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C. JORDAN

• Idea general
• Caracterizar un sólido por un conjunto de puntos
• Estos puntos serán soluciones de un polinomio
• Estudio del polinomio Tª de Galois
• Clasificar sólidos por su grupo de Galois
• Estos grupos son grupos de movimientos
• 1867 Sobre los grupos de movimientos
• Determinar grupos cristalográficos
• Pasos
• Traslaciones
• Movimientos directos
• Grupo de movimientos
• Problema de la extensión

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C. JORDAN

• Tratado de sustituciones
• Engloba lo hecho anteriormente
• Permutaciones
• Series de composición invarianza de los órdenes
  de los subgrupos
• Permutabilidad de elementos módulo un subgrupo
• Grupos módulo H

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C. JORDAN

• Isomorfismos
• Grupos de transformaciones lineales
• Paso a Zp y F(pr)
• Forma canónica de Jordan
• Caracterización moderna de la resolubilidad
• Aplicaciones a problemas geométricos
• Estudio de grupos clásicos

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DESPUÉS DE JORDAN

• JORDAN
• KLEIN LIE

Ec. Diferenciales
Geometría
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F. KLEIN

• Las distintas geometrías como problema
• Subordinación del espacio afín al proyectivo
• Subordinación del espacio euclídeo al proyectivo
  (Cayley)

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F. KLEIN

• El Programa de Erlangen
• Propiedades geométricas y no geométricas
• Invarianza por un grupo
• Definición de geometría
• Relación (jerárquica) entre geometrías

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F. KLEIN

• Prefigura topología, geometría algebraica, etc.
• Hoy en día su definición es demasiado restrictiva
• Influencia en física Relatividad, Noether
• El Icosaedro

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S. LIE

• Búsqueda de una Teoría de Galois para las
  ecuaciones diferenciales
• Transformaciones infinitesimales o de contacto
• No todas son invertibles insistencia en la
  importancia de la existencia de inversos
• Teoría de los grupos y Álgebras de Lie

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ORÍGENES DE LA TEORÍA DE GRUPOS
Geometría c.diferenciales
Teoría de números
Ecuaciones polinómicas
TEORÍA DE GRUPOS
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Ecuaciones polinómicas

• Es el primero en desarrollarse
• Concepto de grupo de permutaciones
• Subgrupo, subgrupo normal
• Índice
• Tabla de un grupo
• - Son siempre grupos finitos asociados a
  ecuaciones

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Teoría de números
- Aporta técnicas que son, esencialmente, de
teoría de grupos - Nuevos tipos de
operaciones - Aparición de los Zn - Teorema de
estructura de grupos abelianos finitamente
generados
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GEOMETRÍA Y ECUACIONES DIFERENCIALES
- Problema de la extensión - Grupos cociente -
Teorema de Jordan-Hölder - Clarificación de la
axiomática - Papel central de la nueva teoría en
geometría - Grupos infinitos
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LA DEFINICIÓN AXIOMÁTICA

• Se desarrolla a partir de 1870
• Hay intentos anteriores
• Se formalizarán primero los grupos abelianos
  finitos
• La definición general es de 1893

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WEBER

• 1870 Definición grupo abeliano abstracto
• Notación f(?,?)
• Posteriormente usará ?,?
• Leyes conmutativa y asociativa
• Demuestra el Tª fundamental de los grupos
  abelianos finitos

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CAYLEY

• 1854 Sobre la teoría de grupos, dependiendo de
  la ecuación simbólica ? n1
• Opèraciones n-arias
• n 1 permutación
• n 2 operación
• Tabla de grupo
• Notación moderna
• Observación sobre las filas

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CAYLEY

• 1878 La Teoría de Grupos
• Problema de determinar todos los grupos de un
  orden fijo
• Relación con subgrupos de permutaciones
• No aparecen claramente las propiedades que debe
  cumplir la operación del grupo

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VON DYCK

• Discípulo de Klein
• 1881 La definición de grupo abstracto como
  problema
• Grupos de operaciones
• Parte de unos generadores
• Grupo formado por productos de ellas y sus
  inversas
• Implícitamente se supone la asociatividad

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VON DYCK

• Clasificación salvo isomorfismos
• Grupos libres
• Relaciones entre generadores
• Presentaciones de grupos por generadores y
  relaciones

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WEBER

• 1881 Definición moderna
• Axiomas para grupos finitos
• 1893 Axiomas en general