Chapitre 2: Modles mathmatiques des systmes

1
Chapitre 2 Modèles mathématiques des systèmes
1/27
Contenu du chapitre
2.1. Introduction 2.2. Représentation des
systèmes physiques par les équations
différentielles 2.3. Approximation linéaire des
systèmes physiques 2.4. La transformation de
Laplace 2.5. La fonction de transfert des
systèmes linéaires 2.6. Modélisation par
diagramme blocs 2.7. Représentation des systèmes
par un graphe de fluence 2.8. Analyse des
systèmes par simulations numériques 2.9
Simulation des systèmes en utilisant MATLAB
6GEI630 Systèmes Asservis
R. Beguenane, UQAC, 2005/2006
2
2/27
2.7. Représentation des systèmes par un graphe de
fluence
Les diagramme blocs, comme une représentation des
relations E/S des systèmes de contrôle, est
utile. Toutefois, pour les systèmes ayant une
interrelation complexe, la procédure de
réduction/transformation des blocs devient
compliquée à gérer/compléter.
La méthode, dite graphe de fluence, permet de
représenter les relations entre les variables du
système sans faire appel à la procédure de
réduction/transformation des graphes comme dans
la méthode des diagramme blocs. Elle est
nécessaire quand le système est très complexe.
Le passage de la représentation par diagramme
blocs à celle par graphe de fluence est aisée à
accomplir.
3
3/27
4
4/27
Note Avec la technique de réduction des
diagramme-blocs, il aurait été difficile
dobtenir la FT globale
Avec la technique de graphe de fluence et la
formule de gain de Mason, il est plus facile de
lobtenir, i.e.
5
5/27
Exemple 1 Moteur DC contrôlé par ia
6
6/27
Exemple 2 FT dun système multi-boucles
(Vu à la section 6)
7
7/27
Exemple 3 FT dun système complexe
8
8/27
2.8. Analyse des systèmes par simulations
numériques
La modélisation mathématique (numérique) dun
système, nécessaire pour montrer son
comportement, peut être utilisée pour investiguer
différentes conceptions possibles pour répondre à
un cahier de charge spécifique, sans pour autant
faire appel au système physique réel.
Une simulation numérique a pour objectif
dutiliser une telle modélisation mathématique,
les conditions actuelles du système modélisé, et
les entrées de commandes associées.
Différents niveaux de précision de la simulation
(fidélité) sont valables pour lingénieur de
contrôle des systèmes.
Au début du processus de conception, un
environnement logiciel hautement interactif (Ex.
Matlab/Simulink) suffit puisque la vitesse
dexécution des simulations nest pas nécessaire.
Les simulations sont effectuées itérativement (à
plusieurs reprises) au fur et à mesure quon
ajuste les données pour aboutir à la solution
finale.
La simulation est dite basse fidélité puisque des
simplifications (Ex. Linéarisation) sont
considérées dans le processus de conception.
9
9/27
Au fur et à mesure que la conception prend de
lallure, il est nécessaire de conduire des
simulations plus réalistes (expérimentation
numérique) en considérant par exemple des
paramètres, jusque là négligés.
Dans ce cas la vitesse dexécution des
simulations doit être un facteur à considérer
puisque les simulations deviennent lentes à
sexécuter. Ce qui pourrait réduire le nombre de
simulations pour sauver des coûts.
Il est donc préférable de programmer, dans ce
cas, avec des langages haut niveau mais moins
interactif comme le C/C, FORTRAN, ADA, etc.
Dans ce cas la simulation est dite haute
fidélité.
En conclusion
La modélisation et la simulation numériques sont
les seules moyens techniques pour analyser et
évaluer un système en vue de le contrôler et
concevoir les procédés nécessaires à son contrôle.
10
10/27
Exemple de conception Contrôle dun moteur
électrique à traction
Lamplificateur de puissance est non linéaire
Lamplificateur différentiel (Soustracteur)
En équilibre
11
11/27
12
12/27
Exemple de conception Filtre passe-bas

• Le but de la conception est
• dobtenir
• système de 1er ordre,
• Passe pour Fréq. lt 106.1Hz
• Atténue pour Fréq. lt 106.1Hz
• Le gain DC 1/2

13
13/27
2.9. Simulation des systèmes en utilisant MATLAB
MATLAB peut Être utilisé pour Illustrer des
réponses temporelles
14
14/27
15
15/27
MATLAB peut être utilisé pour analyser des
systèmes par les FT. Exemple
16
16/27
MATLAB traite les systèmes linéaires et
stationnaires comme des objets, permettant ainsi
de manipuler les modèles systèmes comme des
entités singulières. ? Programmation orientée
objet. Par exemple, Les fonctions de transfert,
ses pôles et zéros sont créées par les fonctions
MATLAB, appelées tf, pole, zero.
Les objets des modèles systèmes possèdent des
propriétés dobjet modifiables.
17
17/27
18
18/27
19
19/27
b) Parallèle
20
2027
21
21/27
22
22/27
23
23/27
24
24/27
c) Réduction multi-boucles
Procédure - Entrer les FT du système dans
lenvironnement MATLAB - Déplacer H2 derrière
G4 - Éliminer la boucle G3G4H1 - Éliminer la
boucle contenant H1 - Éliminer la boucle
restante et calculer T(s)
25
25/27
Annulation Pôles-Zéros en commun (avec la
fonction MINREAL)
26
26/27
27
27/27
Réponse y w(t) à uwd(t) de référence échelon
(la fonction MATLAB est STEP)