Respuesta en frecuencia

1
Respuesta en frecuencia

2
Caracterización de sistemas

• Sistema combinación de componentes de cualquier
  tipo que actúan conjuntamente y cumplen un
  determinado objetivo

• En instrumentación electrónica

3
Modelos de sistemas

• Modelos matemáticos describen las
  características estáticas y dinámicas de los
  sistemas.
• Modelos matemáticos más usados
• Juego de ecuaciones diferenciales.
• Caracterización en el dominio del tiempo
• Muy usado en sistemas de múltiples entradas y
  salidas
• Función de transferencia
• Caracterización en el dominio de la frecuencia y
  del tiempo
• Usado sobre todo en sistemas de una única entrada
  y salida

Tipos de sistemas

• Sistemas lineales ecuaciones diferenciales del
  modelo lineales
• Sistemas no lineales ecuaciones diferenciales no
  lineales

4
Sistemas lineales

• Sistemas lineales ecuaciones diferenciales del
  modelo lineales

• Ejemplos

• Principio de superposición para sistemas
  lineales la respuesta de un sistema ante la
  aplicación simultánea de dos excitaciones
  independientes es igual a la suma de las
  respuestas al aplicarse cada excitación por
  separado

• Tipos de sistemas lineales
• Invariantes en el tiempo

• Variables en el tiempo

5
Sistemas no lineales

• Sistemas no lineales ecuaciones diferenciales
  del modelo no lineales

• Ejemplos

• No se puede aplicar el principio de superposición

• Ejemplos de sistemas no lineales

6
Transformada de Laplace

• Método operacional que permite resolver
  ecuaciones diferenciales lineales
• Ventajas
• Convierte funciones transcendentes en
  algebraicas
• En circuitos eléctricos, se pueden escribir las
  transformadas directamente la resolución es
  interpretable directamente
• La relación entre función y transformada es
  biyectiva

• VARIABLE COMPLEJA
• Definición una variable compleja es una variable
  con una parte real y otra parte imaginaria.
• Si s es una variable compleja, es de la forma
  ssjw
• Siendo j Unidad imaginaria
• Una función de una variable compleja G(s) tendrá
  también parte real e imaginaria

7
Transformada de Laplace

• Definición
• Si se tiene
• ? f(t) función del tiempo, con f(t)0 para t0
• ? s es una variable compleja
• ? L es un símbolo que índica la transformación
  de Laplace
• ? F(s) es la transformada de Laplace de la
  función f(t)
• Se define la transformación de Laplace como

• Definición Función transferencia o función de
  transferencia de un sistema lineal invariante en
  el tiempo es la relación existente entre la
  transformada de Laplace de la salida (función
  respuesta del sistema) y la transformada de
  Laplace de la entrada (función excitadora) para
  condiciones iniciales nulas

8
Transformada de Laplace

• Forma de trabajar con la transformación de
  Laplace
• 1) Se realiza la transformación directa de las
  variables
• 2) Se resuelve todo con la transformada de
  Laplace, obteniéndose la respuesta, típicamente
  obteniendo la función de transferencia
• 3) Se realiza la antitransformada, o
  transformación inversa
• lo que permite obtener la respuesta temporal

• NOTAS INTERESANTES
• a) La resolución de ecuaciones transformadas sólo
  exige (casi siempre) realizar operaciones
  algebraicas básicas
• b) La función de transferencia permite obtener la
  respuesta ante cualquier excitación, sin más que
  cambiar las condiciones de contorno

9
Transformada de Laplace

• Algunas transformadas de Laplace muy usadas

10
Transformada de Laplace

• Aplicación a circuitos lineales ecuaciones de
  los elementos básicos

11
Transformada de Laplace

• Aplicación a circuitos lineales transformadas de
  las ecuaciones de los elementos básicos con
  condiciones iniciales nulas

12
Transformada de Laplace

• Impedancia compleja, es la relación entre tensión
  y corriente en un elemento lineal

13
Régimen senoidal

• Si todas las excitaciones de un circuito lineal
  son fuentes senoidales, y el circuito trabaja en
  régimen permanente, entonces todas las tensiones
  y corrientes por el mismo son también senoidales,
  de igual frecuencia que las excitaciones. El
  circuito se dice que trabaja en régimen senoidal

• Se demuestra que, cuando un circuito trabaja en
  régimen senoidal, es posible obtener directamente
  la respuesta de un circuito, a partir de la
  función de transferencia expresada para régimen
  senoidal

• La función de transferencia en régimen senoidal
  se puede escribir directamente a partir de la
  función de transferencia de Laplace (F(s))
  reemplazando la variable compleja s por la
  variable compleja jw, donde w es la pulsación de
  la excitación senoidal.
• Ejemplo Si la excitación es uUMAXsen(wt), w
  es la pulsación

14
Régimen senoidal

• Aplicación práctica

• Régimen senoidal x(t)XMAXsen(wt)

• Incluye información de

15
Régimen senoidal

• Aplicación práctica

• Régimen senoidal x(t)XMAXsen(wt)??
  y(t)YMAXsen(wt?)

16
Régimen senoidal

• Aplicación práctica

Entrada x(t)XMAXsen(wt)
Salida y(t)YMAXsen(wt?)
17
Régimen senoidal
Si ?gt0 y(t) en adelanto de fase respecto a x(t)
Si ?lt0 y(t) en retraso de fase respecto a x(t)
18
Régimen senoidal

• Aplicación a circuitos lineales ecuaciones de
  los elementos básicos utilizando la notación
  compleja

Transformada
Ecuación
Resistencia
Bobina
Condensador
Impedancias complejas
19
Desarrollo en serie de Fourier

• Cualquier señal periódica se puede expresar como
  suma de
• Un nivel de continua
• Un conjunto infinito de senoides, cuyas
  frecuencias son múltiplos enteros de la señal
  original y cuya amplitud es variable
• Cada senoide sumada recibe el nombre de armónico
  de orden n, siendo n el múltiplo de la frecuencia
  original para esa senoide

• NOTA Si la señal no es periódica en un intervalo
  de tiempo, se puede convertir fácilmente en
  periódica, por repetición de ese intervalo, por
  lo que, en la práctica, el método se puede
  aplicar a cualquier función.

20
Desarrollo en serie de Fourier

• Definición
• Si f(t) periódica, es decir f0(t) f0(tnT),
  siendo
• T período
• ?

• Teorema de Fourier se puede descomponer?

• Siendo?

21
Desarrollo en serie de Fourier

• Interpretación ejemplo con una señal cuadrada