Problemas de constru

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Problemas de construção em um ambiente
informatizado Cabri-geométrico II - Uma seqüência
de ensino
A sorte dos problemas de construção no contexto
francês do ensino de transformações geométricas,
no ensino médio nos anos de 1990 Um estudo
didático em classe de 1a. Série do ensino médio
com uma abordagem dos aspectos funcionais
utilizando Cabri-geométrico II.
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Problemas de construções em ambiente
informatizado Cabri-geométrico II- Uma seqüência
de ensino
Plano de exposição
- Estudo de transformações geométricas

• O Cabri como ferramenta

- Problemática e apresentação da experimentação
- Análises e conclusões de uma atividade
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Uma breve exposição sobre o estudo de
transformações geométricas
Transformações sobre figuras (Collège- 1998)
Simetria axial - 5a. Série
Simetria central -6a. série
Translação - 7a. série
Rotação -7a. série
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Uma breve exposição sobre o estudo de
transformações geométricas
Transformações do plano no plano
Abordagem a partir da 1a. série do ensino
médio 2a. Série 3a. Série
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O Cabri-geométrico II como ferramenta
As construções geométricas no ambiente Cabri
- As construções elementares
disponíveis no menu e de 2 tipos
Primitivas do desenho puro
Criados a partir de pontos de base
Ponto, reta, semi-reta, círculo etc.
Primitivas geométricas
Elas são concebidas segundo uma propriedade
geométrica
Retas paralelas, mediatriz, ponto médio etc.
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O Cabri-geométrico II como ferramenta
O programa Cabri-geométrico foi concebido com a
idéia que a passagem pelas primitivas
geométricas deveria favorisar os conhecimentos
geométricos (Laborde e Capponi 1994)
A solução de um problema de construção no Cabri é
um Cabri-desenho.
Cabri-desenho constitui um elemento do domínio
do espaço gráfico mas de natureza teórica.
- com a manipulação direta do desenho, Cabri
oferece uma dimensão experimental
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O Cabri-geométrico II como ferramenta
Validação de uma solução com Cabri
Deslocamento o Cabri-desenho se deforma
conservando as propriedades geométricas que
permitiram a construção e aquelas que derivam
numa geometria euclidiana. (Laborde e Capponi
1995)
Validação por manipulação direta
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O Cabri-geométrico II como ferramenta
Com a experimentação quisemos explorar
O papel possível de PCf - transformações para
contribuir ao vínculo entre aspecto global e
pontual de transformações pela tomada em conta da
técnica abandono de uma condição.
Porque Cabri-geométrico II
-.Experimentação gráfica
- Estatuto atribuído aos objetos
- Deslocamento como fonte de retroação
validação, discussão da solução
- O conjunto de construções de base disponível no
menu.
- A manipulação direta do desenho.
- A não possibilidade de interseção de um objeto
Objeto Cabri com Lieu Cabri
(este último como obstáculo positivo para
provocar a pesquisa da transformação ferramenta)
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Elementos da problemática
Questões que guiaram a observação
- Como o Lieu(lugar) contribui para a
identificação pelos alunos de uma transformação
para achar a solução ?
- Como esta transformação intervém nas
diferentes etapas da solução proposta pelos
alunos de que maneira o jogo pontual - global
se coloca na concorrência com a ferramenta
configuração ?
- Como as retroações do meio (milieu) fazem ou
não evoluir a resolução do problema ?
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A seqüência de ensino
Três sessões
Seção 1 Construção e retomada das ferramentas
Cabri.
Seção 2 Introdução da técnica Abandono de uma
condição
Seção 3 Colocar em teste a técnica Abandono de
uma condição
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A seqüência de ensino
Seção 1
Atividade 1 O paralelogramo e seu centro
Colégio .... Alunos ....
1. Abrir Cabri e depois a figura EX1a.fig no
dossier no dossié da vossa classe. Lançar o
registro da sessão em marcando a opção Save
dragging com um nome constituído de vossas
iniciais seguidos de C1 (exemplo FMC1 para
François Martin)
2. Seja um círculo (C), um triângulo (IJK) e um
point G
Construir um paralelogramo PQRS de centro G, tal
que o vértice P esteja sobre o círculo (C) e o
vértice Q esteja sobre o triângulo (IJK).
