Calcul propositionnel

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Calcul propositionnel

• Logique - 1

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Vers une interprétation concrète

• Le système formel, que nous appellerons calcul
  booléen, a reçu une interprétation mathématique
  rigoureuse au moyen du domaine D 0, 1 et des
  opérations et ? définies sur lui,
• Maintenant, concrètement quelle signification
  donner à des variables qui ne peuvent prendre
  pour valeurs que 0 ou 1?

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Calcul propositionnel

• Une candidate à la signification quon peut
  accorder à une variable booléenne est la notion
  logique de proposition,
• Une proposition est une entité qui est soit vraie
  (1) soit fausse (0)
• Le calcul propositionnel est donc une
  interprétation concrète du calcul booléen quand
  1 est interprété comme Vrai (v) et 0 comme Faux
  (f)

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• Le calcul propositionnel est donc une algèbre de
  Boole où les variables, appelées variables
  propositionnelles, représentent des propositions,
  cest-à-dire des entités ayant pour valeurs
  possibles le vrai (v) ou le faux (f)
• Les expressions booléennes contenant de telles
  variables sinterprètent aisément

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Des expressions booléennes aux formules de
logique propositionnelle

• Il est dusage de noter p, q, r, les variables
  propositionnelles,
• Il est dusage aussi de noter ? ce quon avait
  noté , ? pour ?, ? pour
• Ces symboles sont appelés des connecteurs

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Conjonction et disjonction

• Ainsi les connecteurs ? et ? permettent de
  définir les propositions p?q et p?q, dont les
  valeurs de vérité sont calculées au moyen des
  tables suivantes

p q p?q
v v v
v f v
f v v
f f f
p q p?q
v v v
v f f
f v f
f f f
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suite

• Ainsi, p?q est vrai si et seulement si lun des
  deux (ou les deux) de p et de q est vrai
• p?q est vrai si et seulement si p et q sont vrais
  simultanément
• Doù la lecture quon donne à ces symboles p?q
  p ou q
• p?q p et q

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négation

• De même, on peut définir la proposition ?p
• Qui, bien sûr, sinterprète comme la négation de
  p
• ?p non-p

p ?p
v f
f v
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extensionnalité

• Les exemples précédents montrent quune nouvelle
  proposition est construite à partir de deux
  propositions p et q en déterminant quelle est sa
  valeur de vérité pour chaque situation concernant
  les valeurs de vérité de p et q,
• Il y a 4 situations possibles (v,v), (v, f), (f,
  v), (f, f)
• Il y a donc autant de propositions obtenues à
  partir de p et q (donc autant de connecteurs
  binaires) quil y a de fonctions associant v ou f
  à chacune de ces situations
• Ces fonctions sont appelées fonctions de vérité,
  elles sont représentées par des tables tables de
  vérité.
• Comme nous navons pas de moyens de distinguer
  deux propositions hormis par les valeurs de
  vérité quelles prennent dans les mêmes
  situations, nous sommes amenés à identifier une
  proposition avec sa fonction de vérité cest ce
  quon appelle le principe dextensionnalité.

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Exercice

• De ce qui précède, on déduit quon peut
  facilement procéder au recensement de toutes les
  propositions composées à partir de deux
  propositions,
• Effectuer ce recensement
• Idem pour les propositions obtenues à partir
  dune seule proposition

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Définition de limplication

• Une autre manière de découvrir des
  connecteurs consiste à combiner entre eux ceux
  que nous connaissons déjà
• Ainsi, il est bien connu que dire quil ny a
  pas de fumée sans feu revient à dire que sil
  y a de la fumée (quelque part) alors il y a du
  feu (pas loin!)
• Doù lidée de définir un connecteur
  correspondant à si alors , noté ?,
• par
• p ? q def ?(p??q)

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implication

• Il est facile den déduire la table de vérité de
  ce connecteur

p q p?q
v v v
v f f
f v v
f f v
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suite

• Bien noter que p ? q nest faux que si p est vrai
  et que q est faux
• En particulier, p ? q est vrai lorsque p est
  faux,
• p ? q est vrai également lorsque q est vrai,
• Vérifier quon aurait pu tout aussi bien définir
  p ? q par ?p?q

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Remarque

• Dans lexpression p ? q, on dit souvent que p est
  la condition suffisante de q, ou que q est la
  condition nécessaire de p,
• En français, la condition suffisante sexprime
  généralement par un si , exemple si la
  température dépasse 372 (p) alors le patient est
  malade (q),
• La condition nécessaire sexprime généralement
  par seulement si ou que si , exemple le
  patient nest malade (q) que si sa température
  dépasse 372 (p)
• Dans le premier cas, la proposition p la
  température dépasse 372 est condition
  suffisante (de la maladie, cest-à-dire q), dans
  le deuxième cas, elle est condition nécessaire,
  donc dans le premier cas, on a p ?q, et dans le
  second, on a q ?p,
• Bien sûr, le connecteur ? nest pas symétrique (p
  ?q ? q ?p), cest tout lintérêt de sa table de
  vérité!

