Diapositiva 1

1
LAS MATEMÁTICAS EN LOS ESTUDIOS DE ECONOMÍA. LA
OPTIMIZACIÓN (IV Escuela de Educación Matemática
Miguel de Guzmán) Joaquín Pérez Navarro
Departamento de Fundamentos de Economía de la
Universidad de Alcalá (joaquin.perez_at_uah.es) 23-J
ulio-2008
2
Asignaturas de Licenciado en Economia (I)
PRIMER CURSO Asignatura (Código) Créd.
Tipo Estadistica Economica I (36000) 10,5 TR Anal
isis Matematico I (36003) 4,5 OB Introduccion Al
Derecho (36001) 6 TR Microeconomia I
(36002) 7,5 TR Sociologia Economica
(36004) 6 OB Analisis Matematico II
(36005) 6 TR Estructura Econ. Mundial
(36006) 6 TR Macroeconomia I (36007) 7,5 TR
3
Asignaturas de Licenciado en Economia (II)
SEGUNDO CURSO Asignatura (Código) Créd.
Tipo Estadistica Economica II (36020) 12 TR Estru
ctura Economica de España (sector Financiero)
(36021) 12 TR Historia Economica I
(36022) 6 TR Microeconomia II (36023) 7,5 TR Teo
ria de la Optimizacion (36024)6 TR Historia
Economica II (36025) 6 TR Macroeconomia II
(36026) 7,5 TR Sistemas Dinamicos (36027) 4,5 OB
4
Asignaturas de Licenciado en Economia (III)
CURSOS POSTERIORES Asignatura (Código)
Créd. Tipo Introduccion a la Econometria
(36043) 4,5 TR Econometria I
(36201) 4,5 TR Econometria II
(36205) 4,5 TR Econometria Superior (36313)
7,5 OPT NC Economia Matematica (36317) 7,5 OPT
NC
TR Troncal OB Obligatoria OPT NC
Optativa del Nucleo Curricular
5
LA OPTIMIZACIÓN EN ECONOMÍA Una definición,
simplificada pero interesante, de la
Economía Ciencia que analiza el comportamiento
humano como una relación entre fines dados y
medios escasos que tienen usos alternativos Resu
miendo aún más Ciencia que estudia la
asignación óptima de los recursos disponibles
6
Una tipología de problemas de Optimización
1.OPTIMIZACION CONVENCIONAL (Un agente, una
función objetivo, carácter continuo y estático)
1.1 Optimización libre 1.2 Optimización con
restricciones igualdad 1.3 Optimización con
restricciones desigualdad 2.OPTIMIZACION
MULTIAGENTE O INTERACTIVA (TEORÍA DE JUEGOS)
Distintos agentes, los jugadores, intentan
elegir acciones que optimizan su función
objetivo, pero esta función depende de las
acciones de los otros jugadores 3.OPTIMIZACION
MULTICRITERIO Se intentan optimizar,
simultaneamente, varias funciones
objetivo 4.OPTIMIZACION COMBINATORIA Se
intenta, de entre un conjunto finito de
posibilidades, encontrar la óptima.
7
Contenidos de la asignatura ANÁLISIS MATEMÁTICO
II (36005)

• MATRICES Y SISTEMAS DE ECUACIONES
• LINEALES
• 2. DIAGONALIZACION DE MATRICES
• 3. FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES
• 4. OPTIMIZACION LIBRE Y RESTRINGIDA
• 4.1 Introducción.
• 4.2 Máximos, mínimos y puntos de silla en campos
  escalares de dos variables
• 4.3 Condiciones necesarias y suficientes de
  optimalidad.
• 4.4 Optimización con restricciones igualdad.
• 5. INTEGRALES DE CAMPOS ESCALARES

8
Contenidos de la asignatura TEORÍA DE LA
OPTIMIZACIÓN (36024)
A. OPTIMIZACIÓN ESTÁTICA1.- Topología y
Convexidad en Rn.2.- Optimización sin
restricciones.3.- Optimización con restricciones
igualdad.4.- Optimización con restricciones
desigualdad.B. PROGRAMACIÓN LINEAL5.- El
problema de la Programación Lineal (PL).6.-
Dualidad y post-optimalidad en la PL.7.-
Aplicaciones y problemas especiales de la PL.C.
INTROD. A LA OPTIMIZACIÓN DINÁMICA8.-
Introducción. El Cálculo de Variaciones.9.-
Control Óptimo. El principio del máximo.
9
Contenidos de la asignatura ECONOMÍA MATEMÁTICA
(36317)
PARTE 1 INTROD. A LA TEORÍA DE JUEGOS1.
Introducción y prerrequisitos2. Juegos estáticos
con inform. completa3. Juegos dinámicos con
inform. completa4. Juegos estáticos con inform.
incompleta5. Juegos dinámicos con inform.
incompleta6. Juegos cooperativosPARTE 2 INTR.
A LA OPTIMIZACIÓN DINÁMICA7. Sistemas
dinámicos8. El problema del control óptimo
10
RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS I Ejercicios
convencionales

• Problema de optimización con restricciones
  igualdad
• Dada la elipse de ecuación x24y2 4, calcula,
  de entre sus puntos
• Cuáles se encuentran a una distancia mínima del
  punto P(1, 0).
• Cuáles se encuentran a una distancia máxima del
  punto P(1, 0).
• (Opt F(x,y) (x-1)2 y2 s.a.
  x24y24)