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O paralelogramo e seu centro
3. Verificar que a construção é correta. 4.
Registrar, com vosso código seguido C1b. (Exemplo
FMC1b)
5. Quais propriedades geométricas permitem
justificar vossa construção ?
6. Onde se desloca (desliza) o ponto R quando a
gente desloca o ponto P sobre o círculo ?
7. Onde se desloca o ponto S quando a gente
desloca o ponto Q sobre o triângulo ?
8. Deslocar os objetos do desenho e estudar se
vossa construção dá sempre um paralelogramo. Dê
vossa conclusão.
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2. Situação 2 os pontos M e N e o ponto médio
Seja (C) um círculo e (d) uma reta tais que o
círculo e a reta não se interceptam. Seja A um
ponto que não pertence ao círculo nem à reta
(d). Procuramos construir um ponto M de (C) e um
ponto N de (d) tais que A seja o ponto médio de
MN.
Abrir a figura EX2a. Fig no dossier de vossa
classe.
1. Quais são os objetos geométricos dados no
enunciado ? 2. Quais são os objetos à construir
? 3. Quais são as condições impostas sobre os
objetos à construir ?
Tente resolver o problema.
4. Validar a construção (por deslocamento) 5.
Registrar sob
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Situação 2 (Retomada) os pontos M e N e o ponto
médio
Seja (C) um círculo e (d) uma reta tal que o
círculo e a reta não se cortam. Seja A um ponto
que não pertence ao círculo (C) e nem à reta
(d). A gente procura construir um ponto M de
(C) e um ponto N de (d) tais que A seja o ponto
médio de MN.
Abrir a figura Ex2a.fig no dossiê de vossa classe
1. Quais são os objetos geométricos dados no
enunciado ? 2. Quais são os objetos à construir
? 3. Quais são as condições impostas sobre os
objetos à construir ? Tente resolver o
problema. 4. Validar a construção (por
deslocamento) 5. Registrar sob
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Sessão 2 Introdução da técnica TAC
Atividade 2. TAC - os pontos M e N e o ponto
médio
Seja (C) um círculo e (d) uma reta tal que o
círculo e a reta não se cortam. Seja A um ponto
que não pertence ao círculo (C) e nem à reta
(d). A gente procura construir um ponto M de
(C) e um ponto N de (d) tais que A seja o ponto
médio de MN.

Considerar um ponto M sobre o circunferência de
(C) e abandonar a condição que o outro ponto N
seja sobre a reta (d).
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Introdução da técnica TAC
1. Seja M1 um ponto sobre a circunferência (C).
Construir um ponto N1 tal que A seja o ponto
médio de M1N1 . Quando a gente desloca o ponto
M1 sobre a circunferência (C), onde se desloca o
ponto N1. Justifique sua resposta (quais são as
propriedades matemáticas que permitem de a
justificar?)
2. Você identificou sobre a figura os pontos
sobre a reta (d) que são candidatos a serem o
ponto N, ponto da solução do problema colocado no
começo ? Deslocar M sobre a circunferência para
determinar estes candidatos.
3. Qual é o número de pontos possíveis
? Justifique sua resposta.
4. Termine a construção e verifique se ela é
correta.
5. Esta construção é sempre possível ? Sim ? Não
? Porque ?
6. Responda as questões seguintes Qual é a
transformação que você utilizou para resolver o
problema ? O que te conduziu a pensar nesta
transformação ?
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Introdução da técnica TAC
Tarefa 2.
Considerar o ponto N sobre a reta (d) e abandonar
a condição que o ponto M seja sobre a
circunferência.
1. Seja N1 um ponto sobre a reta (d). Construir
um ponto M1 tal que o ponto A seja o ponto médio
M1N1
2. Quando a gente desloca N1 sobre a reta (d),
onde de desloca o ponto M1 ?
3. Existe um só ponto M e um só ponto N tal que
os pontos M e N satisfazem as condições do
problema ?
4. Termine a construção. Registre sob C2c.
5. A construção é sempre possível ?
6. As duas estratégias dão os mesmos pontos M e N
? Justifique após ter eventualmente refeito a
construção das duas maneiras.
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Seção 3 . Situação 3 O paralelogramo e seus
vértices sobre uma circunferência
Dado um círculo (C) e dois pontos P e Q que não
pertencem à circunferência de (C). Construir um
paralelogramo PQRS tal que os pontos R e S
pertencem à circunferência de (C) .
