Pohlad geometra na matematick

1
Vajsáblová, M. Deskriptívna geometria pre GaK 35
Margita Vajsáblová
Mongeova projekcia
- polohové úlohy
2
Základné pojmy a obraz bodu v Mongeovej projekcii
Vajsáblová, M. Deskriptívna geometria pre GaK 36
Priemetne ? pôdorysna, 1s ? ?, ? nárysna,
2s ? ?,
Priemety bodu A ? ? 1sA A1 pôdorys bodu A,
1sA A?1sA ,1sA ? ?,
? ? 2sA A2 nárys bodu A, 2sA A?2sA ,2sA ? ?.
? ?? , ? ? ? x, oznacujeme ju x12 základnica.
A2
?
2s
A2
1sA
x12
?
A
1s
A1
2sA
x12
Združenie priemetní ? otocíme do ? okolo x, A1
sa otocí do A1, A1, A2 združené priemety bodu
A, platí A1A2 ? x12, A1A2 ordinála bodu A.
?
A1
A1
Definícia Bijektívne zobrazenie, ktoré každému
bodu A? ?3 priradí združené priemety A1, A2 ,
A1A2 ? x12, voláme kolmé premietanie na dve
navzájom kolmé priemetne Mongeova projekcia.
3
Obraz bodu v Mongeovej projekcii
Vajsáblová, M. Deskriptívna geometria pre GaK 37
Pravouhlá súradnicová sústava x, y ? ?, A1
xA, yA, kde x je základnica, x, z ? ?, A2
xA, zA,
V združení priemetní z ? -y, y ? -z
z ? -y
N2 ? N
A2
?
II.
z
A2
I.
zA
xA
x12
? ?2 ? ?1
P2
O
N1
A
zA
x12
yA
xA
yA
O
A1
y
P1 ? P
?
III.
A1
y ? -z
A1
IV.
Body priemetní P ? ? ? P1 ? P, P2 ? x12 , zP
0
Kvadranty ? a ? rozdelujú ?3 na 4 kvadranty
I. kvadrant y ? 0, z ? 0, II. kvadrant y ? 0, z
? 0, III. kvadrant y ? 0, z ? 0, IV. kvadrant y
? 0, z ? 0.
N ? ? ? N1 ? x12 , N2, ? N, yN 0
4
Obraz priamky v Mongeovej projekcii
Vajsáblová, M. Deskriptívna geometria pre GaK 38
Stopníky priamky a ? ? Pa pôdorysný stopník
priamky a,
a ? ? Na nárysný stopník
priamky a.
Na2 ? Na
a2
?
Na2 ? Na
Pa2
x12
Na1
a2
a1
a
x12
Na1
Pa2
Pa1 ? Pa
a1
?
Pa1 ? Pa
Konštrukcia pôdorysného stopníka a2 ? x12 Pa2
, P1 ? a1
Konštrukcia nárysného stopníka a1 ? x12 Na1 ,
N2 ? a2 .
5
Obraz priamok v Mongeovej projekcii
Vajsáblová, M. Deskriptívna geometria pre GaK 39
?
1) a ? ? ? a1 ? Pa1 , a2 ? x12.
2) b ? ? ? b2 ? Nb2 , b1 ? x1.
a2
b2 ? Nb2
b2 ? Nb2
a
a2
b
x12
Pa2
x12
?
Pa2
Na1
?
b1
?
a1 ? Pa1
a1 ? Pa1
b1
?
3) a ? x ? a1 ? a2 ? x12.
