Title: EL PROCESO PARA CALCULAR EL INCREMENTO DE UNA MAGNITUD.
1- EL PROCESO PARA CALCULAR EL INCREMENTO DE UNA
MAGNITUD.
2RECAPITULACIÓN
- En el concepto problemático de determinar valores
de una magnitud de interés que depende de otra
magnitud de referencia, resultará productiva la
idea que enseguida describiremos. - Se conoce uno de los valores de cierta magnitud
M, digamos el valor de M(a), y se busca calcular,
o predecir, otro valor de la magnitud, digamos el
valor de M(b), donde b es un número mayor que a.
Es natural considerar que
3- Nuestro interés entonces, es idear un modo de
calcular el cambio acumulado el cual, como
podrías notar, representa la diferencia M (b)-M
(a) entre 2 valores de la magnitud.
Realmente, hasta el momento contamos con 2 modos
de abordar este problema en el caso de que la
razón de cambio r (x) de la magnitud está dada de
antemano, o se reconoce por el contexto del
problema. El primero de esos modos lo hemos
hecho como el Método de Euler. Mediante éste,
podemos conseguir aproximaciones para la
diferencia
4- El segundo modo es por medio de la antiderivada,
siempre y cuando podamos obtener una antiderivada
de la función r (x). - El tercer modo de abordar el problema es el que
conocemos en esta sesión, y lo dejaremos
establecido explicitamente a través del análisis
de la siguiente situación problema.
5SITUACION PROBLEMA 1
- Supongamos que un automóvil viaja por una
carretera recta y que a partir de cierto momento
(t0) se empieza a medir la distancia recorrida. - Sea s (t) la distancia recorrida al transcurrir t
- unidades de tiempo.
- La velocidad del automóvil en cualquier tiempo t
está dada por la función - v (t) 43t2t²
- Nos interesa calcular la distancia recorrida
entre - t 5 y t10.
6- ANÁLISIS 1
- Podemos encontrar la distancia recorrida entre
- t5 y t10 de la siguiente manera calculamos la
- Distancia que ha recorrido el automóvil hasta
t10 - (o sea s(10)), y calculamos la distancia que ha
- recorrido hasta t5 ( o sea s(5)). Finalmente
restamos el segundo valor al primero, es decir,
Calculamos el valor de la diferencia - s(10)-s(5)
- Los valores de s (10) y s (5) los podemos obtener
su deducimos la fórmula para la función distancia
s (t). Para lograrlo, partimos de que conocemos
la fórmula la velocidad
7Esta función de la velocidad, es a su vez, la
derivada de s (t). Por lo tanto, si antiderivamos
v (t) , obtendremos a s (t). La familia de
antiderivadas de v (t) es
Además, conocemos la condición inicial de s
(0)0, así podemos precisar que
8Usemos esta fórmula para calcular
y por lo tanto, la distancia recorrida desde t 5
hasta t10 es s(10)-s(5)715.82
9- ANALISIS 2
- Después de este análisis que nos condujo a dar la
respuesta a la situación planteada, estamos en
posibilidad de identificar el segundo modo de
abordar el problema que nos ocupa. Arribaremos a
su enunciado analizando la situación problema
desde una perspectiva más general. - En la situación problema conocíamos la fórmula de
la velocidad, es decir, de la razón de cambio de
la distancia recorrida con respecto al tiempo.
Para efectos de generalizar, nombremos como M (x)
a la magnitud distancia en función del tiempo, y
nombremos r (x) a su razón de cambio. - Dentro del análisis de la situación, la
estrategia que seguimos fue encontrar la fórmula
de la distancia interpretando a ésta como una
antiderivada de la velocidad.
10- En el contexto general, eso nos condiciona a
tener la capacidad de - encontrar la familia de antiderivadas de r (x),
la razón de cambio. -
- Por último, en la situación particular, habiendo
encontrado una - antiderivada de v (t) , evaluamos la
antiderivada s (t) en los 2 valores - del tiempo dados t5 y t10, de tal manera que la
diferencia numérica - entre ellos es la distancia recorrida, o, en
términos generales el cambio - acumulado de la distancia.
