Aucun titre de diapositive

1
Université de Rennes 1 Licence Sciences
Technologie Santé L2-PCGI Electromagnétisme Phil
ippe Rabiller 2005
2
Bibliographie

• BERKLEY - Cours de Physique - 2. électricité et
  magnétisme, E.M. Purcell (éditions Dunod
  1998).
• Champs et ondes électromagnétiques, P.Lorrain et
  D.R.Corson (éditions Armand Colin_collection U
  1979).
• Comprendre et Appliquer lélectrostatique, J.P.
  Longchamp (éditions MASSON 1991)
• Comprendre et Appliquer lélectromagnétisme,
  J.P. Longchamp (éditions MASSON 1990)
• Le cours de physique de Feynman mécanique 1 2
  (éditions DUNOD 1999)
• ...

3
Plan du cours

• ch.1 Introduction
• ch.2 Vecteurs et champs
• ch.3 Champ et Potentiel électrostatiques
• intro au ch. 4 relativité restreinte
• ch.4 Champ Magnétique
• ch.5 Induction électromagnétique
• ch.6 Propagation des ondes électromagnétiques
• ch.7 Rayonnement électromagnétique

4
Chapitre 3 Champ et Potentiel électrostatiques
3.1 Additivité de la loi de Coulomb 3.2 Energie
électrostatique dun système de charges 3.3
Champ Electrique 3.4 Potentiel
Electrostatique 3.5 Théorème de Gauss /
Equation de Lapalce 3.6 Distributions de
charges / symétrie 3.7 Dipôle électrique 3.8
Densité dénergie dans un champ électrique 3.9
Cas des conducteurs parfaits 3.10 Cas des milieux
isolants (diélectriques)
5
3.1 Additivité de la loi de Coulomb
La force exercée sur une charge q1 par deux
autres charges q2 et q3 est la somme
(vectorielle!) des forces exercées respectivement
par q2 sur q1 et q3 sur q1
Plus généralement la force exercée sur une charge
test q par un ensemble de charges Qi est la
somme vectorielle des forces exercées
respectivement par toutes les charges Qi prises
individuellement sur la charge test q
6
3.2 Energie électrostatique dun système de
charges
Soit une charge test q. Calculons le travail
fourni pour amener cette charge depuis linfini
jusquà une distance r dune autre charge Q fixe
Rapprocher deux charges de même signe coûte de
lénergie, tandis que rapprocher deux charges de
signe opposés fournit de lénergie.
Si les deux charges restent à une distance fixe
lune de lautre cest quune autre force empêche
les charges de séloigner si q et Q ont même
signe, ou de se rapprocher si q et Q sont de
signes opposés. Nous ne cherchons pas à préciser
la nature de cette force ce cours.
7
3.2 Energie électrostatique dun système de
charges
8
3.2 Energie électrostatique dun système de
charges
Si on considère à présent un système de trois
charges q1, q2 et q3, alors il faut ajouter à
lénergie électrostatique du système de charge
q1,q2 lénergie correspondant au travail
amenant la charge q3 en présence des deux autres
Pour un système de N charges qi, i1,N
9
3.2 Energie électrostatique dun système de
charges
exemple Molécule de formaldéhyde HCHO
WHCHO 2 WHC WCO 2 WHO
WHCHO ? -1.08 103 kJ/mol NEGATIF ?
COHESION !!!
10
3.3 Champ Electrique
La force est proportionnelle à la charge test q

• Les charges Qi sont la source du champ
  électrique.

• Le champ électrique est une propriété locale.

