Conceptos Generales de Geometr

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Conceptos Generales de Geometría

• Bernardo Alarcón Navarro
• Profesor de Computación

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Índice
Triángulos Clasificación de Triángulos Polígonos E
lementos de los Polígonos Clasificación de los
Polígonos Ángulos de un Polígono Ángulos
Adyacentes Suplementarios Cuadriláteros Paralelogr
amos, Trapecios, Trapezoides Cuadrados,
Rectángulos Rombo, Romboide Bibliografía
Punto Recta Rayo Segmento Ángulo Unidades de
Medida en los Ángulos Herramientas para Medir
Ángulos Clasificación de los Ángulos Rectas
Paralelas Rectas Secantes Rectas Perpendiculares
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Punto

• El punto es un elemento geométrico que no puede
  dimensionarse, este se representa dibujando una
  cruz (x) o un pequeño círculo que describe su
  posición en el espacio.
• Los puntos suelen nombrarse con letras mayúsculas
  A, B, C, D, etc.
• Observemos que dos puntos determinan una recta y
  sólo una. Del mismo modo tres puntos no alineados
  determinan un plano y sólo uno.

x
Ejemplo
Representaciones del Punto en Geometría
A
B
x
Puntos de una Recta
x
x
Puntos de un Plano
Puntos de un Segmento
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Recta

• La recta o línea recta es la sucesión continua e
  indefinida de puntos en una misma dimensión.
• También se puede considerar a la recta como la
  distancia más corta entre dos puntos.
• La recta es de longitud ilimitada, derecha, sin
  grosor ni extremos.

Ejemplo
Recta Horizontal
Recta Oblicua
Recta Vertical
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Ejemplos cotidianos de una recta
La infinita línea del horizonte puede representar
una recta.
También podemos representar una recta como la
línea más delgada que se puede dibujar con un
lápiz.
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Rayo

• Los rayos son aquella parte de la línea recta
  que queda a algún lado de un punto llamado
  origen, señalado sobre ella.

Ejemplo
S
T
En el ejemplo se muestra el Rayo ST, de origen S.
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Ejemplos cotidianos de un Rayo
En todas las figuras el rayo se representa por
una flecha de color rojo.
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Segmento

• Los segmentos son una parte de la recta, la cual
  se señala entre dos puntos llamados extremos del
  segmento. Los segmentos son finitos y pueden ser
  tan grandes como se quiera.

Ejemplo
A
B
En el ejemplo se muestra el segmento AB.
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Ejemplos cotidianos de un Segmento
Qué otros Segmentos puedes encontrar en el
Plano de la ciudad?
En la recta formada por la calle Eberhard,
tenemos el segmento formado por las calles Barros
Aranas y Magallanes.
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Ángulo

• Los ángulos son la unión de dos rayos. Note que
  ambos rayos tienen un mismo origen, al cual se le
  conoce con el nombre de vértice del ángulo y a
  los rayos se les conoce como lados del ángulo.

Ejemplo
Lados
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Ejemplos cotidianos de un Ángulo
En las figuras podemos observar diversas
representaciones de ángulos, con las cuales nos
encontramos a diario.
Qué otros ángulos puedes encontrar en estas
figuras?
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Unidades de medida para los ángulos

• Los ángulos se pueden medir en
• Radian
• Grado Centesimal
• Grado Sexagesimal
• Nosotros utilizaremos la unidad de medida llamada
  Grado Sexagesimal y como ejemplo de su notación
  tendríamos 90º. Lo leeremos como noventa
  grados.
• El grado sexagesimal es la nonagésima (1/90)
  parte de un ángulo recto.

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Herramientas para medir Ángulos
La Escuadra La escuadra es una regla que en uno de sus vértices tiene un Angulo de 90º. Esta sirve para hacer, medir o comprobar ángulos rectos, es decir, ángulos de 90º. El Transportador El transportador es un regla similar a la mitad de una circunferencia, la cual esta marcada con los grados. Este sirve para medir cualquier ángulo. En el ejemplo tenemos un ángulo de 80º.
Grados
Vértice de Angulo Recto.
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Clasificación de los Ángulos
Ángulo Agudo Mide menos de 90º Ángulo Recto Mide 90º
Ángulo Obtuso Mide más de 90º Ángulo Extendido o Llano Mide 180º
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Rectas Paralelas

• Dos rectas son paralelas si sus pendientes son
  iguales. Se dice que dos rectas a y b son
  paralelas cuando son equidistantes, es decir,
  cuando todos los puntos de una recta están a
  igual distancia de la otra recta.
• También podemos decir que dos rectas son
  paralelas si nunca llegan a cortarse en un punto.

