem mais vértices que o outro
• Um grafo tem mais arestas que o outro
• Um grafo tem arestas paralelas e outro não
• Um grafo tem um laço e o outro não
• Um grafo tem um vértice de grau k e o outro não
• Um grafo é conexo e o outro não
• Um grafo tem um ciclo e o outro não.

46
Grafos Isomorfos
PRÁTICA 6 (222) Os grafos abaixo são isomorfos?
(a)
(b)
47
Grafos Isomorfos
(b)
EXEMPLO 5 (222) Os grafos (a) e (b) são
isomorfos?
(a)
Verifique o grau de cada aresta, quantidade de
vértices e arestas, adjacência entre os vértices
...
48
Grafos Isomorfos

• Os dois grafos apresentados anteriormente não são
  isomorfos. Ambos tem 6 vértices e 7 arestas, não
  tem arestas paralelas nem laços, são conexos, tem
  3 ciclos e 4 vértices de grau 2 e 2 vértices de
  grau 3.
• No entanto, o grafo (b) tem um vértice de grau 2
  que é adjacente a dois vértices de grau 3, o que
  não ocorre no grafo (a), portanto os grafos não
  são isomorfos.

49
Grafos Isomorfos

• Grafos isomorfos podem ter representações
  gráficas diferentes mas são essencialmente o
  mesmo grafo. Portanto, na teoria dos grafos,
  quaisquer dois grafos isomorfos são considerados
  um mesmo grafo.

PRÁTICA 5 (221) Os grafos (a) e (b) são
isomorfos? Se forem, descreva as bijeções.
(a)
(b)
50
Grafos Isomorfos
(a)
PRÁTICA 5 (221) 1?d 2 ?e 3 ?f 4 ?c 5 ?b 6 ?a
(b)
51
Grafos Homeomorfos

• Serão quando ambos puderem ser obtidos do mesmo
  grafo por uma seqüência de subdivisões
  elementares, nas quais uma única aresta x-y é
  substituída por duas novas arestas x-v e v-y,
  conectando-se em um novo vértice v.

52
Grafos Bipartidos Completos

• Seus vértices podem ser particionados em dois
  conjuntos não-vazios N1 e N2, tais que dois
  vértices x e y sejam adjacentes se, e somente se,
  x ? N1, e y ? N2.
• Se N1 m e N2 n, então este grafo é Km,n

• N1 1,2
• N2 3,4,5
• K2,3

53
Grafos Bipartidos Completos

• Desenhe K3,3

54
Grafos bipartidos

• Se podemos repartir os vértices de um grafo em
  dois subconjuntos V1 e V2 de modo que todas as
  arestas do grafo ligam um vértice de V1 com um
  vértice de V2, chamamos este grafo de grafo
  bipartido ou bipartite.

V1 1,2
V2 3,4,5,6,7
55
Grafos bipartidos completos

• O grafo abaixo é também bipartite e além disso
  todos os vértices de V1 estão ligados com todos
  os vértices de V2. Este tipo de grafo é chamado
  de bipartido (ou bipartite) completo.

2
1
V1 1,2
V2 3,4,5,6,7
3
5
6
4
7
56
Grafos Bipartidos Completos

• N1 1,2
• N2 3,4,5
• K2,3

57
Grafos Bipartidos Completos

• Existe algum processo eficiente para se
  reconhecer grafos bipartidos?
• Teorema
• Um grafo G(V,E) é bipartido se e somente se todo
  ciclo de G possuir comprimento par.

58
Grafos Bipartidos Completos

• Prova
• Seja v1, ..., vk um ciclo de comprimento K do
  grafo bipartido G e seja v1 um vértice de V1.
  Logo, v2 pertence a V2, v3 pertence a V1, v4
  pertence a V2, e assim por diante. Como (vk,v1)
  pertence a E, vK pertence a V2.

59
Exercício

• O grafo abaixo é um grafo bipartite?
• Se sim, ele é um grafo bipartite completo?
• Qual uma outra forma de se desenhar este grafo?

