Estad

1
EstadísticaMaestría en FinanzasMercado de
Capitales

• Alberto Landro
• Pablo M. Federico

Pablo M. Federico Clase 9
2
Clase 9
1. Modelos AR(1)
2. Procesos AR(1) no estacionarios
3. Modelos AR(2)
4. Modelos MA(1)
5. Modelos MA(2)
6. Estacionariedad e Invertibilidad
Pablo M. Federico Clase 9
3
1. Modelos AR(1)

• Vamos a analizar los procesos autorregresivos,
  que son aquellos procesos estocásticos que en
  mayor medida pueden ser explicados por su propia
  historia.
• Decíamos que un proceso que no tiene memoria
  es un proceso autorregresivo de orden 0.
  Teóricamente nuestro ruido blanco será un proceso
  autorregresivo de orden 0, ya que cada
  observación no estará influida por ninguna
  observación del pasado.
• Un proceso autorregresivo de orden 1, denotado
  por AR(1) viene definido por

Pablo M. Federico Clase 9
4
1. Modelos AR(1)

• En esta ecuación tenemos dos constantes (F y d)
  y et, que es un ruido blanco.
• Si un modelo AR(1) es estacionario, entonces su
  esperanza y su varianza son constantes en el
  tiempo y se tiene que
• a)
• Por lo que
• b)
  Ahora si el proceso AR(1) es
• estacionario, entonces
  y entonces

Pablo M. Federico Clase 9
5
1. Modelos AR(1)

• Esto sólo tendrá sentido cuando la serie
  converja. Y eso sucederá sólo cuando tengamos un
  F que, en módulo, sea menor que uno.
• Sólo entonces podremos decir que el proceso
  AR(1) bajo estudio es estacionario.
• Entonces, la condición necesaria y suficiente
  para que un proceso autorregresivo de orden 1 sea
  estacionario es que
• Sigamos trabajando con la evolución del precio de
  Petrobras. El correlograma para la serie de STATA
  nos arroja el siguiente resultado...

Pablo M. Federico Clase 9
6
1. Modelos AR(1)

• Vemos cómo queda claro, por la FACP, que estamos
  ante un AR(1) cuyo coeficiente F es positivo (y
  menor a uno)...

Pablo M. Federico Clase 9
7
1. Modelos AR(1)

• La regresión del precio de Petrobras contra su
  propio rezago con un período de diferencia tiene
  buenas propiedades
• El comando en STATA es var serie, lag(1)
• En lag podria haber puesto la cantidad que
  quería. Por ejemplo si quería el primer y
  segundo lag tendría que haber escrito lag(1/2)

Pablo M. Federico Clase 9
8
1. Modelos AR(1)

• Aunque el interes se centra generalmente en los
  procesos estocáticos no estacionarios, es util
  analizar algun proceso no estacionario. El
  Random Walk o Caminata Aleatoria es uno
  generalmente estudiado. A menudo se modela el
  precio de las acciones y de tipos de cambio como
  un random walk.
• A continuación vamos a distinguir entre dos
  tipos de caminatas aleatorias sin variaciones
  (es decir sin término constante) y con
  variaciones (con termino constante).

Pablo M. Federico Clase 9
9
2. Procesos AR(1) no estacionarios

• Caminata Aleatoria sin Variaciones
• Supongamos que et es una variación ruido
  blanco. Entonces la serie de Yt es de caminata
  aleatoria si
• Los sostenedores del a hipótesis de Mercado de
  Capitales Eficienes argumentan que el precio de
  las acciones sigue ese proceso estocástico ya que
  el cambio en el precio se deriva de nueva
  información que es por definición impredecible y
  tiene las propiedades de et

Pablo M. Federico Clase 9
10
2. Procesos AR(1) no estacionarios

• Caminata Aleatoria sin Variaciones
• La ecuación anterior se puede escribir de la
  siguiente forma
• O bien, de la siguiente forma

Pablo M. Federico Clase 9
11
2. Procesos AR(1) no estacionarios

• Caminata Aleatoria sin Variaciones
• Por lo tanto, se puede demostrar que
• Este proceso se dice de memoria infinita ya
  que los shocks aletorios sobreviven infinitos
  periodos.
• Es interesante notar que la primer diferencia de
  este proceso si es estacionaria ya que

Pablo M. Federico Clase 9
12
2. Procesos AR(1) no estacionarios

• Caminata Aleatoria con Variaciones
• Supongamos que et es una variación ruido
  blanco. Entonces la serie de Yt es de caminata
  aleatoria con variaciones si
• Donde ? es el parámetro de variación. En la
  formula notamos que ? determina si Yt varia hacia
  arriba o abajo dependiendo de si es positivo o
  negativo.

