Unidade te

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Unidade teórica 3 1 Modelo de Markowitz e a
Fronteira eficiente2. Determinação da Fronteira
eficiente Carlos Arriaga Costa2005/06
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Unidade teórica 3

• . O que é a fronteira eficiente num conjunto de
  portefólios?
• . Como modelizar a eficiência ?
• . Quais as hipóteses do modelo de Markowitz?
• . Como determinar a fronteira de eficiência?
• .

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MATEMÁTICA DA FRONTEIRA DE UM PORTEFÓLIO o
MODELO DE MARKOWITZ (1959)

• HIPÓTESES DO MODELO DE MARKOWITZ
• HIPÓTESES RELATIVAS AOS ACTIVOS FINANCEIROS
• H1 Todo o investimento é uma decisão tomada em
  situação de risco. O retorno de um activo
  financeiro para um período futuro é
  consequentemente uma variável aleatória com
  distribuição normal.
• H2 os retornos de diferentes activos
  financeiros não se movimentam de uma forma
  independente de uns e de outros.

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Hipóteses relativas ao comportamento dos
investidores

• H3 O comportamento de todos os investidores é
  caracterizado por um grau mais ou menos
  pronunciado de aversão ao risco (medido pelo
  desvio padrão e pela distribuição dos retornos)
• H4 Os investidores tomam decisões racionais
  Mesmo que a sua função de utilidade seja
  subjectiva eles operam segundo escolhas
  transitivas.
• H5 Todos os investidores têm um mesmo horizonte
  de decisão, que comporta um só período.

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ESTRUTURAÇÃO DO MODELO DE MARKOWITZ

• Os acontecimentos dos quais contribuem para as
  decisões tomadas não se encontram explicitados no
  modelo. A distribuição de probabilidades
  relativamente aos rendimentos de cada activo
  financeiro é efectuado condicionalmente ao estado
  da economia em geral e à situação do mercado
  financeiro em particular.
• Uma decisão consiste em alocar um determinado
  orçamento aos diferentes activos financeiros

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FRONTEIRA EFICIENTE

• 1º Fase Repartir as soluções possíveis em dois
  sub-conjuntos, correspondendo um deles ao das
  soluções dominantes (eficientes) e um outro ao
  das soluções dominadas (ineficientes)
• 2ºA fase Dentro das soluções eficientes, fazer
  corresponder aquela que maximiza a função de
  utilidade do investidor.

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PRIMEIRA FASE

• Em razão do principio de racionalidade, um
  investidor que pretende situar-se a um nível de
  risco optará por um portfólio de maior valor
  esperado do rendimento E(r2).
• Em razão do princípio de racionalidade e de
  aversão ao risco, um investidor que pretende
  situar-se a um nível de rendimento esperado
  optará pelo portfólio de menor risco.
• Pode-se estabelecer a hipótese de que todos os
  investidores, com base em características
  objectivas, localizarão de maneira semelhante a
  fronteira eficiente , que é independente das
  preferências individuais dos investidores.

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Segunda Fase

• Temos de ter em conta as funções de utilidade de
  cada investidor (curvas de indiferença)
• A fronteira de eficiência (dado objectivo)
• Cada investidor escolherá o portfólio
  correspondente ao ponto onde a fronteira de
  eficiência é tangente a uma das suas curvas de
  indiferença.

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Fronteira de eficiência

• A fronteira de eficiência deriva da maximização
  de um retorno esperado dado um determinado risco.
  
• Markowitz (1952,JoF) resolveu este problema
  matemáticamente
• Se não existir nenhum activo sem risco , a
  fronteira de eficiência será a metade mais
  elevada da fronteira com um mínimo de variância.
• Se existir um activo sem risco , a fronteira de
  eficiência será a linha tangente à fronteira com
  um mínimo de variância.
• Se não forem admitidas posições curtas todas as
  ponderações dos activos são não negativas.
  (Xi?0).
• Se forem admitidas posições curtas a curva
  continua indefinidamente.

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Fronteira de eficiência onde não existem activos
sem risco

• Fronteira de eficiência quando não são admitidos
  posições curtas

Retorno
A
FEM
Risco

• Se se admitir short sales a fronteira
  prolonga-se para lá de A

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Fronteira de eficiência onde existe um activo
sem risco

• A fronteira de eficiência é encontrada pelo ponto
  de tangência da recta que passa pelo activo sem
  risco e a fronteira.
• Se short sales são admitidos o portfólio da
  fronteira deverá incluir alguns activos
  adquiridos em short sales (posição curta) .

