Diapositiva 1

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Aliquot network Rede Alícuota
Podemos entender el sistema también como una red,
más concretamente como un grafo dirigido. Fijado
una cantidad de nodos N (el conjunto de números
1, 2, 3,..., N-1, N), dos nodos n1, n2 ? N
estarán enlazados, n1 ? n2, si s(n1) n2.
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N 107. Conectividad total.
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Untouchable numbers (Erdös) impossible values for
sum of aliquot parts of n
An untouchable number is a positive integer that
cannot be expressed as the sum of all the proper
divisors of any positive integer (including the
untouchable number itself). n tales que n ?
s(m) para todo m. The first few are 2, 5, 52,
88, 96, 120, 124, 146, ... (Sloane's A005114).
In 1973 Erdös Erdos has proven that there are
infinitely many.
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E(22) 8
N 22
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La conjetura de Goldbach
La conjetura de Goldbach reza así Todo número
par n mayor que 2 es expresable como suma de dos
primos p y q.
Supongamos la conjetura cierta. Y sea x un
natural mayor que 1 gt 2x es par. gt 2x p q
, donde p, q primos. gt 2x 1 p q 1, donde
2x 1 es impar. Por tanto dado un número impar
2x 1, siempre existe un número pq de tal forma
que s(pq) p q 1 2x 1. Es decir, todo
número impar tiene al menos un antecesor bajo la
función divisores propios.
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En realidad tenemos que hacer referencia a una
versión un pelín más restrictiva de la conjetura
de Goldbach que dice que todo entero n mayor que
6 es expresable como la suma de dos primos
distintos. Sencillamente porque 4 y 6 solo son
expresables como suma de primos de esta manera 4
2 2 y 6 3 3. Y en estos casos no se
cumple s(pq) p q 1 porque p y q son
iguales. Así, si la conjetura de Goldbach es
cierta, no existen números de Erdös impares (a
excepción del número 5 y el 7).
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(No Transcript)
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E(N) ?N
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David Marchante
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Javier Herrera Montojo
"El cálculo de la cantidad de intocables de Erdos
se realizó con una ventana de 10 a 1.000.000 con
saltos de 10.
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Ciertamente los números de Erdos conocidos (menos
el 5) son todos pares. Ahora bien, en el análisis
de escala vemos que los números de Erdos E(N)
dentro de una ventana de observación N van como
E(N) 0.5772N (de hecho, 0.5772 parece
corresponder a la constante de Euler-Mascheronni,
? 0.577215664...). Por lo tanto si
estuviéramos midiendo realmente la cantidad de
números de Erdos, el porcentaje de números de
Erdos sería gamma, independientemente de la
ventana de observación, es decir, el porcentaje
de los naturales que son números de Erdos. Si
este porcentaje es de gamma (de alrededor del
58), significa que forzosamente algunos impares
también tienen que ser números de Erdos. Y la
conjetura de Goldbach debería de ser falsa.
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Recordemos que al aumentar la ventana de
observación algunos Erdos dejan de serlo, otros
se mantienen y otros nuevos se incorporan. El
scaling E(N) 0.5772N nos proporciona una ley
para este balance. Habría que pensar una
estrategia para determinar el porcentaje "real"
de intocables. Por ejemplo Fijamos N y
determinamos los tres tipos de intocables los
que desaparecen, los que permanecen y los nuevos
incorporados. Ahora vamos haciendo crecer N y
miramos como cambian estos tres grupos.
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Aunque en este caso disponemos de una información
importante Jean-Luc Garambois ha demostrado que
todos los antecesores de n, s(m) n, son
inferiores a n2 2. De modo que en este caso
podemos establecer una ventana N sobre la que
medir la cantidad de nodos de Erdös, pero
contando con todos los enlaces que puedan
provenir de otra ventana de tamaño N22. Y este
sí que sería el verdadero scaling de los nodos de
Erdös.
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N. J. A. Sloane and Simon Plouffe, The
Encyclopedia of Integer Sequences
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http//www.research.att.com/njas/sequences/b00511
4.txt
Table of n, a(n) for n 1, ..., 8153
N. J. A. Sloane and Simon Plouffe, The
Encyclopedia of Integer Sequences
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Cada 1000 pasos desaparecen unos 270.
Carlos Juárez
Comprobar
Ed 0.27 N
Step 1000.
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Javier Herrera Montojo
Ed 0.44 N
Esta gráfica debería ser la acumulada de la
anterior.
"El cálculo de la cantidad de intocables de Erdos
se realizó con una ventana de 10 a 1.000.000 con
saltos de 10".
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Carlos Juárez
Dices "prácticamente una línea recta..."
?
En 0.84 N
Cada 1000 pasos aparecen nuevos unos 840. O sea
que cada 1000 pasos crecen 840-270570. El 57 de
1000.
Step 1000.
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(No Transcript)
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Carlos Juárez
E(N) En(N)-Ed(N) (0.84-0.27)N E(N)
0.57N
Step 1000.
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Javier Herrera Montojo
"El cálculo de la cantidad de intocables de Erdos
se realizó con una ventana de 10 a 1.000.000 con
saltos de 10.
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Diego Vázquez
"Contabilizar la cantidad de números de Erdös de
los universos de dimensión desde 1 hasta 2000,
aumentando de 1 en 1.
"Se puede ajustar con una recta de pendiente
0.54288, que no esta lejos de los que nos
contaste en clase 0.577, teniendo en cuenta que
es solo con 2000 números".
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Carlos Juárez
Cada 1000 pasos se mantienen el 57? Teníamos
que se iban, de los 1000, unos 270 y que
entraban nuevos unos 840
Step 1000.
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EulerMascheroni constant
En vez de ajustar E(N) a una recta, podríamos
intentar ajustar a
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Direct escape nodes
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De nuevo nos encontramos con el mismo problema
que con los nodos de Erdös. Así que tendríamos
que hacer medidas semejantes Para cada ventana
N (1) nuevos nodos de escape directo. (2) nodos
de escape directo que dejan de serlo. (3) nodos
de escape directo que continúan siéndolo.
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(No Transcript)
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(No Transcript)
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(No Transcript)
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Fijado N, llamaremos conjunto de escape EN de N
al conjunto de todos los nodos o números n ? N
tal que s(n) ? N, junto con todos los números de
N que en sucesión los alcanzan. De nuevo
hagamos las mismas medidas...
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(No Transcript)
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(No Transcript)
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(No Transcript)