Il suffit de connaître le champ électrique en
tout point de lespace pour savoir quelle est la
force agissant sur une charge test en ce point !
11
3.3 Champ Electrique
La visualisation du champ électrique nécessite de
représenter aux différents points de lespace
considérés des vecteurs (une direction, un sens
et un module). Ce qui peut très vite devenir
surchargé et donc peu explicite ...
On préfère parfois utiliser une représentation en
 lignes de champ  ou  lignes de force  qui
est un faisceau de courbes dont la tangente en
tout point est donnée par la direction du champ
électrique.
http//hypo.ge-dip.etat-ge.ch/physic/simulations/c
hampe/lignechamp.html
12
3.4 Potentiel Electrique
Différence de potentiel Nous avons vu que le
travail de la force électrique exercée sur une
charge par un ensemble dautres charges est
indépendant du chemin suivi. Nous pouvons
reprendre ce développement en introduisant le
champ électrique et ainsi écrire
13
3.4 Potentiel Electrique
Fonction potentiel électrostatique Nous pouvons
écrire la différence de potentiel V21 comme la
différence des valeurs prises par une fonction
scalaire V(r) aux positions r1 et r2.
En différenciant (dérivant) chaque membre de
léquation ci-dessus, nous pouvons alors écrire
(cf. chapitre 2)
Par identification nous voyons donc que le champ
électrique (vectoriel) dérive dun potentiel
(champ scalaire)
14
3.4 Potentiel Electrique
15
3.5 Théorème de Gauss / Equation de Laplace
approche intégrale - théorème de Gauss Le flux
du champ électrique à travers une surface fermée
est égal à la charge totale, comprise à
lintérieur de la surface, divisée par la
permittivité du vide eo.
16
3.5 Théorème de Gauss / Equation de Laplace
Comment généraliser au cas dune distribution de
charges ponctuelles ?
dFs E(r)ds
dFS E(R) dS cos(w)
dW dS cos(w) /R2 sin(q)dqdj ds/r2
Pour la charge q1, le flux est le même à travers
les deux surfaces !!!
17
3.5 Théorème de Gauss / Equation de Laplace
Comment généraliser au cas dune distribution de
charges ponctuelles ?
Pour la charge q2, nous pouvons faire le même
raisonnement à partir dune deuxième sphère à
lintérieur de la surface et centrée sur q2.
Le champ électrique étant additif comme la force
de Coulomb, nous pouvons écrire le flux total F
dû aux charges q1 et q2 comme la somme des flux
 partiels  individuels F1 et F2 . Ceux là
même se déduisant du flux à travers des sphères
centrées sur les charges, on en déduit donc la
généralisation du théorème de Gauss
18
3.5 Théorème de Gauss / Equation de Laplace
approche locale - équation de Poisson Le
théorème de la divergence (cf. chapitre 2) peut
sappliquer au cas du champ électrique
Si le nombre de charges par unité de volume est
grand dans le volume considéré, alors on peut
passer à la limite et définir une densité locale
de charge r
Légalité des intégrales doit être vraie, quelque
soit la forme de la surface et du volume
délimité. Ceci implique donc que légalité est
vérifiée si les intégrands sont toujours égaux.
Ceci donne léquation de Poisson qui est une
version locale du théorème de Gauss
19
3.6 Distribution de charges / Symétrie

• Dans la nature, nous navons que très rarement
  affaire à un système de  quelques  charges
  ponctuelles, mais plus souvent à des systèmes
  contenant un très grand nombre de charges.

• Calculer  analytiquement  la force de Coulomb,
  le champ électrique ou le potentiel
  électrostatique devient chose peu évidente. On
  préfère alors utiliser une représentation
  continue de la charge en introduisant la notion
  de densité de charge et utiliser les propriétés
  de symétrie des systèmes (invariances) pour
  simplifier au maximum les calculs.

• Néanmoins, pour essayer de visualiser les choses
  simplement et limiter le nombre de paramètres
  pertinents servant à décrire un système, on
  cherche souvent un système équivalent de charges
  ponctuelles approchant aux mieux le champ
  électrique ou le potentiel électrostatique.

20
3.6 Distribution de charges / Symétrie
Densité de charge

• Appliquons le théorème de Gauss, pour une
  surface sphérique, à un petit système borné, à
  distribution uniforme et sphérique de charge

• Par symétrie, on montre quen tout point à
  l extérieur de la surface, le champ électrique
  est radial, cest à dire que son module est
  constant quels que soient les angles polaires q
  et j.

• Le théorème de Gauss donne 4pr2E(r) Qtot/eo ou
  de façon équivalente, E(r) Qtot/4pr2eo. Tout se
  passe donc comme si toutes les charges étaient
  concentrées en une seule charge ponctuelle Qtot
  au centre de la sphère !