11
RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS II Ejercicios
convencionales
Problema simplificado de optimización con
restricciones desigualdad Los bienes B1 y B2
se venden a precios unitarios de 40 y 100 euros
respectivamente. Supóngase que un consumidor
dispone de un máximo de 2000 euros para gastar en
ambos, y que su función de utilidad es U q1q2,
siendo q1 y q2 las cantidades consumidas de cada
bien. a) Calcular qué cantidades habrá de
comprar para maximizar su utilidad, y qué aumento
de utilidad máxima se derivaría de añadir 5 euros
a su presupuesto de gasto. (Max U(q1, q2)
q1q2 s.a. 40q1100q2 ? 2000
q1, q2 0 )
12
RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS III Ejercicios
convencionales
Problema de optimización con restricciones
desigualdad (Programación Lineal) Una
fábrica de circuitos integrados produce dos
modelos, A y B. Cada uno de ellos ha de pasar por
las cuatro secciones de la fábrica S1, S2, S3 y
S4. La capacidad mensual de trabajo, en horas, de
estas secciones es de 30000, 40000, 27000 y
36000, respectivamente. Los tiempos en horas que
cada modelo requiere en cada una de estas
secciones son A necesita 10, 20, 3 y 12 horas,
resp., y B necesita 10, 5, 12 y 8. A y B dejan
un beneficio neto de 10 y 40 euros por unidad,
resp. a) Obtener las cantidades óptimas de cada
modelo y el beneficio máximo. b) Calcular el
precio sombra de la hora de trabajo en S1, y
deducir razonadamente de qué modo se altera la
solución obtenida en (a) al aumentar en un 50 la
capacidad mensual de dicha sección. (Max ?(qA,
qB) 10qA40qB s.a. 10qA10qB ?
30000 20qA 5qB ? 40000 3qA 12qB
? 27000 12qA 8qB ? 36000 qA,
qB 0 )
13
RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS II Ejercicios voluntarios
y experimentales
Experimento en el aula a) Escribe un número
entero x del intervalo 0, 400. Tiene premio el
valor de x más cercano a la longitud de la
pizarra. b) Escribe un número entero y del
intervalo 0, 400. Tiene premio el valor de y
más cercano a la media aritmética de las x. c)
Escribe un número entero z del intervalo 0,
400. Tiene premio el valor de z más cercano a la
mitad de la media aritmética de las z.
14
RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS III Ejercicios
voluntarios y experimentales
Problema de R. B. Myerson, en version
adaptada. "Una tarde, a las 16h 50 m., en una
fiesta de matemáticos, el anfitrión reune a sus 5
invitados en su biblioteca (en cuya pared un
reloj de cuco da la hora cada 15 minutos) y les
propone lo siguiente 'Os pondré a cada uno en
la frente una pegatina con un número natural. Si
alguno llega a estar seguro en algún momento de
que su número es primo, y sólo en ese caso,
deberá alzar la mano justo en el momento de la
siguiente salida del cuco. No podeis comunicaros
entre sí, ni ver vuestro propio número, pero sí
el de los demás. A continuación, pone a todos
y cada uno una pegatina con el número 17,
terminando la operación a las 16h. 55 m." a)
Qué ocurrirá a lo largo de la tarde? b) Qué
ocurriría si, tras ponerles las pegatinas y
darles un minuto para que se miraran, hubiera
dicho en alto lo siguiente (aunque todos lo
sabrían ya) 'Alguno de vosotros lleva un número
primo' ?
15
RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS IV Ejercicios voluntarios
y experimentales

• El problema de Kemeny, en un ejemplo sencillo.
• La entradas de la siguiente matriz simétrica,
  C1 C2 C3 C4
• cuyas filas (y columnas) se identifican con
  C1 0 9 6 7
• los candidatos de una votación, reflejan las
  C2 4 0 8 6
• preferencias expresadas por los votantes
  C3 7 5 0 10
• entre cada par de candidatos. C4 6 7
  3 0
• a) Ordena las filas (y coordinadamente las
  columnas) de dicha matriz de manera que sea
  máxima la suma de las entradas que hay sobre la
  diagonal principal.(Kemeny C3gtC1gtC4gtC2)
• Ordena las filas (y coordinadamente las columnas)
  de dicha matriz de manera que la suma de las
  entradas de cada fila vaya de mayor a menor.
  (Borda C3?C1gtC2 gt C4)

16
RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS V Ejercicios voluntarios
y experimentales
El problema de Kemeny, en una formulacíón
equivalente. El perfil de las preferencias
expresadas por 13 votantes con respecto a 4
candidatos es el siguiente 4 votantes
C1gtC2gtC3gtC4 3 votantes C3gtC4gtC1gtC2 3
votantes C4gtC2gtC3gtC1 1 votante
C1gtC3gtC4gtC2 1 votante C1gtC3gtC2gtC4 1
votante C2gtC3gtC1gtC4 Encontrar el orden
entre candidatos cuya suma de distancias a los 13
órdenes del perfil anterior es mínima (la
distancia entre dos órdenes es el número total de
inversiones entre pares de candidatos) (Kemeny
C3gtC1gtC4gtC2)
17
Significado económico de los multiplicadores de
Lagrange
En los problemas de Optimización Maxx F(x,
b) Estática con restricciones s.a g1(x) ?
b1 ............... gm(x) ? bm donde
x es el vector n-dimensional de variables de
decisión, el multiplicador de Lagrange en el
óptimo asociado a la restricción j-ésima, ?j,
cumple habitualmente la siguiente propiedad
?F(x, b) / ?bj ?j donde F es valor de
la función objetivo en el óptimo. Esta
propiedad, que nos dice que el aumento de F
ocasionado por un aumento marginal unitario en
bj, es precisamente ?j, permite interpretar ?j
como el valor que cabe atribuir al hecho de
disponer de una unidad marginal (adicional) del
recurso de cuya escasez nos informa la
restricción j-ésima. Es decir, permite
interpretar ?j como el precio imputado, o precio
sombra, de dicho recurso.