Nessun titolo diapositiva

1
unité 4
Analyse numérique matricielle
Giansalvo EXIN Cirrincione
2
Matrice symétrique définie positive

• Hermitienne AH A
• Symétrique AT A
• Définie positive

3
Matrice symétrique définie positive

• Hermitienne AH A
• Symétrique AT A
• Définie positive

Exemple
4
Matrice symétrique définie positive

• Hermitienne AH A
• Symétrique AT A
• Définie positive

5
Matrice symétrique définie positive

• Hermitienne AH A
• Symétrique AT A
• Définie positive

6
Propriétés des matrices définies positives
7
Propriétés des matrices définies positives
8
Propriétés des matrices définies positives
Définition une sous matrice principale dune
matrice A est une matrice carrée de la forme
A(1i,1i) quelque soit i
Les n sous-matrices ?k sont définies positives et
donc inversibles.
Théorème de Sylvester Une matrice symétrique
est définie positive ssi chacune de ses sous
matrices principales à un déterminant positif
9
Propriétés des matrices définies positives
Définition une sous matrice principale dune
matrice A est une matrice carrée de la forme
A(1i,1i) quelque soit i
Théorème de Sylvester Une matrice symétrique
est définie positive ssi chacune de ses sous
matrices principales à un déterminant positif
10
Propriétés des matrices définies positives
11
Propriétés des matrices définies positives
12
Propriétés des matrices définies positives
13
Élimination symétrique de Gauss
14
Élimination symétrique de Gauss
15
Factorisation de Cholesky
Si A est une matrice hermitienne définie
positive, il existe une unique factorisation de
Cholesky.
16
Factorisation de Cholesky
17
Stabilité de la factorisation de Cholesky
The stability is achieved without the need for
any pivoting. Intuitively, it is related to the
fact that most of the weight of a hermitian
positive definite matrix is on the diagonal.
18
Factorisation de Cholesky (à partir de Doolittle)
19
Solution de A x b
The solution of hermitian positive definite
systems A x b via Cholesky factorization is
backward stable
20
Projecteurs (projectors)
Un projecteur est une matrice carrée P telle que
P² P (idempotent)
null(P)
21
Projecteurs (projectors)
Un projecteur est une matrice carrée P telle que
P² P (idempotent)
range(I-P)
null(P)
Pv-v
null(I-P)
22
Projecteurs (projectors)
Un projecteur est une matrice carrée P telle que
P² P (idempotent)
range(I-P)
null(P)
Pv-v
null(I-P)
23
Projecteurs (projectors)
Un projecteur est une matrice carrée P telle que
P² P (idempotent)
range(I-P)
null(P)
Pv-v
null(I-P)
P is the projector onto S1 along S2
24
Projecteurs orthogonaux
S1 et S2 sont orthogonaux
Un projecteur P est orthogonal ssi P PH
25
Projecteurs orthogonaux
S1 et S2 sont orthogonaux
Un projecteur P est orthogonal ssi P PH
26
Projecteurs orthogonaux
27
Projecteurs orthogonaux
28
Projection avec une base arbitraire
29
Factorisation QR
Espaces colonnes
30
Factorisation QR
q1
q2

qn

reduced QR factorization
orthonormalisation de Gram-Schmidt
31
Solution de A x b par factorisation QR
Il est si facile de résoudre un système
 triangulaire  !
Q  facilement   inversible et R triangulaire
1. Compute a QR factorization A Q R 2.
Compute y QH b 3. Solve R x y for x
32
Othogonal triangularization (Householder)
33
Othogonal triangularization (Householder)
The matrix Qk is chosen to introduce zeros below
the diagonal in the kth column while preserving
all the zeros previously introduced. It operates
on rows 1, , m.
34
Othogonal triangularization (Householder)
35
Othogonal triangularization (Householder)
36
Othogonal triangularization (Householder)
37
Othogonal triangularization (Householder)
v
38
Othogonal triangularization (Householder)
real case
39
Factorisation QR de Householder
40
(No Transcript)
41
(No Transcript)
42
Stabilité de la factorisation de Householder
twenty digits of accuracy have been lost !
accurate to a full fifteen digits !
The errors in Q2 and R2 are forward errors. In
general, a large forward error can be the result
of an ill-conditioned problem or an unstable
algorithm (here the former). As a rule, the
sequence of column spaces of a random triangular
matrix are exceedingly ill-conditioned as a
function of the entries of the matrix. The error
in Q2 R2 is the backward error or residual.
43
Stabilité de la factorisation de Householder
La factorisation QR de Householder est backward
stable
44
Stabilité de la solution QR de A x b
1. Compute a QR factorization A Q R
2. Compute y QH b
3. Solve R x y for x
45
Stabilité de la solution QR de A x b
46
Stabilité de la solution QR de A x b
47
FINE