Ejemplo
Diversas Rectas Paralelas
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Representación de Rectas Paralelas
Diversas Rectas Paralelas
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Ejemplos cotidianos de rectas paralelas
Estos lápices están equidistantes entre sí, por
lo tanto representan rectas paralelas.
En esta escalera también podemos representar
rectas paralelas.
En esta construcción puedes apreciar diversas
rectas paralelas.
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Rectas Secantes

• Dos rectas son secantes si están en el mismo
  plano y se cortan en un mismo punto, formando
  cuatro ángulos, cada uno diferente de 90º.

Ejemplo
Todos los Ángulos son distintos de 90º
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Rectas Perpendiculares
Dos rectas son perpendiculares si están en el
mismo plano y se cortan en el mismo punto, forman
4 ángulos iguales de 90º cada uno. A estos
ángulo que miden 90º se les llama ángulos rectos,
y esto permite definir a dos rectas como
perpendiculares.
Ejemplo
Angulo de 90º
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Ejemplos cotidianos de Rectas Secantes,
Perpendiculares y Paralelas
La calle Manuel Bulnes es perpendicular a la
calle Carrera Pinto.
La Avda. Ultima Esperanza y la Avda. España son
Rectas Secantes.
La calle Blanco Encalada es paralela a calle
Baquedano.
Qué otras rectas puedes encontrar?
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Triángulos
Un triángulo, en geometría, es un polígono de
tres lados está determinado por tres segmentos
de recta que se denominan lados, o tres puntos no
alineados que se llaman vértices.
Ejemplo
Sean a b c, los lados del triangulo. A B C, los
vértices del triangulo. a ß ?, los ángulos
interiores del triangulo.
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Ejemplos cotidianos Triángulos
Qué otras figuras u objetos pueden representar
un triángulo?
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Clasificación de los Triángulos
Los Triángulos se pueden clasificarse según sus
lados y según sus ángulos. A saber
Según sus lados
Triángulo equilátero si sus tres lados tienen la
misma longitud (los tres ángulos internos miden
60 grados ó \pi Triángulo isósceles si tiene dos
lados de la misma longitud. Los ángulos que se
opone a estos lados tienen la misma
medida. Triángulo escaleno si todos sus lados
tienen longitudes diferentes. En un triángulo
escaleno no hay ángulos con la misma medida.
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Clasificación de los Triángulos
Según sus ángulos
Triángulo rectángulo si tiene un ángulo interior
recto (90). A los dos lados que conforman el
ángulo recto se les denomina catetos y al otro
lado hipotenusa. Triángulo obtusángulo si uno
de sus ángulos es obtuso (mayor de
90). Triángulo acutángulo cuando sus tres
ángulos son menores a 90.
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Clasificación de los Triángulos según sus Lados y
según sus Ángulos
En la tabla de la izquierda puedes observar una
especial clasificación de triángulos según sus
ángulos y lados. Así tendremos Triángulo
acutángulo que puede ser equilátero, isósceles o
escaleno. Triángulo rectángulo que puede ser
isósceles o escaleno. Triángulo obtusángulo que
puede ser isósceles o escaleno. Para mayores
antecedentes revisa la siguiente diapositiva.
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Clasificación de los Triángulos según sus Lados y
según sus Ángulos
Triángulo acutángulo equilátero sus tres ángulos
son menores a 90 y sus tres lados son de igual
medida. Triángulo acutángulo isósceles con todos
los ángulos agudos, siendo dos iguales, y el otro
distinto, este triángulo es simétrico respecto de
su altura diferente. Triángulo acutángulo
escaleno con todos sus ángulos agudos y todos
diferentes, no tiene ejes de simetría. Triángulo
rectángulo isósceles con un ángulo recto y dos
agudos iguales (de 45 cada uno), dos lados son
iguales y el otro diferente, naturalmente los
lados iguales son los catetos, y el diferente es
la hipotenusa, es simétrico respecto a la altura
que pasa por el ángulo recto hasta la
hipotenusa. Triángulo rectángulo escaleno tiene
un ángulo recto y todos sus lados y ángulos son
diferentes. Triángulo obtusángulo isósceles
tiene un ángulo obtuso, y dos lados iguales que
son los que parten del ángulo obtuso, el otro
lado es mayor que estos dos. Triángulo
obtusángulo escaleno tiene un ángulo obtuso y
todos sus lados son diferentes.
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Polígonos
Un polígono es una figura geométrica plana
limitada por al menos tres segmentos rectos
consecutivos no alineados, llamados
lados. También podemos decir que los polígonos
son figuras cerradas, formadas por varios
segmentos de líneas, a las que llamamos lados.
Ejemplos
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Ejemplos cotidianos de Polígonos
Triángulo
Octágono
Hexágono
Pentágono (EE.UU.)
Cuadrilátero
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Elementos de los Polígonos
Los elementos de un polígono son Lados,
Vértices, Ángulos, Diagonales. Veamos algunos
ejemplos
Lado
Diagonal
Lado
Vértice
Ángulo
Ángulo
Vértice

• Los lados son segmentos que forman el polígono.
• Los vértices son cada uno de los puntos en que se
  forman los lados.
• Los ángulos del polígono son los ángulos que
  forman los lados.
• Las diagonales son los segmentos que unen dos
  vértices no consecutivos.