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Autres connecteurs

• Fabriquer les tables de vérité des connecteurs
  obtenus des manières suivantes
• P?Q def (P?Q)?(Q ?P)
• PWQ def (P?Q) ??(P?Q)
• PQ def ?P? ?Q
• Leur donner des interprétations intuitives

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Le langage propositionnel

• Nous avons désormais un stock de symboles
  utilisés
• Les variables propositionnelles,
• Les connecteurs ?, ?, ?, ?, ?, W
• Des signes de ponctuation (les parenthèses)
• Nous pouvons les utiliser pour définir un
  langage le langage de la logique
  propositionnelle LP
• Définition
• Toute variable propositionnelle est une
  expression de ce langage,
• Si P est une expression de ce langage, alors ?P
  lest aussi
• Si P et Q sont deux expressions de ce langage,
  alors (P ?Q), (P?Q),(P ?Q), (P?Q), (PWQ) le sont
  aussi,
• Rien dautre nest une expression de ce langage
  hormis par les trois clauses précédentes.

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Théorème fondamental

• Soit Pp1, p2, , pn un ensemble de variables
  propositionnelles et soit L(P) lensemble des
  expressions linguistiques qui ne contiennent que
  les variables incluses dans P,
• Pour toute assignation ? de valeurs de vérité à
  p1, p2, , pn il existe une et une seule fonction
  val? de L(P) dans 0, 1 qui coïncide avec ? sur
  P et qui soit telle que, pour toutes expressions
  a et b dans L(P)
• val?(a?b) 1 si et seulement si val?(a)
  val?(b) 1
• val? (a?b) 0 si et seulement si val?(a)
  val?(b) 0
• val? (a?b) 0 si et seulement si val?(a) 1 et
  val?(b) 0
• val? (a?b) 1 si et seulement si val?(a)
  val?(b)
• val? (?a) 1 si et seulement si val?(a) 0

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Remarque

• Ce théorème ne fait que dire ce que nous savons
  déjà intuitivement, à savoir quà toute
  expression représentant une proposition, on peut
  associer une (et une seule) table de vérité,
• Néanmoins, au lieu dêtre une simple intuition,
  cest un théorème autrement dit, il se démontre.
  Pour ce faire, nous avons besoin doutils quon
  verra plus loin dans la suite du cours
  (récurrence sur la structure de lexpression).

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Cas particuliers, tautologies et contradictions

• Parmi les expressions de L(P), il en est qui,
  pour toute assignation de valeurs de vérité aux
  variables, donnent toujours comme valeur 1 (ou
  v).
• On les appelle des tautologies
• Il en est dautres qui donnent toujours comme
  valeur 0 (ou f).
• On les appelle des contradictions

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Exemples

• Voici quelques tautologies (les vérifier!)

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suite

• Voici quelques contradictions

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constantes

• Parmi les connecteurs n-aires il y a aussi le
  cas où n 0, donc le cas des connecteurs
  0-aires.
• Une proposition formée au moyen dun connecteur
  0-aire est une proposition qui ne contient aucune
  variable propositionnelle, donc ou bien elle est
  toujours vraie, ou bien elle est toujours fausse
  .
• Notons V la première et F la deuxième.
• Ce sont bien sûr les traductions des constantes
  booléennes 1 et 0.

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Equivalences tautologiques

• Une expression P est dite tautologiquement
  équivalente à une expression Q si et seulement si
  elles ont exactement la même table de vérité,
• P ? Q
• Attention le signe ? nappartient pas au
  langage objet, ce nest pas un connecteur, cest
  un méta-symbole car il permet de poser un
  jugement concernant deux expressions du langage
  objet (et non de construire une expression du
  langage objet).

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Exemples

• Vérifier que les expressions suivantes sont
  tautologiquement équivalentes entre elles

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Remarque

• Si on sen tient au principe dextensionalité, on
  doit distinguer une proposition (associée à une
  fonction de vérité) dune de ses possibles
  expressions linguistiques, deux expressions
  distinctes tautologiquement équivalentes sont
  deux expressions linguistiques différentes de la
  même proposition.

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Remarque

• Si P est une tautologie, on peut écrire
• P ? V
• De même, si P est une contradiction, on peut
  écrire
• P ? F
• Noter que

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un peu de terminologie

• Comment sexpriment en logique propositionnelle
• Les lois de De Morgan?
• Les lois dabsorption?
• Les lois de distributivité?
• Les lois dassociativité et de commutativité?
• La loi de double négation?
• Noter que