Problemas geom

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Problemas geométricosUna visión sintética y
analítica

• Alfonsa García López
• Universidad Politécnica de Madrid

Dibujo técnico y matemáticas una consideración
interdisciplinar Universidad Internacional
Menéndez Pelayo Santander. Septiembre 2006
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Contenido

• Introducción
• El enfoque sintético-analítico
• Una caja de herramientas
• Los triángulos
• Polígonos regulares
• Proyectos para el aula
• Bibliografía

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Pintores y Matemáticas

• Si tú, músico me dices que tan sólo las ciencias
  de la mente no son mecánicas, te replicaré que la
  pintura es de la mente, y que, así como la
  geometría y la música consideran proporciones de
  las cantidades continuas y la aritmética de las
  discontinuas, aquélla considera todas las
  cantidades continuas y cualidades de las
  proporciones, las sombras, la luz y las
  distancias según perspectivas.
• Leonardo da Vinci
• (Tratado de Pintura)

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Hablamos de geometría

• Estudio de las propiedades y medidas de las
  figuras en el plano y en el espacio.
• Herramienta para explicar la realidad.
• Íntima relación entre el razonamiento intuitivo y
  el método deductivo.
• Métodos sintéticos.
• Métodos analíticos.

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Realidad del aula figuras y ecuaciones

• Dibujo técnico Construcciones geométricas con
  regla y compás.
• Software de dibujo y de geometría dinámica.

• MatemáticasMétodos de la geometría analítica.
• Software de cálculo simbólico.
• Búsqueda de conexiones.

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El enfoque sintético analítico
Arco capaz de 90º

• P(x,y) verifica x2y2a2
• PA(xa,y)
• PB(x-a,y)
• El p. escalar de los vectores PA y PB es x2 -
  a2y20

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Pero si las cuentas y los dibujos se complican,
viene bien un ayudante

• que haga las cuentas y los dibujos,
• que nos ayude a experimentar,
• a elaborar conjeturas,
• a demostrar resultados.

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Un sistema de cálculo simbólico

• Tiene menos prestaciones gráficas que un programa
  de dibujo geométrico.
• Pero permite trabajar simultáneamente con las
  ecuaciones y las figuras correspondientes.
• Permite definir funciones para usarlas con
  distintos datos.
• Permite abordar problemas desde el punto de vista
  sintético-analítico.

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Operaciones básicas

• Las herramientas básicas del dibujo son la regla
  y el compás. Las operaciones básicas, trazar
  segmentos y circunferencias.
• Estas dos operaciones se pueden hacer
  automáticamente con Derive y obtener ecuaciones y
  dibujos.
• Pero además se pueden medir ángulos distancias y
  áreas.
• Se pueden hacer cálculos numéricos y simbólicos.
• Ejemplo

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La caja de herramientas

• Distancia(P,Q)P-Q
• Punto_medio(P,Q)(PQ)/2
• Circunferencia(P,Q)(x-P1)2(y-P2)2P-Q2
• Recta(P,Q)(Q1-P1)(y-P2)(Q2-P2)(x-P1)
• Paralela(P,Q,R)(Q1-P1)(y-R2)(Q2-P2)(x-R1)
• Perpendicular(P,Q,R)(x,y-R) (Q-P)0
• Angulo(u,v)acos(uv/u v)
• area_triangulo(P,Q,R) det(1,P1,P2,1,Q1,Q2,
  1,R1,R2)
• .........

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Mediatriz de un segmento. VER
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Teorema de Vangnon

• Si en cuadrilátero convexo cualquiera, se unen
  los puntos medios en el orden dado la figura es
  un paralelogramo y su área es la mitad que la del
  cuadrilátero original.
• Demostración

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La divina proporción
A TI, maravillosa disciplina, media, extrema
razón de la hermosura que claramente acata la
clausura viva en la malla de tu ley divina. A ti,
cárcel feliz de la retina, áurea sección, celeste
cuadratura, misteriosa fontana de mesura que el
Universo armónico origina. A ti, mar de los
sueños angulares, flor de las cinco formas
regulares, dodecaedro azul, arco sonoro. Luces
por alas un compás ardiente. Tu canto es una
esfera transparente. A ti, divina proporción de
oro. Alberti
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Razón áurea

• La corrección de la construcción clásica se
  prueba con el teorema de Pitágoras (el segmento
  NM mide sqrt(5))/2).
• En la práctica, conviene incluir en la caja de
  herramientas el segmento A,A(B-A)(1sqrt(5))/2)
  

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Triángulos

• Las mediatrices de un triángulo se cortan en un
  punto (circuncentro).
• Las alturas también se cortan (ortocento).
• Las medianas también (baricentro).
• Las bisectrices en el incentro.
• Las coordenadas de estos puntos se pueden obtener
  analíticamente.

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Experimento-Conjetura-Prueba

• Dibuja un triángulo con los vértices sobre la
  hipérbola y1/x
• Determina su ortocentro
• Modifica el triángulo, haz una conjetura y
  pruébala.
• Experimento

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Polígonos regulares
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Cuál de los dos pentágonos es regular?
(construir)
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La alternativa de los números complejos (ver
función)

• Se puede definir una función que determine los
  vértices de un polígono regular de n lados
  inscrito en la circunferencia de radio r

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Proyectos para el aula

• Taller de matemáticas y dibujo con herramientas
  informáticas.
• Ejercicios compartidos o al menos desde la clase
  de matemáticas.
• Conocer otras experiencias.

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Sabrías dibujar esta figura?
22
Teorema de Napoleón
23
Algunas páginas interesantes
http//descartes.cnice.mecd.es
http//www.acarioja.com/dibujo/geométrico
http//www.matematicas.net/paraiso/cabri.php?idin
dice http//roble.pntic.mec.es/?jarran2/
http//centros5.pntic.mec.es/ies.marques.de.sant
illana/matem http//www.rescarrus.com/eduma/c
abriderive/cabriderive.htm
http//www.recursos.pnte.cfnavarra.es/?msadaall/ge
ogebra/