1. Construir o paralelogramo 2. Validar a
construção 3. Justificar sua construção 4. Dizer
em que consiste segundo você, o método Abandono
de condição e utilização de uma transformação.
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Análise a priori
Questão Seja um círculo (C), um triângulo (IJK)
e um ponto G. Construir um paralelogramo PQRS de
centro G, tal que o vértice P seja sobre a
circunferência(C) e o vértice Q seja sobre o
triângulo (IJK).
1. Configurações, transformações e ferramentas do
Cabri associações possíveis
Tarefa construir um paralelogramo com Cabri
Dados o círculo (C), o triângulo de vértices I,
J e K e o ponto G
Condições - o ponto G dado é o centro do
paralelogramo -o vértice P é sobre a
circunferência de (C) - o vértice Q é sobre o
triângulo (IJK)
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Análise a priori
RL Transporte de medida C círculo D reta
SCSimetria central H Homotetia
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Análise a priori
Estratégias de resolução
Problema Seja um círculo (C), um triângulo (IJK)
e um ponto G. Construir um paralelogramo PQRS de
centro G, tal que o vértice P seja sobre a
circunferência (C) e o vértice Q seja sobre o
triângulo (IJK).
Ambigüidade do estatuto dos pontos P e Q P e Q
são vistos como pontos a colocar sobre os
objetos dados ?
Eles são ligados à G por construção? Ou, vê-se
imediatamente que tudo de reduz à construção dos
pontos R e S ?
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Análise a priori
Estratégias de resolução
Estratégia de ataque 1 por figura final
Consiste de construir os pontos P e Q visando o
objeto de saída o paralelogramo de centro G
As diagonais (PR) e (GS) se interceptam em G.
As condições - os vértices pertencem as
diagonais - P sobre a circunferência e Q sobre
o triângulo
- permitem determinar cada um dos vértices P e Q
por intercecção de dois objetos.
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Estratégias de resolução
Estratégia de ataque 2 por programa
A partir do dados fornecidos pelo enunciado -
desenho de entrada e condições impostas pelo
enunciado, pode produzir um início de um programa
de construção
- Colocar P sobre (C) e Q sobre o triângulo (IJK)
O problema se reduz a construção dos vértices R e
S ou dos lados do paralelogramo.
Estas duas estratégias lembram (se aproximam) da
técnica Análise e Síntese. Estratégia 2,
comporta a técnica T0
O texto do enunciado coloca em evidência uma
condição global, dando o objeto final a
construir , o que pode vir em favor da estratégia
1.
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Estratégias de resolução
A construção dos pontos R e S
Para construir R e S ou para terminar a
construção do paralelogramo
Estratégia de resolução por configuração
O ponto G é visto como ponto médio das diagonais.
Se P e Q foram construídos pela estratégia 2, a
tomada em conta de G como centro conduz a
construção das diagonais (PG) e (QG).
A construção de R como de S pode se fazer pela
intersecção de curvas com a ferramenta Círculo e
depois Pontos sobre dois objetos
A construção também pode ser feita por Transporte
de medida
Criar (C) de raio GP R (C) ?(PG)
O contorno do polígono pode ser realizado com a
ferramenta Polígono ou Segmento
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A construção dos pontos R e S
Estratégia de resolução por transformação
Como G é o centro do paralelogramo, G é o centro
de uma simetria central
Construir R s(P) e S s(Q) ou
Construir diretamente s (?PQ? ) ?SR?
Homotetia de centro G e rapport-1
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O deslocamento para validar ou invalidar a
construção
Questão 3 - Verificar se a construção é correta
Permite retomar a validação por deslocamento
Tarefa consiste de uma verificação pragmática ao
nível do spatio-graphique.
Consiste de deslocar os objetos e observar as
mudanças da figura por apreensão perceptiva.
Consiste de deslocar os objetos dados ou
intermediários o Cabri-desenho construído se
deforma, conservando as propriedades gráficas
requeridas (paralelogramo com centro G, P e Q
bem colocados) o que significa que a construção é
geometricamente correta.
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O deslocamento para validar ou invalidar a
construção
No Cabri-desenho, produzido segundo as
estratégias de ataque 1 ou 2, podemos deslocar
sistematicamente
- O círculo (C), os pontos G, I, J e K, que têm
grau de liberdade 2.