21
3.6 Distribution de charges / Symétrie
Distribution surfacique de charge

• Soit un système chargé avec une densité
  volumique de charge r. Supposons que ce système
  présente une dimension dépaisseur faible par
  rapport aux deux autres dimensions (plaque,
  disque, couche sphérique, etc.).

• Alors dans la direction correspondant à
  lépaisseur dzd, on peut considérer que la
  densité ne varie pas, de sorte quil est
  suffisant de repérer un élément de surface dS
  dxdy ou rdrdq par ses coordonnées (x,y) ou (r,q)
  pour connaître le nombre de charge dans cet
  élément

dn r d3r r dxdydz rd dxdy s dS

• La quantité s sappelle la densité surfacique de
  charge

22
3.6 Distribution de charges / Symétrie
Distribution linéique de charge

• De même pour un objet dont la section dans deux
  dimensions est très petite devant la troisième
  dimension, on peut se ramener à une distribution
  linéique de charge l.

23
3.6 Distribution de charges / Symétrie
Utilisation de la symétrie et du théorème de
Gauss pour calculer le champ électrique.

• Lorsquun système possède une certaine symétrie
  (sphérique, axiale, cubique, hexagonale, etc.)
  ses propriétés doivent refléter cette symétrie
  (Pierre Curie). Il est alors assez facile de
  calculer le champ électrique à laide du théorème
  de Gauss en choisissant une surface  de Gauss 
  adaptée à la symétrie.

• Distribution sphérique

24
3.6 Distribution de charges / Symétrie

• Distribution sphérique

R lt Ro
R gt Ro
25
3.6 Distribution de charges / Symétrie
En coordonnées sphériques seule la composante
radiale de la divergence du champ électrique (qui
a la symétrie sphérique) est non nulle
26
3.6 Distribution de charges / Symétrie
V(Ro) rRo2/3eo
V(0) rRo2/2eo
27
3.6 Distribution de charges / Symétrie

• Distribution sphérique

28
3.6 Distribution de charges / Symétrie

• Distribution sphérique

• couche homogène r(r) r si Rolt r lt Rod

r
Ro
Si d tend vers zéro saut de champ électrique !!!
29
3.6 Distribution de charges / Symétrie

• Distribution plane

• plan homogène infini de densité de charge
  surfacique s

Le champ électrique créé par un plan infini est
indépendant de la distance au plan !
30
3.6 Distribution de charges / Symétrie

• Distribution plane

• disque homogène

• Dans ce cas seul le calcul du champ le long de
  laxe de révolution du disque est aisé.

Ici on a cherché une fonction fgn et grac ?
a2 et n-1/2 ? f n g gn-1 ? r / (r2c )
3/2
31
3.6 Distribution de charges / Symétrie

• Distribution plane

• disque homogène

• Lorsque R tend vers linfini ou z tend vers
  zéro, on retrouve le résultat du plan infini
  obtenu par le théorème de Gauss Es/2eo.