Pablo M. Federico Clase 9
13
2. Procesos AR(1) no estacionarios

• Caminata Aleatoria con Variaciones
• Ahora se puede demostrar que
• Aca las condiciones de estacionariedad se violan
  también. Ahora no solo la varianza cambia en el
  tiempo sino que la media depende del momento t.

Pablo M. Federico Clase 9
14
2. Procesos AR(1) no estacionarios

• A continuación vamos a construir dos series
  Random Walk, una con variaciones y otro sin.
• Para construir la serie sin variación se utilizó
  la formula correspondiente, se generaron 200
  valores de et y se supuso un Y inicial igual a 0.
• Luego, para generar la serie con variación se
  utilizó la formula correspondiente, se tomaron
  los mismos 200 valores de et , se tomo un d2 y
  también se partió de un Y inicial igual a 0.

Pablo M. Federico Clase 9
15
2. Procesos AR(1) no estacionarios

• Caminata Aleatoria sin variaciones

Pablo M. Federico Clase 9
16
2. Procesos AR(1) no estacionarios

• Caminata Aleatoria con variaciones

Pablo M. Federico Clase 9
17
3. Modelos AR(2)

• Pasemos entonces a los procesos autorregresivos
  de orden 2, que denotamos con AR(2), si responden
  a la siguiente formulación
• En este caso lo que estamos suponiendo es que la
  influencia que puede tener la historia en el
  comportamiento del proceso se resume en su rezago
  de orden 2.
• La FAC de un AR(2) también converge
  exponencialmente a 0.

Pablo M. Federico Clase 9
18
3. Modelos AR(2)

• El último punto a notar es que la FACPk de un
  proceso AR(2) será cero para todo valor de kgt2.
  Por lo que, expandiendo esto a los modelos AR(p)
  en general podremos decir que las FACP para
  órdenes superiores a p serán iguales a 0.
• Las condiciones para que un AR(2) sea
  estacionario, son las siguientes

Pablo M. Federico Clase 9
19
3. Modelos AR(2)

• Corremos una regresión VAR para dos lags de
  Petrobras
• Hay que tener cuidado porque que el coeficiente
  de Lag2 sea significativo no alcanza para afirmar
  que el proceso estocástico AR es de orden dos.
  Ver Autocorrelación Parcial.

Pablo M. Federico Clase 9
20
4. Modelos MA(1)

• Se llama proceso de medias móviles de orden uno
  (MA(1), por moving average), que se denota como
• En esta ecuación tenemos dos constantes (? y d) y
  et, que es un ruido blanco.
• Como primeras propiedades de este proceso se
  tiene inmediatamente que Eyt d y también que Var
  yt (1?2).s2e

Pablo M. Federico Clase 9
21
4. Modelos MA(1)

• En cuanto a la función de autocovarianza tenemos
  que
• ?0 Var yt (1?2).s2e
• ?1 -?.s2e
• ?2 0
• ?k 0
• Por lo que y los ? de orden igual o superior
  a 2 son iguales a 0.
• El proceso de medias móviles (MA) es invertible
  siempre que se cumpla que

Pablo M. Federico Clase 9
22
4. Modelos MA(1)

• El proceso se puede invertir y se puede expresar
  al término de ruido blanco en función de la
  variable y el ruido blanco en el momento anterior
  (proceso de inversión).
• Prolongando esta inversión llegamos a que yt
  puede ser descrito como
• Por lo que la función de autocorrelación parcial
  decae exponencialmente hacia 0.

Pablo M. Federico Clase 9
23
4. Modelos MA(1)

• Si el parámetro ? es negativo, entonces la FACP
  converge a cero exponencialmente alternando en
  signo y empezando por un valor positivo.
• Si en cambio el parámetro ? tiene signo
  positivo, entonces la convergencia va a ser con
  todos los valores de la FACP tomando signo
  negativo.
• Nótese entonces que un proceso MA(1) no puede
  generar nunca una FACP que sea siempre positiva.

Pablo M. Federico Clase 9
24
4. Modelos MA(1)

• Veamos el correlograma de una serie generada
  para ser un MA(1)

Pablo M. Federico Clase 9
25
5. Modelos MA(2)

• Un proceso de medias móviles de orden 2 (MA(2))
  es un proceso estocástico que sigue la ley
• Siguiendo un proceso de inversión similar al que
  hicimos con el proceso MA(1), se puede probar
  fácilmente que la FACP de este proceso puede
  tener diversas formas, dependiendo de los signos
  y los valores relativos de ?1 y ?2. En cambio, la
  función de autocovarianza cumple

Pablo M. Federico Clase 9
26
5. Modelos MA(2)

• De lo anterior se desprende que
• para todo kgt2

Pablo M. Federico Clase 9
27
5. Modelos MA(2)

• Veamos el correlograma de una serie generada
  para ser un MA(2).

