Syst

1
Systémy hromadné obsluhy

• Základní pojmy
• Zdroj požadavku konecný, nekonecný
• Príchod požadavku do systému pevný , náhodný,
  v dávkách
• Režim fronty FIFO, LIFO, SIRO, PRI
• Chování ve fronte trpelivost, výber fronty
• Pocet a usporádání kanálu obsluhy homogenní,
  nehomogenní, paralelní, sériové, s 1 s více
  frontami
• Výstup z obsluhy výstupní potok
  regulární,náhodný
• Kendallova klasifikace systému hromadné obsluhy
• Elementární vstupní tok
• Poissonovo rozdelení poctu událostí za casový
  interval
• Exponenciální rozdelení intervalu mezi událostmi
• Markovské systémy v hromadné obsluze
• Rovnice ve stabilizovaném tvaru
• Základní charakteristiky systému M/M/1
• Nákladový problém minimalizace celkových
  nákladu

2
Clenení modelu HO

• Z hlediska výpoctu
• Analytické
• simulacní
• Z hlediska poctu linek rozlišujeme
• Systémy s konecným poctem linek
• Systémy s nekonecným poctem linek

• Systémy s cekáním (tj. požadavek ceká na obsluhu
  a vytvárí se fronta)
• Systémy se ztrátami (tj. požadavek systém ihned
  opouští bez obsluhy a fronty se nevytvárí)
• Systémy smíšené

3
Základní charakteristiky modelu HO

• Zdroj požadavku
• Populace,struktura
• Príchod do systému
• Vstupní potok
• Režim fronty
• Chování ve fronte
• Trpelivost
• Pocet a usporádání kanálu obsluhy

• Doba obsluhy
• Výstup ze systému
• Výstupní potok
• Qqueue
• Sservis
• Ttime
• Llength

4
Intenzita vstupu jednotek do systému
Interval mezi vstupy po sobe následujících jednotek X1,X2,
Intenzita obsluhy
Pocet kanálu obsluhy m
Intenzita provozu systému HO
Strední doba cekání ve fronte TQ
Strední doba obsluhy TS
Strední hodnota celkové doby v systému, tj. doba cekání plus doba obsluhy T
Pravdepodobnost, že v systému není žádná jednotka P0
Pravdepodobnost, že v systému je n jednotek pn
Strední pocet jednotek ve fronte LQ
Strední pocet jednotek v kanálech obsluhy LS
Strední pocet jednotek v systému L
5
Kendallova klasifikaceA/B/C/D/E/F
A Typ pravdepodobnostního rozdelení intervalu mezi vstupy požadavku do systému M Poissonuv proces vstupu, tj. exponenciální rozdelení intervalu mezi vstupy Ek Erlangovo rozdelení intervalu mezi vstupy požadavku D pravidelné vstupy požadavku G obecný prípad, jakékoliv rozdelení
B Typ pravdepodobnostního rozdelení doby trvání obsluhy M exponenciální rozdelení doby trvání obsluhy Ek Erlangovo rozdelení doby trvání obsluhy D konstantní doba obsluhy G jakékoliv rozdelení trvání obsluhy
C Pocet paralelních obslužných linek m1, 2, .. (celé kladné císlo)
D Kapacita systému hromadné obsluhy, tj. místa v obsluze a ve fronte Kapacita systému hromadné obsluhy, tj. místa v obsluze a ve fronte
E Pocetnost zdroje požadavku Pocetnost zdroje požadavku
F Režim fronty FIFO, LIFO, PRI, SIRO

6
MODEL M/M/1 S CEKÁNÍM

• Vstupní tok požadavku je stacionární, beznásledný
  a ordinární
• Pravdepodobnost, že za casový interval délky t
  nastane práve k událostí, je
• Pravdepodobnost žádného vstupu
• Strední pocet událostí za jednotku casu je roven

7
Markovský vstup

• Pocet jednotek, které vstoupí do systému v
  intervalu t má Poissonovské rozdelení
  pravdepodobnosti s intenzitou ?
• Intervaly mezi vstupy po sobe následujících
  jednotek mají exponenciální rozdelení
  pravdepodobnosti
• Strední interval mezi vstupy
• Pravdepodobnost, že nastane jeden a více vstupu

8
Graf hustoty pravdepodobnosti exponenciální
náhodné promenné
9
Markovská obsluha
Pravdepodobnost, že doba obsluhy TS bude vetší
než t0 ( v intervalu nebude ukoncena)
vypocteme jako
pravdepodobnost, že obsluha požadavku bude
ukoncena v prubehu intervalu
za podmínky, že obsluha již probíhá po dobu t0
10
Odvození charakteristik pro M/M/1