4) b ?? x ? b1 ?? b2 ?? x12.
Na2
b2
b
a2
b2
Na2
a
x12
Pa2 ? Na1
x12
?
b1
Pa1
?
a1 ? a2
a1
b1
Pa1
6
Obraz priamok v Mongeovej projekcii
Vajsáblová, M. Deskriptívna geometria pre GaK 40
?
5) a ?? ? ? a2 ?? x12
a2
a2
Na2
Na2
a
x12
Na1
x12
Na1
a1
?
a1
?
6) b ?? ? ? b1 ?? x12
b2
b
b2
x12
Pa2
x12
Pb2
b1
?
Pb1
b1
Pa1
7
Obraz roviny v Mongeovej projekcii
Vajsáblová, M. Deskriptívna geometria pre GaK 41
Stopy roviny ? ? ? p? pôdorysná stopa roviny
?,
? ? ? n? nárysná stopa roviny ?. Ak
existuje X p? ? n? , potom X ? x.
n?2
Na2
?
Na
a2
n?2 ? n?
X
Pa2
x12
a
Na1
?
x12
a1
X
Pa1
Pa
p?1 ? p?
?
p?1
Ak priamka leží v rovine a má stopníky, potom jej
pôdorysný stopník leží na pôdorysnej a nárysný na
nárysnej stope roviny P a1 ? p?1 , N a2 ?n?2
8
Roviny v Mongeovej projekcii
Vajsáblová, M. Deskriptívna geometria pre GaK 42
?
1) ? ?? ? ? ? 2 ? n?2 ?? x12
? 2 ? n?2
? 2 ? n?2
?
x12
x12
?
?
2) ? ?? x ? p?1 ?? n?2 ?? x12
n?2
n?2
?
x12
x12
?
p?1
p?1
9
Roviny v Mongeovej projekcii
Vajsáblová, M. Deskriptívna geometria pre GaK 43
?
3) ? ? ? ? ? 1 ? p?1 , n?2 ? x12
n?2
n?2
?
x12
?
x12
?
? 1 ? p?1
? 1 ? p?1
?
?
4) ? ? ? ? ? 2 ? n?2 , p?1 ? x12
? 2 ? n?2
? 2 ? n?2
?
x12
x12
?
?
?
p?1
p?1
10
Hlavné a spádové priamky roviny v Mongeovej
projekcii
Vajsáblová, M. Deskriptívna geometria pre GaK 44
Hlavné priamky I. osnovy roviny ? Ih? ??
?, Ih?1 ?? p?1 , Ih?2 ?? x12.
n?2
Ns2
?
Nh2
n?2
Ih?2
?
Is?
Is?2
Ps2
Ns1
Ih?2
x12
Nh1
Ih?
?
?
x12
Ih?1
Ih?1
?
?
Ps1
p?1
Is?1
?
p?1
Spádové priamky I. osnovy roviny ? Is? ?
Ih? ( p?), Is?1 ? p?1 , Is?2 Ps2 N s2.
11
Hlavné a spádové priamky roviny v Mongeovej
projekcii
Vajsáblová, M. Deskriptívna geometria pre GaK 45
Hlavné priamky II. osnovy roviny ? IIh? ??
? IIh?1 ?? x12, IIh?2 ?? n?2
IIs?2
n?2
Ns2
?
IIh?2
IIh?2
n?2
IIh?
?
Ph2
x12
Ps2
Ns1
?
IIh?1
x12
p?1
?
IIs?
Ph1
IIh?1
p?1
?
Ps1
IIs?1
Spádové priamky II. osnovy roviny ? IIs? ?
IIh? (n?) IIs?2 ? n?2 , IIs?1 Ps1 N
s1
12
Vzájomná poloha 2 priamok v Mongeovej projekcii
Vajsáblová, M. Deskriptívna geometria pre GaK 46
b2 ? Nb2