Retorno
B
A
FEM
RF
Risco
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Fronteira eficiente

• E(p)
• s (p)

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Cálculo da fronteira de eficiência

• Um investidor poderá enfrentar diferentes
  cenários não importa a existência de activos sem
  risco ou a possibilidade de short sales .
• Cada um dos cenários implicará diferentes métodos
  matemáticos na resolução das ponderações óptimas
  do portefólio.
• Os cenários que o investidor enfrenta são
• -Short sales e uma taxa sem risco para
  empréstimos ou concessão de emprestimos.
• -Short sales e não existência de uma taxa sem
  risco para empréstimos ou concessão de
  emprestimos.
• -Short sales não permitidas e uma taxa sem
  risco para empréstimos ou concessão de
  emprestimos.
• -Short sales não permitidas e não existência
  de uma taxa sem risco para empréstimos ou
  concessão de emprestimos.

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Cálculo da fronteira de eficiência utilizando o
método de MarkowitzCenario 1 -Posições curtas
(short sales) e uma taxa sem risco para
empréstimos ou concessão de emprestimos.

• A fronteira de eficiência é obtida pelo ponto de
  tangência entre a linha de transformação e a
  fronteira com o mínimo de variância.
• O declive da linha de transformação é designada
  por Rácio de sharpe.
• O rácio de sharpe é uma medida do excesso de
  retorno relativamente ao risco total.
• O ponto de tangência coincide com o óptimo do
  portefólio.
• Ao longo da fronteira de eficiência um investidor
  possui uma proporção de fundos neste portefólio
  que pode compreender alguns activos e cash
  (dívida pública por exemplo).

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Racio de sharpe

• Um dos activos sem risco (rf)
• rp (1-x)rf xra rf (ra-rf)x
• rp rf ((ra-rf) / sa) sp
• Racio de sharpe declive da recta
• ((ra-rf)/ sa) mede o excesso de retorno
  derivado do risco do activo

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• Matematicamente, a técnica de Markowitz para o
  cálculo da fronteira de eficiência, resulta na
  maximização do declive (rácio de Sharpe) da
  linha de transformação sujeito a uma restrição
  que a soma dos ponderadores é igual a um.
• Assim, escolher um óptimo de Xi de modo a

• Substituíndo por Rp e ?p o problema resulta em
  escolher Xi de modo a

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• Dá-nos N condições de 1ª ordem

• Desde que os retornos, variâncias e co-variâncias
  sejam conhecidas, as condições de 1ª ordem podem
  ser calculadas em óptimas proporções de
• Zi e então para ponderações óptimas de Xi.
• ?Zi é a quantidade investida em activos com
  risco.
• Se ?Zi é inferior á unidade (1- ?Zi) será
  investido nos activos sem risco (lenders).
• Se ?Zi é maior que a unidade (1- ?Zi) será
  investido no activo sem risco (borrowers).
• Uma vez que as ponderações óptimas são
  conhecidas, o retorno esperado e o risco do
  portefólio óptimo podem ser calculados
• O rácio de Sharpe para o portfolio P pode
  igualmente ser calculado.

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• Cuthbertson eNitzsche (2001) reescrevem a equação
  (3) em forma matricial. Assumindo haver três
  activos

• Onde ? é a matriz das variâncias-covariâncias dos
  retornos dos activos, z é um vector coluna de
  proporções óptimas e e um vector coluna do
  excesso dos retornos.

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• A solução é dada por

• As ponderações óptimas , Xi, são calculadas como
  atrás.

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• Lewis (1998) no NBER Working Paper No. 6351
  assume que
• A utilidade do investidor depende do retorno
  esperado e do risco .
• Os investidores maximizam a sua utilidade sujeita
  à linha de transformação óptima.
• A solução óptima é o ponto de tangância das
  curvas de indiferença do investidor a linha de
  transformação e pode-se interpretar as proporções
  óptimas, ?z, como a quantidade de fundos
  investidos nos activos com risco.
• A solução será

• Onde RRA é o coeficiente de aversão relativa ao
  risco.
• Quanto menor uma pessoa for avessa ao risco, mais
  longe é o ponto de intersecção da linha de
  transformação com a curva de indiferença do
  investidor no seu ponto de tangência, i.e. ?z é
  maior.

