Diapositiva 1

1
8. Integrales
La trayectoria más corta entre dos verdades
reales pasa a través del dominio complejo."
Jacques Hadamard (1865 1963)
2
Integrales definidas (Tipo I)
Sea R(sin ?, cos ?) una función racional que no
posee polos sobre la círcunferencia unidad C
sin2 ?? cos2 ? 1
z1
donde zk son los polos de f(z) dentro del
círculo unidad.
3
Ejemplo
4
Tiene 3 polos, uno doble en z 0 y dos simples
en z -1/2 y z -2, pero este último está
fuera del contorno C (circunferencia de centro el
origen y radio 1)
5
Aquí tienes el cálculo explícito de los residuos
6
Otro ejemplo
Hallar
La integral no está entre 0 y 2p, pero podemos
arreglarlo.
Como el integrando es par
7
Pero sólo el segundo está dentro del círculo
unidad.
Los polos son y
La integral queda
8
Otro ejemplo. Calcular
Solo este polo está en el círculo unidad.
9
(No Transcript)
10
Observa que también funciona el mismo cambio de
variable si tenemos términos del tipo cos(n?) y
sen(n?)
11
(No Transcript)
12
Integrales impropias
En cálculo, una integral impropia es el límite de
una integral definida cuando uno o ambos
extremos del intervalo de integración se hacen
infinitos. Pueden definirse en términos de
integrales propias (sumas de Riemann), siempre y
cuando existan estos límites. Cuando el límite
existe decimos que la integral converge. Y en
caso contrario, que diverge.
En este caso la integral existe. Pero en los dos
siguientes no
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(No Transcript)
14
Por ejemplo
Sin embargo
15
Nota sobre la simetría de los integrandos
Si f(x) es par, entonces f(x) f(-x) y
Si f(x) es impar, entonces f(x) -f(x) y I 0.
Aunque no lo digamos, a partir de ahora
calcularemos siempre el Valor Principal, V.P.
16
Lemas de Jordan
Camille Jordan (Lyon 1838 París 1922)
17
1er Lema de Jordan
Sea f(z) una función analítica (con la posible
excepción de un número finito de singularidades)
definida en el sector de circunferencia ?(r)
delimitado por ?1 ? ?2 y radio r tal que
d(r)
?2
?1
r
x
18
2º lema de Jordan
Sea f(z) una función analítica (con la posible
excepción de un número finito de singularidades)
definida en el sector de circunferencia ?(r)
delimitado por ?1 ? ?2 y radio r tal que
d(r)
?2
?1
r
19
3er lema de Jordan
Sea a?? R y f(z) una función analítica (con la
posible excepción de un número finito de
singularidades) definida en el sector de
circunferencia ?(r) del semiplano superior y ? 0,
delimitado por 0 ?1 ? ?2 ?? y radio r tal
que
d(r)
?2
?1
Nota Si a?? R- , el resultado sigue cumpliéndose
para un sector de circunferencia ?(r) del
semiplano inferior y 0, delimitado por -?
?1 ? ?2 ?0.
r
20
4º lema de Jordan
Sea f(z) una función analítica definida en el
sector de circunferencia ?(?) del semiplano
superior y ? 0

• Si z z0 polo simple ?

?(e)
Demostración
Si z z0 es un polo simple de f(z), la función
se puede escribir de la forma
-e
e
z0
Donde h(z) es una función analítica en un entorno
de z0 y por lo tanto
21
0
Aplicando límites
Observemos que con el recorrido en sentido
contrario da lo mismo con un signo menos
De manera análoga, podemos hacerlo en el
semiplano inferior teniendo en cuenta el
sentido en que lo recorremos.
22
LEMAS DE JORDAN

• 1º
• 2º
• 3º
• 4º

Si z z0 polo simple
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Integral tipo 2
Con R(x) una función racional que no posee polos
en el eje real, aunque puede tener polos no
reales.
Vamos a exigir
Por ejemplo, supón que R(x) P(x)/Q(x) donde el
grado de P(x) es n y el grado de Q(x) es m ? n
2.
En compleja
Por el primer lema de Jordan.
24
Por el primer lema de Jordan.
0
25
Ejemplo
El grado del denominador es 4 y del numerador 2.
Tomamos C como un semicírculo cerrado de radio r
que contiene a los polos
Dos polos en el semiplano superior
Dos polos en el semiplano inferior
Los del semiplano inferior quedan fuera del
contorno C
26
Por el teorema del residuo
27
Calcular
Como el integrando es par, nos es más fácil
calcular
Pasando a complejos
y se cumple
por tanto aplicamos el lema 1
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• Evaluar