• Rovnobežné priamky a, b, ak nie sú kolmé na
  žiadnu z priemetní
• a a ?? b ? a1 ?? b1, a2 ?? b2.

a2 ? Na2
b2
a2
x12
x12
?
b1
a1
b1
a1
Ak sú rovnobežné priamky kolmé na niektorú z
priemetní, ich priemetom v nej sú 2 body.
b2 ? Nb2
b2
a2
a2 ? Na2
x12
x12
?
a1 ? b1
a1 ? b1
13
Vzájomná poloha 2 priamok v Mongeovej projekcii
Vajsáblová, M. Deskriptívna geometria pre GaK 47

1. Rôznobežné priamky a, b a ? b R ? a1 ? b1 R1
   , a2 ? b2 R2 , potom R1 R2 ? x12 .

a2
b2
b2
b2
a2
a2 ? Na2
R2
x12
x12
x12
?
?
b1
R1
a1 ? b1
b1
a1
a1

1. Mimobežné priamky a, b neplatia predchádzajúce
   pravidlá pre rovnobežné, ani rôznobežné priamky.

a2
b2
b2
b2
a2
a2 ? Na2
x12
x12
x12
?
b1
b1
b1
a1
a1
a1
14
Vzájomná poloha 2 rovín v Mongeovej projekcii
Vajsáblová, M. Deskriptívna geometria pre GaK 48
?
1) Rovnobežné roviny ? ?? ?, ak existujú ich
stopy ? p?1 ?? p?1, n?2 ?? n?2
n?2
n?2
n?2
n?2
?
?
x12
x12
?
p?1
p?1
p?1
p?1
2) Rôznobežné roviny ? ? ? m ? Pm p? ? p?,
Nm n? ? n?2 .
?
n?2
n?2
n?2
n?2
m
Nm2
Nm
?
?
x12
m2
Pm
x12
Pm2
p?1
Nm1
?
p?1
p?1
Pm1
p?1
m1
15
Vzájomná poloha priamky a roviny v Mongeovej
projekcii
Vajsáblová, M. Deskriptívna geometria pre GaK 49

• Všeobecný postup a ? ?
• Priamkou a preložíme lubovolnú rovinu ? a ? ?.

?

1. Nech m je priesecnica rovín ?? a ? ? ? ? ? m.

a

• Podla vzájomnej polohy priamok a a m urcíme
  vzájomnú polohu priamky a a roviny ?
• a, a ? m ? a ? ?
• b, a ?? m ? a ?? ?
• c, a ? m R ? R a ? ?

R
m
?

• Postup v Mongeovej projekcii, dané je aa1, a1,
  ?(p? , n? ), urcte a ? ?
• ? a ? ?, ???
• a 1 ? p?1, n?2 ?x12

?

1. ? ? ? ? m a 1 ? p?1 ? m 1 , m2 Pm2 Nm2

n?2

• a, a2 ? m2 ? a ? ?
• b, a2 ?? m2 ? a ?? ?
• c, a2 ? m2 R2 ? R a ? ?

m2
n?2
?
n?2
a
n?2
a2
Nm
Nm2
?
m
R
R2
x12
Pm2
a 1
? m 1
? p?1
Pm
Nm1
x12
?
R1
p?1
Pm1
p?1
? m 1
a 1
? p?1
16
Viditelnost priamky vzhladom na rovinu v
Mongeovej projekcii
Vajsáblová, M. Deskriptívna geometria pre GaK 50
Viditelnost pôdorysu Porovnávame bod na priamke
a v rovine, ktorých pôdorysy sú totožné a
viditelný je ten, ktorý má väcšiu z-tovú
súradnicu 1. a 1 ? p ?1A1 ?
P?1, A ? a , P? ? p ?
?
n?2

1. A2 ? a2 , P?2 ? x12

m2
n?2
n?2

1. zA ? zP ? bod A vidíme, teda vidíme polpriamku

?
A2
n?2
a2
Nm
a
A2 ? N2
R2
?
A
m
R
Pm2
x12
N1
a 1
? m 1
? p?1
Pm
x12
R1
?
p?1
A1
? A1
Pm1
? m 1
a 1
? p?1
p?1
Viditelnost nárysu Porovnávame bod na priamke a
v rovine, ktorých nárysy sú totožné a viditelný
je ten, ktorý má väcšiu y-ovú súradnicu 1. a 2
? n ?2A2 ? N2, A ? a, N ? n ? ,

1. A1 ? a1 , N1 ? x12 ,

3. yA ? zN ? bod A vidíme, teda vidíme polpriamku