32
3.6 Distribution de charges / Symétrie
approche intégrale du théorème de Gauss pour le
potentiel
Pour une charge ponctuelle q, la symétrie est
sphérique et on peut utiliser le gradient en
coordonnées sphériques pour obtenir E(r)
-?V(r)/? r
Comme pour une charge ponctuelle on a E(r) q /
(4peor2)
On obtient donc pour le potentiel V(r) avec la
référence V(?)0
33
3.6 Distribution de charges / Symétrie
approche intégrale du théorème de Gauss pour le
potentiel
Pour une distribution quelconque de charge on
peut généraliser lexpression pour aboutir à
On peut donc calculer le potentiel
électrostatique par cette formule et calculer
ensuite le champ électrique lorsque cest
préférable dun point de vue calcul...
34
3.7 Dipôle électrique
Lorsque les distributions de charge sont
compliquées, on essaie parfois de trouver un
modèle équivalent, simple, constitué de quelques
charges à partir desquelles on pourra établir des
raisonnements ou calculs analytiquement.
Parmi les modèles les plus simples, ceux du
dipôle et quadrupôle sont les plus employés
(interaction rayonnement/matière, phénomènes de
résonance électrique ou magnétique, etc.).
Repartons de lexpression générale du potentiel
électrostatique
et plaçons nous dans le cas dune distribution
quelconque de charge
35
3.7 Dipôle électrique
Ce qui nous intéresse en général, cest le calcul
du potentiel LOIN de la distribution de charge.
On peut donc faire un développement limité en
puissances de r/r puisque dans ce cas r ltlt r,R
(1d)-1/2 ? 1 - 1/2 d 3/8 d2 ...
Dans lexpression du potentiel, r (ou rn) est une
constante qui peut être sortie de lintégrale
36
3.7 Dipôle électrique
On a donc un développement du potentiel
électrostatique en puissances de la distance du
point  test  à un point référence de la
distribution de charge
Les quantités Mo, M1, M2 , M3 , M4 etc.
sappellent les moments multipolaires de la
distribution de charge monopôle, dipôle,
quadrupôle, octupôle, hexadecapôle, etc.
Le terme correspondant au monopole correspond à
lexpression pour une charge ponctuelle ou pour
une distribution à symétrie sphérique.
Le deuxième terme (dipôle) est équivalent à un
système de deux charges opposées. Il est nul pour
toute distribution de charge possédant un centre
de symétrie dinversion
37
3.7 Dipôle électrique
38
3.7 Dipôle électrique
Plaçons lorigine au  centre de charge  de la
distribution (barycentre) et calculons le
potentiel pour un dipôle pointant suivant la
direction  z  dun système cartésien. Alors en
coordonnées polaires cos(q) z / r2z21/2.
Le potentiel ne dépend pas de ?, car la symétrie
est axiale. On en déduit alors les composantes du
champ électrique dont lintensité décroît en 1/r3
39
3.7 Dipôle électrique
Montrons à présent que lon retrouve le même
résultat pour un système de deux charges
ponctuelles opposées Q et -Q séparées dune
distance a.
En effectuant le même genre de développement
limité au 1er ordre en r/r et r-/r on obtient
40
3.7 Dipôle électrique
Force agissant sur un dipôle
41
3.7 Dipôle électrique
Force dans un champ inhomogène
Si le champ nest pas homogène, les deux charges
ne voient pas le même champ localement, le bilan
des force nest pas nul et le dipôle peut être
mis en mouvement (antennes, émetteurs) .
Q
Chacune des composantes de la force peut être
calculée à laide du gradient de champ
-Q
42
3.8 Densité dénergie dans un champ électrique
Prenons le cas dune sphère de rayon R et chargée
en surface avec une densité de charge s. Le
théorème de Gauss pour le champ à la surface
donne
4pR2E Q/eo 4pR2 s/eo ? E s/eo
Tandis quà l intérieur de la sphère, le champ
est nul puisque la charge est nulle.
Si on considère que la charge de surface est une
charge volumique r répartie sur une fine
épaisseur dR telle sr dR, alors la force moyenne
exercée sur un petit élément de surface est
simplement
dFmoy 1/2 (dFint dFext) 1/2 sdS (0 s/eo)
(FqE)
Cest à dire que le force moyenne exercée sur
toute la sphère est
Fmoy 4p R2 ? (1/2eo) s2 dS 2p R2s2 /eo
Cette force tend à dilater la sphère. Si tel
était le cas, avec un accroissement de rayon dR,
alors le travail fourni serait
dW (2p R2s2/eo) dR
43
3.8 Densité dénergie dans un champ électrique
Cest à dire que le fait de maintenir les charges