Los polos son
en el semiplano superior están z1 e?i/4 y z2
e3?i/4.
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(No Transcript)
30
(No Transcript)
31
(No Transcript)
32
De otra manera... Calcular
integrando
a lo largo del contorno de la figura (con R
C
R
?2
?3
?1
polos simples
sólo z0 es polo interior.
33
Sobre ?3, z ix, por tanto dz idx
34
(No Transcript)
35
(No Transcript)
36
Si existen polos en el eje real, sencillamente
hay que tener en cuenta que su contribución es de
?i en vez de 2?i. Por ejemplo
37
Integral tipo 3
Siendo f(z) una función analítica en todo punto
del semiplano cerrado , salvo quizá en
un número finito de puntos.
Si los puntos singulares no están sobre el eje
real
Estando el sumatorio extendido a los puntos
singulares de f(z) contenidos en el plano y gt 0
38
En el caso de que la función f(z) posea puntos
singulares sobre el eje real se utiliza el lema
4
Si z z0 polo simple
?(e)
e
z0
-e
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Aclaraciones
40
?(r)
r
-r
Pasemos el integrando a forma exponencial
41
(No Transcript)
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(No Transcript)
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(No Transcript)
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(No Transcript)
45
P3. Junio 2007

• Calcular la integral real

Respuesta. Calcularemos la integral
46
Observemos que eiaz eia(x iy) e-y
iax e-y, que tiende a cero cuando y?0, lo
que implica que z?0 y R?0 por ello, se toma el
semiplano superior.
Sea C el circuito del dibujo
47
Observa que la función es par y estamos
calculando el doble del valor I
48
P1. Septiembre 2006

• (2.5 puntos) Calcular el valor de la integral

Respuesta.
49

• Puntos singulares de

50
Tomando límites en (1)
Por ser f analítica en ? y en su interior salvo
en z1 (Tª de Cauchy-Goursat)
Caso k gt 0
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(No Transcript)
52
Caso k 0
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(No Transcript)
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(No Transcript)
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(No Transcript)
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(No Transcript)
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(No Transcript)
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(No Transcript)
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(No Transcript)
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(No Transcript)
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63
Integral tipo 4
Condiciones R(x) es una función racional y 0 lt
?? lt 1.
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Demostración
0
0
Lema 1
Lema 2
65
0
0
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(No Transcript)
67
(No Transcript)
68
0
0
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(No Transcript)
70
P1. Septiembre 2005
a) Calcular el valor de la integral
Respuesta.
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(No Transcript)
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(No Transcript)
73
(No Transcript)
74
(No Transcript)
75
Integral tipo 5
R(x) función racional R(z) sin polos en el
semieje real x0
A continuación demostraremos que
y de esa demostración obtendremos también
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Demostración
(I)
tomamos límites para
y
igualando con la expresión (I) y dividiendo por
2pi
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• Ejemplo

en este caso, R(x) es
lo multiplicamos por
y queda
78
Otro ejemplo
Con
análogamente al ejemplo anterior
79
Examen JUNIO 02/03 P-1
80
(No Transcript)
81
P2. Septiembre 2007
1. Calcular la integral
Respuesta.
Calculamos a lo largo del contorno dado G, la
integral
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El punto z i es un polo simple de la función,
pues ésta se puede expresar en la forma
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• El límite