Pablo M. Federico Clase 9
28
6. Estacionariedad e Invertibilidad

• Las condiciones de estacionariedad e
  invertibilidad son impuestas respectivamente a
  los procesos AR(p) y MA(q).
• Decíamos que es deseable que un proceso AR(p) sea
  estacionario de modo que se pueda estimar uno y
  sólo un modelo y no uno que contenga infinitos
  parámetros, por ejemplo, por el cambio a cada
  momento del tiempo, de la esperanza del proceso.
• Las condiciones que se imponen a los AR buscan
  evitar que las sumatorias que se desarrollan se
  vuelvan infinitas y no converjan a 0. Los
  procesos AR(p) siempre son invertibles.
• Vimos las condiciones para AR(1)
• y para AR(2)

Pablo M. Federico Clase 9
29
6. Estacionariedad e Invertibilidad

• En el caso de procesos de medias móviles, las
  condiciones similares a las de estacionariedad
  son las de invertibilidad.
• Cuando un proceso MA es invertible, entonces
  dicho proceso admite una representación
  autorregresiva, donde los valores pasados de la
  variable yt reciben una ponderación cada vez
  menor.
• Cuando presentamos los modelos autorregresivos
  supusimos que los procesos bajo estudio eran
  estacionarios. Sin embargo, las series de datos
  económicos que usualmente se analizan se
  caracterizan por ser claramente no estacionarias,
  como ya vimos la clase pasada.
• Cuando esto ocurre, lo usual es que las primeras
  o segundas diferencias de la variable original sí
  sean estacionarias.

Pablo M. Federico Clase 9
30
6. Estacionariedad e Invertibilidad

• Recordamos el caso del precio de una acción

Pablo M. Federico Clase 9
31
6. Estacionariedad e Invertibilidad

• Pero la primer diferencia arroja el siguiente
  correlograma

Pablo M. Federico Clase 9
32
6. Estacionariedad e Invertibilidad

• Por lo tanto, los procesos que pueden
  trasformarse en estacionarios mediante sus
  diferencias de orden d, se conocen como procesos
  integrados de orden d.
• Un proceso integrado de orden 1 es el proceso de
  random walk visto anteriormente, cuya varianza
  era creciente con el tiempo. Sin embargo, su
  primer diferencia correspondía al término et , el
  que si es estacionario o integrado de orden 0.

Pablo M. Federico Clase 9
33
7. Modelos ARMA

• Las representaciones de procesos estocásticas
  vistas hasta aquí pueden ser llamadas formas
  puras. Sin embargo, en el análisis empírico de
  series económicas es muy frecuente encontrar
  representaciones que tienen una componente
  autorregresiva así como una componente de medias
  móviles. Estos modelos se denotan como modelos
  ARMA(p,q) donde p y q denotan las órdenes de los
  componentes autorregresivo y de medias móviles.
• La estructura más sencilla es el ARMA(1,1)

Pablo M. Federico Clase 9
34
7. Modelos ARMA

• La FAC de un proceso ARMA(1,1) comienza del
  valor ?1 que acabamos de mostrar y a partir de
  él, decrece a una tasa F. Es decir, que la FAC
  se comporta a partir de k1 como la FAC de un
  proceso AR(1). Generalizando la FAC de un
  proceso ARMA(p,q) se comporta como la FAC de un
  AR(p) para todo kgtq.
• Esto hace que la identificación no sea tan
  sencilla, ya que la FAC y la FACP de un
  ARMA(p,q) heredan características de sus dos
  componentes.

Pablo M. Federico Clase 9
35
7. Modelos ARMA

• Dado que no hay reglas claras como para la
  identificación de los procesos por separado, lo
  más común es una iteración hasta que se decide
  qué modelo es el que mejor ajusta. Por ejemplo,
  a la hora de definir un proceso ARMA(2,1) se
  comenzará por especificar un AR(2) y luego, al
  comprobar que los residuos siguen una forma MA(1)
  se especificará un ARMA(2,1).

Pablo M. Federico Clase 9
36

• Fin

Me pueden contactar en pablofeder_at_gmail.com Las
presentaciones estan colgadas en www.cema.edu.ar/
u/pmf03
Pablo M. Federico Clase 9