Cinemtica vectorial

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Cinemática vectorial

• Qué estudia la cinemática vectorial?

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Vector posición, itinerario y trayectoria
Función itinerario
y
x f (t) y f (t) Son las ecuaciones
paramétricas de la trayectoria
y(t)
Si se elimina el parámetro t se obtiene la
ecuación de la trayectoria
x(t)
x
y f (x)
A continuación veremos un ejemplo...
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Vector posición, itinerario y trayectoria
Ejemplo 1. El itinerario de una partícula que se
mueve en el plano x y es el siguiente
0 lt t lt 5 s, x m
x 3 t y 2 t2
Son las ecuaciones paramétricas de la trayectoria
- Determinar la posición de la partícula en los
instantes t 1, 2, 3, 4 s

• Dibujar la trayectoria de la partícula.

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Vector posición, itinerario y trayectoria

• Posición en t 2 s?

Vector posición en t 3 s

• Posición en t 3 s?

• Cuál es la ecuación de la trayectoria?

Si se elimina el parámetro t se obtiene la
ecuación de la trayectoria
Vector posición en t 2 s
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Vectores desplazamiento y Velocidad media
y
Posición inicial
Posición después de un intervalo ?t
Desplazamiento
x
En el ejemplo 1
Velocidad media

• -Cuál es el desplazamiento de la partícula entre
  t 2 s y t 4 s?
• 6i24j m
• Cuál es el vector velocidad media de la
  partícula en ese intervalo?
• 3i12j m/s
• 
  

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Velocidad instantánea
El vector velocidad instantánea es tangente a la
trayectoria.
Nótese que el movimiento en el plano puede
considerarse como la combinación de dos
movimientos ortogonales.
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Volvamos al ejemplo 1
- Cuál es la velocidad instantánea de la
partícula en función del tiempo?
Puesto que
Entonces
- Cuál es la velocidad de la partícula en el
instante t 2 s?
- Cuál es la velocidad de la partícula en el
instante t 3 s?
Representemos estos vectores velocidad en el
gráfico de la trayectoria...
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Vectores velocidad
Velocidad en t 3 s
Componentes
Módulo
Velocidad en t 2 s
Componentes
Módulo
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Aceleración media
En el intervalo ?t hay un cambio de velocidad
Se define la aceleración media como
Como
Por lo tanto el vector aceleración tiene la misma
direccón que el vector ?v.
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Aceleración instantánea
Entonces - Cuál es la aceleración en función
del tiempo?
En el ejemplo 1 teníamos que la posición en
función del tiempo era
La aceleración de la partícula es constante,
apunta en la dirección del eje y y su módulo es 4
m/s2.
Y la velocidad en función del tiempo
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Lanzamiento de un proyectil
y
En todo lanzamiento
vy
vx
en que
voy
?
vox
x
Si consideramos que
Es decir
se obtiene para el itinerario las siguientes
ecuaciones
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Ejemplo 2
Desde el origen se lanza un proyectil con una
velocidad de 76,2 m/s, en una dirección que forma
un ángulo de 66,8 con la horizontal. a)
Determine la máxima altura ym que alcanza el
proyectil.
Las ecuaciones para este movimiento son
en que yo 0, vo 76,2 m/s, ? 66,8
Pero para y máxima vy 0 y, por lo tanto,
y, sustituyendo t en la ecuación para y, se
obtiene
Reemplazando los datos ym 245,3 metros.
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Continuación del ejemplo 2...
b) A qué distancia del origen cae el proyectil?
(Alcance)
La simetría indica que si demora tym en alcanzar
la máxima altura, demora el doble en llegar de
vuelta al suelo. Por lo tanto
y reemplazando en la ecuación para x,
o, lo que es igual
Reemplazando los datos, xm 420,5 metros.
Verifique que el alcance máximo se obtiene para
un ángulo ? 45
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Movimiento circular uniforme
En que
v
P
y
r
?
Se trata de um MCU de un objeto P que se mueve en
dirección contraria a los punteros del reloj.
x
Nótese que
Velocidad angular
Unidades de ? rad/s o s-1
Velocidad
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Tenemos, entonces que
v
P
y
Hagamos el producto punto entre estos dos
vectores. Se obtiene
r
?
x
Es decir, v es perpendicular a r en todo instante.
El módulo de v se obtiene haciendo el producto
punto
Por lo tanto
y si consideramos que
en que T es el período del movimiento, obtenemos
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En resumen Puesto que ? cte.
v
P
y
En un MCU, el itinerario es
r
?
x
y la velocidad en función del tiempo es
Además, se cumple que
en que T es el período del movimiento
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Ejemplo 3.
En una prueba de resistencia, un astronauta está
sentado en una plataforma, a 4 metros del centro
de giro. La plataforma está girando a razón de
media vuelta/segundo.
a) Anote los vectores posición y velocidad del
astronauta en función del tiempo.
pero,
y derivando obtenemos...
en que
b) Anote los valores de la rapidez del
astronauta, su velocidad angular y el período de
giro.
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Aceleración en el movimiento circular uniforme
v
Pero
Por lo tanto
P
y
a
?
x
a -?2 r
Por lo tanto, el vector aceleración tiene
dirección opuesta a r, es decir, apunta siempre
hacia el centro de giro. Se le llama aceleración
centrípeta.
Además se cumplen las siguientes relaciones
en que T es el período del movimiento
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Volvamos al ejemplo 3.
En una prueba de resistencia, un astronauta está
sentado en una plataforma, a 4 metros del centro
de giro. La plataforma está girando a razón de
media vuelta/segundo.
c) Anote los vectores posición, velocidad y
aceleración del astronauta en función del tiempo.
d) Cuánto vale el módulo de la aceleración
centrípeta del astronauta?
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Sigamos con el ejemplo 3...
y
v
e) Anote los vectores posición, velocidad y
aceleración del astronauta en el instante t
0.5 s.
a
r
x
Por lo tanto, en el instante t 0.5 s...
r 4 j (m)
v -12.6 i (m/s)
a -39.5 j (m/s2)
f) Dibuje estos tres vectores.
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y
Movimiento circular no uniforme
r
?
x
Las componentes de la velocidad son
y el módulo de la velocidad es
Derivando se obtienen las componentes de la
aceleración
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Componentes tangencial y normal
Definamos los siguientes vectores unitarios
Vector unitario tangente a la trayectoria.
Vector unitario normal a la trayectoria.
Componente tangencial de la aceleración
Por lo tanto,
Pero,
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Componente normal de la aceleración (Aceleración
centrípeta)
Es decir,
Por lo tanto, el vector aceleración en
componentes tangencial y normal es el siguiente
a
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Ejemplos de aplicación de
1. Movimiento circular uniforme
Puesto que
a
y su módulo es
2. Objeto aumentando su rapidez en una
trayectoria curva.
a
a
a
En que r es el radio de curvatura de la
trayectoria.
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(No Transcript)