Diapositiva 1

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Transición de fase en un algoritmo estocástico
de generación de números primos
Lucas Lacasa Bartolo Luque ETSI
Aeronáuticos Dpto. Matemática Aplicada y
Estadística Universidad Politécnica de
Madrid Octavio Miramontes Dpto. Sistemas
Complejos Instituto de Física UNAM, México D.F.
Ciudad Real NoLineal 2007
2
Teoría de números
Física teórica
3
Teoría de números
Sistemas complejos
4
Números primos
Transición de fase
5
El teorema fundamental de la aritmética
El teorema fundamental de la aritmética muestra
que los primos son los ladrillos básicos con los
que están construidos los enteros. Dice Todo
entero positivo mayor que uno puede ser escrito
de forma única como el producto de primos, con
los factores primos en el producto en orden de
tamaño no decreciente. (Euclides, Elementos).
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primo "de base"
átomo "indivisible"
7
Química aritmética
Quiritmética
En la quiritmética los números primos son átomos,
son indivisibles-irreducibles.

Y los números compuestos son moléculas.
La "molécula" 500 22 53 está formada por dos
"átomos" de 2 y tres "átomos" de 5.
500
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Gas de números
Pool 2, 3, 4, ... ,M
Población N números al azar del pool con
posible repetición (M gtgt N).
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Reacciones quiritméticas
M 10.000 N 2
10
Reacciones quiritméticas
M 10.000 N 2
11
Reacciones quiritméticas
M 10.000 N 2
12
Reacciones quiritméticas
M 10.000 N 2
Como 500/25 20 500 ? 25 ? 20 25
13
Reacciones quiritméticas
M 10.000 N 2
14
Reacciones quiritméticas
M 10.000 N 2
15
Reacciones quiritméticas
M 10.000 N 2
Como 25 no es divisible por 20, no son posibles
más reacciones
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Reglas de reacción quiritmética
Tomamos al azar dos números ni y nj de la
población N (el equivalente a un encuentro al
azar de las dos moléculas). Caso de que ambos
números sean iguales no se produce reacción
(choque elástico) y los números se mantienen
inalterados.
Si ni nj ni ? nj ? ni nj
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Reglas de reacción quiritmética
Supongamos que ni gt nj . Entonces ni reaccionará
con nj sii nj es divisor de ni, es decir sii
ni mod nj 0. Y la reacción se escribirá
como ni ? nj ? nk nj donde ni / nj nk
El resultado de la reacción será la reducción
del número compuesto ni a un número "más simple"
nk bajo la acción catalítica de nj.
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Número de reacciones acumuladas en el tiempo
Estacionario
19
r porcentaje unitario de primos en el
estacionario
Estacionario
20
r porcentaje unitario de primos en el
estacionario
Todo primos (fase ordenada)
M 10.000
Primos al azar (fase desordenada)
Cada punto es el promedio de 20.000 realizaciones
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Distribución de números en el estacionario
M 10.000
Fase desordenada
Fase ordenada
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r porcentaje de primos en el estacionario no
es propiamente un parámetro de orden
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180
120
600
6
20
Red de divisibilidad p(k) k-2
5
2
24
180
120
600
6
20
N 4
5
2
25
180
120
600
6
20
120 es catalizado por 20
5
2
26
180
600
6
20
5
Desaparece 120 y aparece 6
2
27
180
600
6
20
5
6 cataliza a 180
2
28
180
600
6
20
5
Desaparece 180 y aparece 30
2
29
180
600
6
20
5
2
6 cataliza a 30
30
Alcanzamos un nodo absorbente el primo 5
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P porcentaje unitario de estados estacionarios
con un 100 de primos (parámetro de orden)
Nc
Parámetro de control
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Aproximación annealed destruir correlaciones
1 - q Probabilidad de que al menos una pareja
de números sean divisibles

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p(M) probabilidad de que dos números escogidos
al azar sean divisibles entre sí.
q(N, M) probabilidad de que ninguna pareja de
entre N números escogidos al azar de M sean
divisibles.
q(Nc, M) 0.5
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Tamaño característico del sistema M /
log(M). Teorema de los números primos.
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P porcentaje unitario de estados estacionarios
con un 100 de primos.
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? 0.59
37
1/Ln(M)
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Tiempo característicot número medio de pasos de
tiempo por molécula que el algoritmo necesita
para alcanzar el estacionario.
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Easy-hard-easy pattern