uniformément réparties sur la fine couche
dépaisseur dR - au seul endroit où le champ
électrique est non nul - coûte une énergie
Cela revient pour calculer lénergie potentielle
dune distribution de charge à attribuer à chaque
région, où il règne un champ électrique non nul,
une densité locale dénergie
On peut également donner une expression intégrale
44
3.8 Cas des conducteurs parfaits
Champ électrique dans un conducteur parfait Dans
un conducteur supposé parfait (homogène et
isotrope), des charges sont libres de se mouvoir
sous laction dun champ extérieur, mais en tout
point du milieu conducteur, ces charges sont
compensées - sauf peut-être en surface ainsi quà
léchelle atomique ou sub-atomique - par dautres
charges fixes ou libres elles aussi.
Il sen suit quen tout point du conducteur la
densité de charge (moyenne locale) est nulle et
donc le champ électrique est nul aussi. Le
potentiel électrostatique est constant dans le
conducteur.
0 EndS sdS/eo ? s En eo
45
3.9 Cas des conducteurs parfaits
Il faut bien noter ici que la charge de surface s
nest pas la cause du champ électrique. Le champ
est dû à lensemble de toutes les charges et la
charge à la surface du conducteur se réajuste de
sorte à annuler le champ électrique à lintérieur
du conducteur.
Le problème consistant à calculer les charges
accumulées à la surface de conducteurs plongés
dans un champ électrique (ou soumis à un
potentiel donné) nest une chose aisée que dans
le cas de systèmes à un ou deux conducteurs à
géométrie simple.
46
3.9 Cas des conducteurs parfaits
Charge dune sphère conductrice de rayon R portée
à un potentiel Vo
Le potentiel électrostatique étant constant à
lintérieur de la sphère conductrice, il suffit
de savoir calculer le potentiel au centre. La
charge étant concentrée en surface, un élément de
charge volumique rd3r vaut sR2sin(q)dqdj pour
rR et zéro ailleurs. La charge totale vaut
Q4pR2s.
Le potentiel électrostatique peut être calculé
par la formule générale en r0
On retrouve naturellement lexpression quon
aurait obtenu avec le théorème de Gauss pour le
champ électrique à la surface de la sphère puis
en intégrant en coordonnées sphérique pour
obtenir le potentiel. La densité de charge
surfacique est constante (symétrie sphérique).
Q 4peoRVo s eoVo/R
47
3.9 Cas des conducteurs parfaits
Conducteur plan infini en présence dune charge
ponctuelle
au voisinage de la charge ponctuelle Q, on doit
avoir des lignes de champ sapprochant de celles
crées par une charge ponctuelle
proche du plan conducteur (surface
équipotentielle) les lignes de champ doivent être
perpendiculaires au plan et lamplitude du champ
vaut s/eo.
Comment trouver la répartition de charge
surfacique donnant le bon champ électrique en
présence de la charge Q .
48
3.9 Cas des conducteurs parfaits
Conducteur plan infini en présence dune charge
ponctuelle
Pour trouver la répartition de charge surfacique
adéquate, nous allons chercher une configuration
de charges ponctuelles qui donnerait les mêmes
lignes de champ. Nous calculerons alors la
densité de charge seoE.
Nous voulons conserver la direction
perpendiculaire à la traversée de la surface
conductrice et conserver le sens de lignes de
champ. Il suffit pour cela de placer un charge
opposée de façon symétrique au plan (charge
image). La disposition symétrique permet de
conserver les directions de ligne de champ et le
signe opposé de conserver le sens des lignes de
champ.
49
3.9 Cas des conducteurs parfaits
Conducteur plan infini en présence dune charge
ponctuelle
Calculons le champ en coordonnées cylindriques.
Compte tenu de la symétrie axiale, le champ ne
dépend que du rayon r et de la distance au plan z.
On peut vérifier que la charge totale de surface
ainsi obtenue donne bien par intégration la
charge  image  -Q.
50
3.9 Cas des conducteurs parfaits
Condensateur plan / capacité
Intéressons nous maintenant au cas de deux
plaques parallèles séparées par une distance e
très inférieure aux dimensions des plaques. Les
plaques sont portées aux potentiels V1 et V2.
Le champ est donc perpendiculaire aux plans et si
lune des plaques porte une charge Q, lautre
porte forcément une charge -Q (cf. charge image).