• E0 ? E0 Žádná jednotka nevstupuje.
• V systému není žádná jednotka a po uplynutí doby
  dt tam není opet žádná jednotka tj. žádná
  jednotka nevstoupí, s pravdepodobností
• 1 ?dt
• E0  ? E1 Jedna jednotka vstupuje.
• Stavu E1 lze z nulového stavu dosáhnout jedine
  tak, že do systému vstoupí jedna jednotka, s
  pravdepodobností
• ?dt
• E1  ? E0 Jedna jednotka je obsloužena a žádná
  nevstupuje.
• Žádná jednotka nevstoupí a zároven jedna bude
  behem doby dt obsloužena. Oba prípady musí nastat
  zároven, tedy s pravdepodobností
• (1 ?dt) µdt µdt ?µdt2

• En  ? En Jedna jednotka vstupuje a jedna je
  obsloužena neboli nenastane žádná zmena.
• žádná jednotka nevstoupí a žádná nebude
  obsloužena
• nebo (b) jedna vstoupí a soucasne jedna bude
  obsloužena.
• (1 ?dt) (1 µdt) ? dt µdt
• 1 ? dt µdt ? µdt2 1 ? dt µdt

11
Výchozí pocet jednotek Zmena stavu Zmena stavu Zmena stavu Zmena stavu Zmena stavu Zmena stavu
Výchozí pocet jednotek 0 1 2
Výchozí pocet jednotek 0 (1- ?) dt ? dt 0 0 0
Výchozí pocet jednotek 1 µ dt 1-(? µ)dt ? dt 0
Výchozí pocet jednotek 2 0 µ dt 1-(? µ)dt ? dt 0
Výchozí pocet jednotek 3 0 0 µ dt 1-(? µ)dt ? dt
Výchozí pocet jednotek 0 0 0 µ dt 1-(? µ)dt
Výchozí pocet jednotek 0 0 0 0 µ dt
Výchozí pocet jednotek 0 0 0 0
12
Výpocet limitních pravdepodobností Markovského
retezce

• p0(t dt) p0(t) (1 ?dt) p1(t) µ dt
• p1(t dt) p0(t) ? dt p1(t) (1 ?dt µdt)
  p2(t) µ dt
• pn(t dt) pn-1 ?(t) dt pn(t) (1 ?dt
  µdt) pn1(t) µ dt

13
Úprava rovnic

• První rovnici upravíme
• p0(t dt) p0(t) p0(t) ? dt p1(t) µ dt
• p0(t dt) p0(t) p0(t) ? dt p1(t) µ dt
• obe strany rovnice vydelíme "dt" a prejdeme k
  limite pro dt ? 0
• .

.
.
14
Rovnice pro stabilizovaný systém
15
Rešení soustavy rovnic ve stabilizovaném tvaru

• p1 (? / µ) p0 pn (? / µ)n p0
• p0(? / µ)1 ? / µ (? / µ)2 (? / µ)n
  1 p0

dosadit
16
1 ? / µ (? / µ)2 (? / µ)n
Soucet nekonecné geometrické rady,která
konverguje, když
Intenzita provozu Musí být menší než 1 (reálne do
0,8)
17
(No Transcript)
18
Intenzita provozu - príklad

• Lékar ošetruje jednoho pacienta prumerne 20
  minut.
• Za jednu hodinu prichází prumerne 5 pacientu.
• Bude tento systém fungovat?

19
Intenzita provozu - príklad

• Jak musí lékar zkrátit dobu ošetrení,aby
• systém fungoval?
• Pracoval nejvýše 80 procent pracovní doby?

20
Výpocty základních charakteristik
Pravdepodobnost, že jednotka nebude cekat ve fronte, tj., že systému není žádná jednotka
Pravdepodobnost, že v systému je práve k jednotek
Pravdepodobnost, že v systému je k nebo více jednotek
Pravdepodobnost, že v systému je více než k jednotek
Pravdepodobnost, že v systému je k nebo méne jednotek
Strední pocet jednotek v systému
Strední pocet jednotek ve fronte
Strední doba strávená jednotkou v systému
Strední doba strávená jednotkou ve fronte
Strední doba obsluhy
21
Príklad

• Do obchodu vstupuje prumerne 20 zákazníku za
  hodinu. Obsluha jednoho zákazníka trvá približne
  2 minuty.
• Jaká bude prumerná délka fronty?
• Jakou dobu prumerne zákazník v obchode stráví?

22
Nákladový problém
Náklady vzniklé pobytem jednotky v systému za jednotku casu N1
Náklady na provoz jednoho kanálu obsluhy za jednotku casu N2
Prumerný pocet jednotek v systému L
Pocet kanálu obsluhy m
Celkové náklady na provoz i pobyt jednotek v systému za jednotku casu N
.
23
Nákladový problém lékar pracuje na 80

• Mzda lékare je 500 Kc na hodinu. Náklady na pobyt
  pacienta ve zdravotnickém zarízení se odhadují na
• a) 50 Kc na hodinu
• b) 300 Kc na hodinu
• Vyplatí se, aby byly v provozu 2 ordinace zároven?

.