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Clasificación y denominación de los Polígonos
según el número de lados
Nº de Lados Nombre Figura
3 Triangulo
4 Cuadrilátero
5 Pentágono
6 Hexágono
Nº de Lados Nombre Figura
7 Heptágono
8 Octágono
9 Eneágono
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Clasificación y denominación de los Polígonos
según el número de lados
Nº de Lados Nombre Figura
10 Decágono
11 Endecánogo
12 Dodecágono
13 Tridecánogo
Nº de Lados Nombre Figura
14 Tetradecánogo
15 Pentadecánogo
20 Isodecágono
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Ángulos de un Polígono
Recordemos que uno de los elementos del polígono
son los ángulos que forman la unión de dos
segmentos. La característica de estos ángulos es
que pueden ser Internos o Externos, según sea su
ubicación.
Ejemplo
Medida del ángulo interior
En este polígono de cinco lados, podemos
reconocer los ángulo interiores por el arco de
color amarillo y los ángulos exteriores por el
arco de color blanco.
?
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Ángulos Adyacentes Suplementarios
En cada vértice es posible encontrar un ángulo
interior y un ángulo exterior. La suma de un
ángulo interior con un ángulo exterior dará
exactamente 180º, por lo tanto estos dos ángulos
forman un ángulo suplementario.
Ejemplo
Ambos ángulos forman un ángulo extendido o de 180º
Ángulo Adyactente Suplementario
Ángulo Interior
Ángulo Exterior
a ß 180º
En su conjunto forman un ángulo extendido
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Polígonos de Cuatro Lados Cuadriláteros
Un cuadrilátero es un polígono que tiene cuatro
lados. Los cuadriláteros tienen distintas formas
pero todos ellos tienen cuatro lados, cuatro
vértices y dos diagonales. En todos los
cuadriláteros la suma de los ángulos interiores
es igual a 360º.
Ejemplos
Trapecio
Rombo
Cuadrado
Trapezoide
Romboide
Rectángulo
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Los Cuadriláteros se clasifican según sus lados
en
Trapezoides
Paralelogramos
Trapecios
Un trapezoide es un polígono cuadrilátero cerrado
en el que ninguno de sus cuatro lados es paralelo
a otro. Ejemplos de ellos tenemos
Estos son cuadriláteros que tienen dos pares de
lados opuestos paralelos. Ejemplos de ellos
tenemos
Un trapecio es un cuadrilátero que tiene dos
lados paralelos y los otros dos no paralelos.
Ejemplos de ellos tenemos
Cuadrado
Rombo
El trapezoide no es un paralelogramo, pero cumple
con las propiedades básicas de estos polígonos,
la suma de sus ángulos internos es de 360º.
Rectángulo
Romboide
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Cuadrado
Es un paralelogramo de cuatro lados paralelos
entre sus opuestos. Sus lados son de igual
longitud y forman cuatro ángulos rectos, es decir
de 90º.
Rectángulos
Es un paralelogramo de cuatro lados paralelos
entre sus opuestos que forman cuatro ángulos
rectos, es decir de 90º. Los lados opuestos
tienen la misma longitud entre sus opuestos.
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Rombo
El rombo es un cuadrilátero paralelogramo. Sus
cuatro lados son de igual longitud y son
paralelos entre sus opuestos.
Romboide
El romboide es un paralelogramo de cuatro lados
cuyos opuestos son de igual longitud. Los ángulos
formados por estos lados no son rectos, por lo
tanto no es un rectángulo. Cada par de lados
opuestos son de diferente longitud.
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Bibliografía

• - Libro para 4º Año Básico "Pensamiento y
  Matemática", Proyecto Espiral, Editorial
  Santillana, 2007.
• - "Geometría con aplicaciones y solución de
  problemas", Addison Wesley y Longman, 1998.

Linkografía
Nombre del Recurso Enlace
- "Diccionario de Geometría", Waldo Montecinos Perez, USACH, 2001.  http//www.mat.usach.cl/Memorias/LEMC/mpwe.html
 - El Mundo de las Matemáticas "Los Polígonos", Educa Red Chile.  http//www.educared.cl/educared/hojas/articulos/detallearticulo.jsp?pagina1idapr27_178_esp_4__articulo3312
 - "Actividad Interactica sobre Rectas y Ángulos", Portal GenMagic.Org - Investigación Multimedia Educativa, Roger Rey y Fernando Romero. http//www.genmagic.org/mates1/ra1c.swf
Enciclopedia Online Wikipedia http//es.wikipedia.org
- Área Matemáticas de Escolares.net http//www.escolares.net

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Para recordar
Punto
Recta
Rayo
Segmento
x
40
Para recordar
Línea Curva Abierta Línea Curva Cerrada
Línea Poligonal Abierta Línea Poligonal Cerrada