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6. Variable aleatoria continua
Un diálogo entre C3PO y Han Solo, en El Imperio
Contraataca, cuando el Halcón Milenario se
dispone a entrar en un campo de asteroides -
C3PO Señor, la probabilidad de sobrevivir al
paso por el campo de asteroides es,
aproximadamente, de una entre 3721. - HAN SOLO
No me hables de probabilidades!
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Imaginemos una ruleta de la fortuna con un
perímetro circular de longitud 1. Como la flecha
puede señalar infinitos valores no numerables,
todo resultado tiene probabilidad 0. Cómo
podemos definir entonces probabilidades? Podemos
hacerlo asignando probabilidades a intervalos,
p. ej. la probabilidad de que el resultado esté
entre 0 y 0,5 es 1/2, puesto que se trata de la
mitad del círculo. Cómo podemos representarlo
mediante una gráfica?
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1
a
b
0
1
La probabilidad de que obtengamos un valor entre
a y b es b - a.
El área sobre un punto como a, es cero.
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Función de distribución de una variable
aleatoria continua

• Para una variable aleatoria continua disponemos
• de un conjunto no numerable de valores. No es
  posible
• definir una probabilidad para cada uno. Por eso
• definimos previamente la función de distribución
  de
• probabilidad, que sí tiene un significado
  inmediato y
• semejante al caso discreto

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Definimos la función de distribución para la
variable aleatoria continua como
Donde p(x) se llama función densidad de
probabilidad de la distribución F(x), es
continua y definida no negativa.
Diferenciando tenemos para cada x donde
p(x) es continua.
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Función de densidad de probabilidad
Es una función no negativa de integral 1.
Se puede pensar como la generalización de un
histograma de frecuencias relativas para variable
continua.
b
a
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Observa que
A partir de la definición es fácil ver que
De modo que la probabilidad es el área bajo la
curva densidad p(x) entre x a y x b.
Nota para cualquier par de valores a y b, en el
caso de una variable aleatoria continua, las
probabilidades correspondientes a los intervalos
a lt X ? b, a lt X lt b, a ? X lt b y a ? X ? b son
la misma. No así en variable discreta.
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Supongamos que X tiene como función densidad a
p(x) 0.75(1-x2) si -1? x ?1 y cero en otro
caso. Encuentra la función de distribución y las
probabilidades P(-1/2 ? X ? 1/2) y P(1/4 ? X ?
2). Y x tal que P(X ? x) 0.95
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Esperanza matemática o media
Decimos que una distribución es simétrica si
existe un valor c tal que para cada real x
p (c x) p(c - x). Observa que si una
distribución es simétrica con respecto a c,
entonces su media ? es ? c.
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Varianza y desviación típica
La desviación típica o estándar es el valor
positivo de la raíz cuadrada de ?2 . Ambas miden
la dispersión de la distribución. Observa que
la varianza siempre es ?2 gt 0, excepto para una
distribución con p(x) 1 en un punto y p(x) 0
en el resto (una delta de Dirac), en cuyo caso
?2 0.
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Distribución de probabilidad uniforme U(a,b)
Función de densidad de probabilidad
Área 1
Recordemos que la función de distribución se
define como
a
b
Entonces
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Igualmente, partiendo de la función de
distribución
Podemos calcular la función de densidad de
probabilidad
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Ejemplo
Area 0.5
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Calcula la media, la varianza y la desviación
típica de la distribución de probabilidad
uniforme.
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Momentos de orden k centrados en el origen y en
la media.
Momentos de orden k
Observa que para k 2 ?2 E((X - ?)2)
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Otros valores típicos o medidas del valor
central son mediana
moda xmod es el
valor para el cuál la distribución toma su máximo
absoluto.
Discr.
Cont.
Siguen un orden alfabético
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(No Transcript)
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Otras medidas de la anchura de la distribución
- Desviación absoluta media, ?x

- Intervalo R xmax - xmin,


-
Nivel de confianza al 68.3 a,b tal que
y el intervalo a,b es
mínimo.


- Cuartiles a,b tal que
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(No Transcript)
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(No Transcript)
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(No Transcript)
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(No Transcript)