- En analogía con la solución a la situación
problema planteada, podemos - Inducir, ahora en forma general, que cuando se
conoce la razón de - cambio r (x) de la magnitud M( x) y además se
puede encontrar una - antiderivada R (x) para esa r (x) (esto es, ) es
tal que R (x)r(x)), - entonces, el cambio acumulado de la magnitud M se
obtiene con la - diferencia entre los valores calculados con la
antiderivada R(x). Es decir
11- Observa que en la expresión anterior, el valor de
la derecha se puede calcular por que contamos con
la fórmula de la antiderivada de r (x) sin
embargo, el hecho de que éstas difieran entre sí
por una constante aditiva, provoca que la
diferencia - R(b)-R(a) tenga siempre el mismo valor,
independientemente de la antiderivada que hayamos
elegido para calcularla. Lo comprobaremos
enseguida. - Denotemos esta diferencia como
Calculemos este valor al abordar nuestra
situación problema
La razón de cambio La antiderivada de ella
12- Aún si dejamos la constante C sin determinar,
podemos calcular
Este cálculo puede hacerse sin importar el valor
de C ya que, como pudistes observar, al restar
los valores de la expresión en 10 y en 5, la
constante C se cancela en el proceso algebraico.
13Análisis 3
- Daremos ahora un argumento geométrico que también
apoya el - hecho de que el cambio acumulado calculado con R
(b)-R (a) es - igual para cualquier antiderivada que sea
considerada. - El argumento consiste en lo siguiente todas las
antiderivadas de - una función r (x) poseen la misma derivada,
puesto que esa - derivada es precisamente la función r (x). Eso
nos asegura que, para - cada una de las curvas de las antiderivadas, en
los puntos de ellas - correspondientes a la misma coordenada x, las
pendientes toman el - mismo valor numérico. En otras palabras, estas
antiderivadas - manifiestan inclinaciones en cada uno de sus
puntos - correspondientes (mismo valor de x).
14- Esto obliga a que si tomamos la gráfica de una de
las antiderivadas, las demás gráficas pueden
verse como traslaciones verticales de aquélla. - La situación problema que hemos resuelto da
cabida a un análisis adicional que nos permitirá
presentar un tercer modo de abordar la
problemática general de obtener el cambio
acumulado - M (b)-M (a) cuando se conoce la razón de
cambio r (x) de la magnitud M (x). Obtendremos
por este tercer modo por via del uso de los
diferenciales en el siguiente apartado.
ANALISIS 4
Consideremos una porción infinitesimal de la
gráfica de la magnitud M (x). De acuerdo con el
triángulo característico, podemos decir que el
incremento infinitesimal de la magnitud M es un
diferencial d M tal que d M r (x) dx
15- donde r (x) es la razón de cambio de la magnitud
M (x). - Fijemos un intervalo a, b y ubiquemos los
valores de M (a) y - M (b) sobre la gráfica. Con algo de imaginación,
concebimos en la - gráfica triángulos característicos consecutivos y
con cada uno de - Ellos ubicamos los incrementos diferenciales d M
- correspondientes.
- Podemos asumir que, al sumar estos incrementos
- infinitesimalmente d M se obtendrá M (b) - M (a)
, como se - observa en la siguiente figura
16- La suma de los diferenciales se representa
mediante el simbolo
O
El primer simbolo se lee como La integral del
diferencial dM y la segunda expresión se lee
como La integral desde a hasta b de
r(x)dx. Con esta representación podemos escribir
el cambio acumulado
HACIA LA GENERALIZACION
Observa el siguiente resumen que contiene los
tres modos diferentes que hemos analizado para
calcular el cambio acumulado de la magnitud M, de
la cual conocemos su razón de cambio r (x).
17Resumen M (x) la magnitud r (x) su razón de cambio
Primer modo
Segundo modo Donde R (x) antiderivada de r (x), esto es,
Tercer modo
18TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CALCULO
Donde R (x) es la antiderivada de r (x), esto es,
Este teorema nos plantea que la integral puede
calcularse conociendo una antiderivada R (x) de
r (x) sólo habra que evaluar esta función como
lo indica la notación dada
19- Al principio de esta sesión nos planteamos la
siguiente idea si se conoce un valor de una
magnitud M, M (a) se puede calcular o predecir el
valor de M (b), siendo b mayor que a. Para ello ,
habíamos considerado que - M (b) M (a) el cambio acumulado de la
magnitud M en el intervalo a a b - Con el conocimiento que hemos construido durante
esta sesión, podemos ahora escribir
Y en forma general, considerando en vez de b el
valor fijo pero arbitrario x
Esta última expresión matemática manifiesta la
manera de predecir el valor de la magnitud M en
términos de un valor conocido de ella y del
comportamiento de su razón de cambio.