60
Grafos Planares (planaridade)

• É um grafo que pode ser desenhado em um plano
  (folha de papel) e forma que suas arestas se
  interceptem apenas em vértices.
• PRÁTICA 9 (223) Demonstre planaridade em K4

61
Grafos Planares (planaridade)

• Planaridade em K5

PRÁTICA 10 (224) Mostre que se colocássemos As
arestas 1-3 e 1-4 como exteriores ao construir
K5, seríamos levados, novamente a uma situação de
interceptação das arestas.
62
Fórmula de Euler paramos 27-05

• Um grafo simples, conexo e planar (sem
  intersecção de arestas, divide o plano em um
  número de regiões, incluindo as regiões
  totalmente fechadas e uma região infinita
  exterior. Euler observou a relação entre o número
  n de vértices, o número a de arestas e o número r
  de regiões neste tipo de grafos, sendo como
• n - a r 2

63
Fórmula de Euler
n - a r 2

• PRÁTICA 11 (224) Verifique a fórmula de Euler
  para o grafo conexo abaixo

64
Ordem, Tamanho e Distância

• Dado um grafo G(V,a), o número de vértices de G
  é chamado de ordem de G e é denotado por V.
• O número de arestas de um grafo é chamado de
  tamanho do grafo e é denotado por a.
• A distância entre dois vértices V1 e V2 de G é o
  comprimento do menor caminho entre V1 e V2.

65
Ordem, Tamanho e Distância

• G(V,a)
• VA,B,C,D,E,F

Ordem de G V6 Tamanho de G a9 Distância
d(B,E)1 Distância d(B,D)2
66
1º Teorema da Teoria dos Grafos

• Dado um grafo G então a soma dos graus de seus
  vértices é igual ao dobro do número de arestas.
• Este resultado é claro pois, ao contarmos o
  número de arestas de cada vértice estamos
  contando cada aresta duas vezes.

67
1º Teorema da Teoria dos Grafos

• Este teorema pode ser traduzido numa fórmula.
  Sejam V1, V2, ...,Vn os vértices, grau(V1) o grau
  do vérticeV1 e a o tamanho do grafo, então

grau(V1)grau(V2)...grau(Vn) 2 a
1322 24
88
68
1º Teorema da Teoria dos Grafos

• É possível construir um grafo com 3 vértices
  ímpares e outros pares?
• Não, pois se existe tal gráfico então a soma dos
  graus dos vértices ímpares será ímpar e a soma
  dos graus dos vértices pares será um número par.
  Logo a soma total dos graus será um número ímpar
  somado a um número par que é ímpar. Isto
  contraria o 1º Teorema.
• Logo tal grafo não existe.

69
Caminhos e Ciclos Eulerianos

• Um caminho é dito euleriano se este passa uma
  única vez em cada aresta de um grafo.
• Um ciclo que percorre todas as arestas de um
  grafo uma única vez é chamado de ciclo euleriano
  em homenagem a Euler.

70
Caminhos e Ciclo Eulerianos

• Dado o grafo abaixo, o caminho 123413 é um
  caminho euleriano, porém não é um ciclo
  euleriano, já que os vértices de início e fim do
  caminho não coincidem.

71
Caminhos e Ciclos Eulerianos

• Não existem caminhos eulerianos para o multigrafo
  acima.

72
Caminhos e Ciclos Eulerianos

• Suponhamos, por absurdo, que existe um caminho C
  euleriano. Neste caso, existem pelo menos dois
  vértices X e Y que não são nem início nem fim do
  caminho C. Cada vértice tem grau 3. Logo, quando
  C entra em X este deve sair por uma aresta
  diferente restando, portanto, uma aresta
  incidente a ser percorrida.
• Quando esta aresta for percorrida, ela deve
  entrar em X e não pode mais sair. Isto só pode
  ocorrer se X for um ponto final, mas X foi
  escolhido como não final. Isto é uma contradição.
  
• Logo, este caminho euleriano não existe.

73
Caminhos e Ciclos Eulerianos

• Teorema Um grafo G conexo possui um ciclo
  euleriano se e somente se todo vértice de G
  possui grau par.
• Este teorema é nos dois sentidos
• Se o grafo possui ciclo euleriano então o grau
  dos vértices é par.
• Se o grau dos vértices é par então o grafo possui
  ciclo euleriano.

74
Caminhos e Ciclo Eulerianos

• O grafo abaixo possui pelo menos um vértice de
  grau 3, logo não possui um ciclo euleriano.
• Isto não o impede de possuir um caminho
  euleriano que não seja um ciclo.