- os pontos P e Q se eles foram simplesmente
colocados sobre (C), respectivamente sobre (IJK)
(estratégia 2) eles tem grau de liberdade 2
- se P e Q foram construídos pela estratégia 1,
eles têm grau de liberdade zero. - as retas
passando por G tem grau de liberdade um
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A teoria utilizada
Questão 5. Quais propriedades geométricas
permitem justificar a sua construção?
Esta questão visa provocar um retorno sobre a
construção e uma reflexão sobre a ação realizada.
Visa extrair o teórico usado na construção
Responder deverá permitir explicitar as
propriedades utilizadas na resolução e de
efetuar ( ir e vir) entre o teórico e o gráfico.
Elementos teóricos possíveis de serem utilizados
- as diagonais du paralelogramo se cortam ao
meio - a simetria central (homotetia) - o círculo
como conjunto de pontos de igual distância do
centro - o círculo para transportar medidas
(lugar indireto)
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O deslocamento para mobilizar Trace, Lugar e uma
transformação
Questões 6 e 7 6. Onde se desloca (desliza) o
ponto R quando a gente desloca o ponto P sobre a
circunferência de (C) ? 7. Onde se desloca o
ponto S quando a gente desloca o ponto Q sobre o
triângulo (IJK)?
Tarefa é experimental solicita a manipulação
direta dos objetos com a ajuda do maus.
- Se os pontos P e Q foram construídos pelas
diagonais com Ponto sobre dois objetos, eles têm
grau de liberdade zero, a explicação deverá ser
sobre amaneira como eles construíram, então a
justificativa repousará sobre um conhecimento do
logiciel.
- ruptura do contrato
- Se os pontos P e Q foram colocados por Ponto
sobre um objeto, segundo a estratégia 2, eles
têm um grau de liberdade um. (Eles podem ser
deslocados sobre os objetos)
Os pontos R e S que les correspondem descrevem
cada um uma trajetória observável sobre a tela.
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O deslocamento para mobilizar Trace, Lugar e uma
transformação
As ferramentas Traço, Lugar, Simetria central,
podem então serem procurados e manipulados par
representar graficamente de maneira estável
estas trajetórias.
Trace - aspecto dinâmico ao fenômeno de geração
de curvas.
Lugar - aspecto estático das trajetórias de R e S
O desenho obtido a partir do Traço e do Lugar,
pode motivar o aluno, por apreensão perceptiva e
operatória, a identificar a transformação
geométrica sub-jacente.
Pode levar a concepção de figura imagem e /ou
utilizar a simetria central para dar a
explicação solicitada.
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O deslocamento para mobilizar Trace, Lugar e uma
transformação
Identificamos 3 níveis (construção de P e Q
segundo a estratégia 2)
Identificação de uma curva -R se desloca com P e
quando P se desloca sobre a circunferência (C),
R se desloca também sobre uma circunferência
ele presta conta do que observou ao nível
spatio-graphique
-Apreensão pontual de um lugar geométrico Como R
é image de P por uma simetria de centro G, quando
P se desloca sobre (C), R tem por lugar pontos
de um outro círculo. (Idem para Q e S)
- Tomada em conta de uma transformação com
apreensão pontual / global Como P se desloca
sobre um círculo, a imagem de P por simetria
central de centro G, o ponto R, se desloca sobre
o círculo image deste círculo.
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Um outro papel o deslocamento par estudar a
existência de soluções
Questão 8 Deslocar os objetos do desenho e
estudar se sua construção dá sempre um
paralelogramo. Dê a sua conclusão.
Tarefa experimentação gráfica, solicita um
comentário mas não necessariamente uma
explicação.
Consiste de verificar e de explicitar em que
medida o Cabri-desenho depende ou não depende da
posição dos objetos de entrada.
Teoricamente, para toda escolha do círculo,
triângulo e ponto G, o Cabri-desenho é possível
é dá um paralelogramo (eventualmente aplati)
Respostas possíveis
-é um retângulo ou um quadrado, dependendo das
posições de G, P e Q
-Não é um paralelogramo se os pontos P, Q e G
são alinhados
o Cabri-desenho é sempre um paralelogramo,
independentemente do deslocamento caso
particular pontos alinhados