84
y se puede afirmar por el Lema 1 de Jordan que

• Por ser

y se puede afirmar por el Lema 1 de Jordan que
85
con lo que
86
con lo que
Sumando todas las contribuciones y, tomando
límites cuando R ? 8 y e ? 0 queda
87
Como la integral real
se deduce que
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Un último comentario
109
Números primos (parte II)
110
Georg Friedrich Bernhard Riemann
Riemann hacia 1859 extendió por prolongación
analítica la función zeta al plano complejo
con un polo simple en s 1.
Y probó que había profundas conexiones entre
esta función y la distribución de los números
primos.
Ueber die Anzahl der Primzahlem unter einter
gegebenen Grösse (1859) Sobre el número de
números primos menores que una magnitud dada.
111
La contribución genial de Riemann fue conectar
los ceros de ?(s) con el comportamiento
asintótico de ?(x). Gran parte del trabajo se
debe al descubrimiento de una ecuación funcional
que relaciona ?(s) con ?(1-s), en una simetría
respecto al eje Re(s) 1/2.
La función zeta de Riemann tiene ceros
(triviales) en -2, -4, -6, ... (los polos
de ? (s/2)).  Usando el producto de Euler es
fácil demostrar que el resto de ceros están en la
franja crítica 0 lt Re(s) lt 1, y son simétricos
sobre la línea crítica Re(s)1/2.  La hipótesis
de Riemann asevera que todos estos ceros están
realmente sobre la línea crítica.
112
De hecho, Euler ya había hecho parte del trabajo.
En 1749 Euler sugirió que la función zeta real
satisface la siguiente relación exótica
Observemos que si x gt 1, ??(x) es distinta de
cero. Si x -2, -4, -6, ... cos(?x/2) ? 0, pero
??(x) es infinita, de modo que ??(x) es infinita.
Puesto que ??(1-x) para estos valores es finita,
no queda más remedio que ??(x) sea cero para
estos valores.
113
Riemann demostró que los pares negativos s -2,
-4, -6, ... son ceros triviales de la función
zeta. Y que existían infinitos ceros no triviales
en la banda crítica
También "demostró" que el número de ceros N(T) no
triviales ? ? i? que satisfacen 0 lt ? ? T
es aproximadamente
114
Para relacionar ?(s) con ?(x) definió una función
prime counting "pesada"
Mientras ?(x) es una función escalonada que suma
uno para cada primo, ??(x) es una función
escalón que añade 1/m para cada potencia pm de
un primo p. Veamos un ejemplo concreto, que
resultará revelador. Calculemos, por ejemplo
115
Todos los pm ? 20 son 2, 22, 23, 24, 3, 32, 5,
7, 11, 13, 17, 19. Entonces
116
Observa que aunque el sumatorio sea infinito, en
realidad solo tenemos un número finito de
términos. Ahora, utilizando la inversión de
Möbius
Donde se usa la función de Möbius definida como
cero cuando m es divisible por un cuadrado y
como (-1)k en caso contrario (donde k es el
número de distintos factores primos de n).
117
Riemann mostró que ??(x) puede determinarse a
partir de los ceros ? de ?(s) mediante
(demostrado rigurosamente por H. von Mangoldt)
Observa, de nuevo, que para un x dado, esta serie
es finita a partir de un cierto valor de n,
x1/n lt 2.
118
Así que
sugiere que la función zeta conoce a los números
primos y eso fue lo que desveló Riemann
que sugiere que los ceros de la función zeta
conocen la distribución de los números primos.
119
Aproximando ?(x) usando los primeros 500 ceros de
la función zeta. La animación muestra como la
aproximación se va haciendo mejor a medida que
utilizamos más y más ceros (H. Riesel y G. Göhl).
120
Idem aproximando ?(x) usando los primeros 500
ceros de la función zeta, ahora en el intervalo
190 a 230.
121
La función zeta ?(s) de Riemann
Bernhard Riemann hacia 1859 generalizó la función
zeta a números s x iy complejos. Aquí vemos
una representación gráfica del módulo de la
función z de Riemman ? (s). Obsérvese el polo
en s 1.
122
Aquí vemos una representación gráfica del módulo
de la inversa de la función z de Riemman 1/?
(s). De este modo podemos ver fácilmente los
ceros de la función z como polos. Los ceros
parece que vayan paralelos y cercanos al eje
imaginario.
123
Hipótesis de Riemann (La conjetura más famosa
hoy de la matemática). La hipótesis de Riemman
afirma que todos los ceros no triviales tienen la
parte real igual a ½. Es decir que son de la
forma ½ iy.
Grafica de y frente al módulo
124
Los 100.000 primeros millones de ceros de la
función zeta están en la línea crítica ½
(2005).
125
. . . La principal broma de Hardy era que
consideraba a Dios su enemigo personal.
Entiéndase Dios no tenía nada más urgente que
hacer que fastidiarlo. Como ejemplo de la
permanente lucha de Hardy con Dios, Pólya contaba
la siguiente historia Un año Hardy permaneció
en Dinamarca con Bohr hasta el final de sus
vacaciones de verano, de manera que estaba
obligado a volver a Inglaterra para comenzar sus
lecciones. Sólo había un pequeño bote disponible
(no había tráfico aéreo en aquel tiempo). Como es
sabido, a veces el Mar del Norte puede estar
bastante revuelto y la probabilidad de que un
pequeño bote como aquel se hundiera no era
exactamente cero. Sin embargo, como no tenía otra
opción, Hardy embarcó en él, pero envió unapostal
a Bohr, con el siguiente texto He probado la
Hipótesis de Riemann. G. H. Hardy.
George Pólya (1887 - 1985)
No lo cogen? Es que no conocen la teoría
subyacente a la postal. . . . Si el bote se
hundía y Hardy se ahogaba, todo el mundo creería
que él había probado la Hipótesis de Riemann.
Pero Dios no consentiría que él (Hardy) tuviera
ese gran honor y por esto no dejaría que el bote
se hundiera. Obviamente, puesto que Hardy llegó a
salvo a Inglaterra, esta forma de seguro fue
efectiva".
126
(No Transcript)