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Exemplo
22

• Precisamos de calcular as co variâncias ?ij?ij?i
  ?j.
• Substituimos os valores nas três equ (3) que
  traduzem as condições de 1ª ordem.
• Obtemos

• A equação resolve-se por substituição.
• Contudo, se houver um número grande de activos,
  as condições de primeira ordem são resolvidas por
  cálculo matricial .

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Em forma de matriz (7) fica
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• Suponha que A tem um coeficiente RRA1 então as
  condições de 1ª ordem podem ser calculadas em
  relação a Zi como

• Suponha que o investidor B tem menos aversão ao
  risco e tem um coeficiente de RRA0.2 então as
  condições de 1ª ordem podem ser calculadas em
  relação a Zi como

25

• Se ambos os investidores tiverem as mesmas
  expectativas sobre os retornos esperados, desvios
  padrão dos retornos e correlações entre os
  retornos, então as mesmas condições de 1ª ordem
  podem podem ser resolvidas para as mesmas
  ponderações óptimas Xi.

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• O valor esperado do retorno é dado por

27

• O risco esperado é dado por

28

• A equação da linha de transformação que passa
  pelo portfolio P é dado por

29

• Graficamente

Retorno
P
14.67
5
Risco
5.82

• Onde se localizam os portfolios A e B?

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• Os retornos esperados dos portfolios A e B são
  dados por

31

• O risco esperado dos portfolios A e B é dado por

32

• Graficamente

Retorno
B(-43,143)
18.81
P
14.67
7.76
A(71,29)
5
Risco
5.82
1.66
8.29

• A é menos avesso ao risco que B.

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Diversificação eficiente

• O conceito de eficiência permite estabelecer a
  seguinte proposição para todo o investidor, o
  portfólio de utilidade máxima que ele vai
  escolher tendo em conta o princípio de
  racionalidade, deverá ser um portfólio
  optimamente diversificado.
• Diversificando vai permitir reduzir o risco e
  aumentar simultâneamente o rendimento esperado do
  portfólio.
• O grau de diversificação possível de obter é
  função das covariancias dos activos financeiros
  que constituem o porfólio.
• Estudos empíricos têm mostrado que uma
  diversificação com 20 activos financeiros
  apresentam um resultado bastante satisfatório no
  que respeita ao binómio risco versus custos de
  transacção.O aumento de activos no portfólio
  pouco mais irá atenuar o risco.

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Diversificação exemplo com dois activos
financeiros

• Activo A E (RA) 5 s (RA) 20
• Activo B E (RB) 15 s (RB) 40
• Que proporções de A e de B?
• Três situações
• ? AB 1
• ? AB - 1
• -1lt? ABlt1

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Diversificação exemplo com dois activos
financeiros

• E( R)
• 15
• 10
  B
• C
• 5
  A

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Diversificação
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Teoremas dos portfolios eficientes

• Proposição 1
• Considerado c uma constante e R-c o vector
• R-c E (r1) c
• E (r2)- c
• E(rn) c
• O vector Z resolve as equações R-c Sz
• Z S-1R-c
• X x1, x2.xn

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Teoremas dos portfolios eficientes

• Proposição 1
• Xi zi / SZj
• Todos os portfolios de envelope (na fronteira)
  são desta forma
• c xi porfolio de tangência dado c

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Teoremas dos portfolios eficientes

• Proposição 2
• Se dois portfolios se encontram na fronteira
  eficiente (portfolios de envelope) e dada uma
  constante a o protfolio resultante
• ax (1-a)y
• Também se encontra na fronteira de eficiência

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Teoremas dos portfolios eficientes

• Proposição 3
• Se um portfolio s encontra na fronteira de
  eficiencia (portfolio y) então existirá sempre um
  outro linearmente relacionado com este que se
  encontra igualmente na fronteira de eficiência
• E (rx) c ß x E(ry) c
• ß x Cov (x,y) / s2y
• c será o valor esperado d eum portfolio z cuja
  covariancia com y é 0
• c E(rz)
• Cov (y,z) 0

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Dificuldades do modelo de Markowitz

• 1. Os valores dos parâmetros não serem conhecidos
• Algumas estimativas dos parâmetros
• estarem enviesadas
• O modelo requerer n valores de retorno, n
  valores da variância e N. (N-1)/2
• co-variâncias.
• Para n 1000, precisamos de estimar 501 500
  parâmetros

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• Todavia é a a partir do Modelo de Markowitz que
  se fizeram simplificações e outros modelos
  surgiram