Aucun titre de diapositive

1
Pourquoi des théories de Yang-Mills?
Alexandre Guay IHPST 9 février 2006 LPNHE
2
Les quatre théories de jauge fondamentales

• Lélectrodynamique quantique
• La théorie électrofaible
• La chromodynamique quantique
• La relativité générale

3
Attitudes des physiciens envers la symétrie de
jauge
Henneaux et Teiteboim Physical theories of
fundamental significance tend to be
gauge theories. These are theories in which the
physical system being dealt with is described by
more variables than there are physically independe
nt degrees of freedom. The physically
meaningful degrees of freedom then reemerge as
being those invariant under a transformation
connecting variables (gauge transformation). Thus,
one introduces extra variables to make the
description more transparent and brings in at the
same time a gauge symmetry to extract the
physically relevant content.
La symétrie de jauge un outil heuristique?
4
C. Itzykson et J.-B. Zuber Gauge arbitrariness
of electrodynamics may appear sometimes annoying
and sometimes a deep and far-reaching principle.
Ryder Present day theories state that
interactions between fundamental fields (like
electrons, quarks, weak bosons, and so on) are
dictated by a gauge principle. This principle
arises from the requirement that quantities which
are conserved are conserved locally and
not merely globally.
La symétrie de jauge est plus quun outil
heuristique?
5
Plan de lexposé

• Quelques rappels sur les théories YM
• La symétrie de jauge est une symétrie
• formelle
• Raisons pragmatiques en faveur des théories
• de YM.
• Méthodes de quantification
• Mécanique quantique non relativiste
• Réduire lespace de phase (fixer la jauge?)
• Quantification des contraintes à la Dirac
• BRST fonctionnelle de Feynman

6
Symétrie de jauge dans les théories de Yang-Mills
7
Structure partagée par les théories de Yang-Mills

• Qualification élémentaire
• Même structure générale
• terme de matière libre terme de boson libre
• terme dinteraction.
• Le terme de couplage est minimal.

8
La symétrie de jauge est une symétrie formelle
Observation directe

• Une transformation locale des champs de matière
  seuls
• nest pas une transformation de jauge.
• Une transformation locale de jauge na
  potentiellement
• que des effets mesurables indirects.

9
Théorèmes de Noether
Briser la symétrie pourrait causer une perte
dinformation.
10
Largument de jauge
On impose la symétrie locale

La symétrie dicte linteraction?
11

• Pourquoi  localiser  la symétrie?
• Pourquoi un terme dinteraction minimal?
• Pour rétablir la symétrie, il suffit dajouter
  un po-
• tentiel de jauge ayant une courbure nulle.
  Pourquoi
• ajouter une dynamique au potentiel de jauge?

12
Raisons pragmatiques pour adopter le principe de
jauge

• Permet de formuler aisément la théorie sous
  forme
• Lagrangienne ou Hamiltonienne.
• Permet de formuler la théorie sans devoir
  identifier
• les variables physiques.
• Ouvre la porte à de prochaines
  réinterprétations.
• Facilite la construction de modèle avec brisure
• spontanée de la symétrie.

13
Quantification le cas le plus simple particule
chargée en interaction avec un potentiel classique
Quantification par intégrale de chemin
14
Partie invariante de jauge.
Partie dépendante de jauge.
Le changement relatif de phase entre deux chemins
causé par linteraction électromagnétique est
invariant de jauge.
15
Cette modification est compensée par la
transformation locale de la phase de la fonction
donde.
La part invariante de jauge de linteraction est
complètement capturée par les boucles de Wilson.
La liberté de jauge Liberté dans le choix des
potentiels locaux compatibles avec la valeur des
boucles.
16
Le problème de la quantification en théorie des
champs

• - BRST
• Méthode des Hamiltoniens
• contraints de Dirac.

Théorie de Yang-Mills classique
Théorie de Yang-Mills quantique
Théorie de Yang-Mills réduite
Est-ce que ce diagramme commute?
17
Réduction de la théorie classique (fixer la
jauge)
Cela ne fonctionne pas en général car le terme ne
contraint pas le système à se trouver sur une
hypersurface qui ne coupe les orbites de jauge
quune seule fois.
Par exemple, lambiguïté de Gribov met en
évidence limpossibilité de choisir de façon
cohérente une jauge globale pour les théories de
Yang-Mills non abéliennes.
18
Réduction de la théorie classique (approche
géométrique)

• Yang et Mills
• Le système de référence de lisospin doit être
  local.
• 2)  We wish to explore the possibility of
  requiring all
• interactions to be invariant under independent
  rotations of the
• isotopic spin at all space-time points, so that
  the relative
• orientation of the isotopic spin at two
  space-time points
• becomes a physically meaningless quantity (the
• electromagnetic field being neglected). 

Yang et Mills suggèrent que les valeurs locales
des champs ne sont pas physiquement
significatives.
19
Une jauge ne réfère pas à un potentiel
particulier.
20
On représente le champ de matière sur le fibré
associé.
21
Est-ce que les boucles de Wilson sont les bonnes
variables?

• Éléments en faveur des boucles de Wilson
• - Deux situations exhibant les mêmes boucles de
  Wilson ont
• des connexions qui diffèrent au plus dun
  automorphisme
• vertical.
• - On passe naturellement des boucles à la
  connexion à laide
• de la notion de boucle infinitésimal.

22
Les boucles de Wilson ne sont cependant pas
lunique choix de variables indépendantes de
jauge.
23
Quantification à la Dirac
Consiste à promouvoir les contraintes primaires
du système comme des opérateurs sur lespace
dHilbert et à exiger que les vecteurs physiques
soient détruits par ces opérateurs.
Peut engendrer des ambiguïtés de
quantification. La réduction de lespace de phase
et la quantification de Dirac peuvent diverger.
24
Quantification BRST
Revient à imposer une nouvelle symétrie globale
où le paramètre anticommute.
On ajoute un surplus pour se débarrasser dun
surplus.
25
Doù viennent les fantômes?
26
(No Transcript)
27
Quelques conclusions
1) La symétrie de jauge YM est le résultat de
lécriture sous forme locale de variables non
locales. 2) Les théories de Yang-Mills sont la
conséquence de 1 et du besoin dobtenir une
théorie quantifiée.