La distance entre plaques étant très inférieure
aux dimensions des plaques, nous pouvons
considérer le système comme deux plans parallèles
infinis.
Le champ est donc nul à lextérieur des plaques
et constant et uniforme à lintérieur Es/eo
(V1-V2)/e (seulement aux extrémités des lignes
de champ non uniformes existent à lintérieur
comme à lextérieur).
Si S est la surface des plaques, la charge Q
sécrit Q sS C (V1-V2)
51
3.9 Cas des conducteurs parfaits
Condensateur plan / capacité
Lénergie électrostatique W emmagasinée dans un
condensateur est le produit de la densité
dénergie électrostatique eoE2/2 multipliée par
le volume Se. En introduisant la capacité C et la
différence de potentiel V1-V2 V12 cela conduit
à
52
3.9 Cas des conducteurs parfaits
Systèmes à plus de deux conducteurs coefficients
de capacité
Lorsquil y a plus de deux conducteurs, on
utilise le principe de superposition (des forces,
du champ électrique et du potentiel). Supposons
quil y ait trois conducteurs portés
respectivement aux potentiels V1, V2 et V3. Alors
tour à tour nous calculons les charges portées
par les trois conducteurs lorsque deux des
conducteurs sont portés à un potentiel nul
si V2 V3 0 Q1 C11V1
Q2 C21V1 Q3 C31V1
si V3 V1 0 Q1 C12V2
Q2 C22V2 Q3 C32V2
si V1 V2 0 Q1 C13V3
Q2 C23V3 Q3 C33V3
Lorsque les trois potentiels sont non nuls, les
charges sont les sommes des charges précédemment
calculées et lon obtient un système à trois
équations
Les coefficient Cij sont appelés coefficients de
capacité.
53
3.9 Cas des conducteurs parfaits
Courants stationnaires relation entre densité de
charge et densité de courant
Des charges libres en mouvement dans un
conducteur engendrent des courants. Supposons
quun courant I traverse une surface S. Ce
courant est le flux total de charges qui traverse
la surface. Il peut donc être écrit comme
lintégrale du flux dune densité de courant.
Supposons que la surface S soit fermée. Le
courant représente la quantité de charge qui
quitte le volume V délimité pas la surface S. On
a donc la double égalité
On peut également inverser lintégration spatiale
et la dérivation par rapport au temps dans la
deuxième intégrale.
Enfin cette équation doit être vraie quelque que
soit la surface S et le volume V. Donc léquation
doit être vraie pour les intégrands eux même
quelque soit la position.
54
3.9 Cas des milieux isolants (diélectriques)
Dans les milieux isolants, les charges ne sont
pas libres de se déplacer  indéfiniment 
lorsquelles sont soumises à un champ électrique.
Elles sont liées à des  centres attracteurs  et
ne peuvent sécarter plus dune certaine distance
de ces attracteurs, entraînant cependant
localement la formation de petits dipôles
électriques.
valable  loin  du diélectrique !!!
55
3.9 Cas des milieux isolants (diélectriques)
56
3.9 Cas des milieux isolants (diélectriques)
En posant f 1/r on obtient
Si la polarisation est constante dans lespace,
alors seule la densité de charge surfacique
existe. Un diélectrique parallèlépipédique où la
polarisation serait perpendiculaire à deux faces
se comporte comme un condensateur plan !
57
3.9 Cas des milieux isolants (diélectriques)
La conservation de charge, implique que si la
distribution de charge volumique (de charges
liées) est non nulle, il existe un courant de
polarisation associé
Lorsquon applique léquation de Poisson reliant
champ électrique et charge, il faut prendre la
charge totale, cest à dire la somme des charges
libres et liées.
58
3.9 Cas des milieux isolants (diélectriques)
Sans rentrer dans le détail de lorigine
microscopique des dipôles, on peut traiter la
polarisation électrique dun diélectrique dans le
cadre de la Réponse Linéaire, cest à dire quon
écrit que la réponse  Polarisation  est
proportionnelle à lexcitation  champ
électrique 
? est la susceptibilité électrique er est la
permittivité électrique relative du milieu e est
la permittivité électrique ou constante
diélectrique du matériau
Dans le vide ?0 et er 1. La plupart des
matériaux ont une permittivité relative comprise
entre 2 et 5. Cependant on peut trouver des
matériaux où cette permittivité relative peut
dépasser 105 !
59
Résumé
diagrammes extraits du livre de P.Lorrain et
D.R.Corson