OS FRACTAIS

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OS FRACTAIS

• Matemática, beleza e aplicações
  A ordem na desordem

Prof. Ilydio Pereira de Sá (USS / UERJ)
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• "A Geometria dos Fractais não é apenas um
  capítulo da Matemática, mas também uma forma de
  ajudar os Homens a verem o mesmo velho Mundo
  diferentemente
• "O mundo que nos cerca é caótico mas podemos
  tentar limitá-lo no computador. A geometria
  fractal é uma imagem muito versátil que nos ajuda
  a lidar com os fenômenos caóticos e
  imprevisíveis."       
•                
• Benoît Mandelbrot

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Nas últimas décadas aconteceram investigações
cujo tema central foi a construção e o estudo de
novos objetos geométricos, denominados FRACTAIS
pelo seu iniciador, Benoit Mandelbrot. Esses
objetos constituem uma imagem de si, própria em
cada uma de suas partes. Segue que suas partes
lhe são semelhantes propriedade conhecida como
auto-similaridade ou auto-semelhança.
A Geometria dos Fractais está intimamente ligada
à uma ciência chamada CAOS. Essa ciência trouxe
consigo o ver ordem e padrões, onde anteriormente
só se observava o irregular, o aleatório, o
imprevisível, digamos mesmo o caótico.
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Entretanto, nota-se que o Caos colocou elos entre
temas não relacionados, justamente pelas suas
irregularidades. Temas como desordem na
atmosfera, turbulência nos fluidos, variação
populacional de espécies, oscilações do coração e
cérebro, interligações microscópicas de vasos
sanguíneos, ramificações alveolares, cotações da
bolsa, forma das nuvens, relâmpagos, aglomerações
estelares etc. foram estudados buscando-se então
ligações entre diferentes tipos de
irregularidades e surpreendentes ordens no caos
foram descobertas.
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A Geometria Euclidiana clássica, com as suas
formas perfeitas e simétricas não foi suficiente
para dar conta dessa complexidade. As ferramentas
da geometria fractal com suas formas foram
elementos insubstituíveis de muitos cientistas,
pois permitiram reformular antigos problemas. Em
particular, os fractais revolucionaram a geração
e a reprodução de imagens. Na constituição de
nosso mundo, da natureza em geral, por mares e
oceanos, separando os continentes e ilhas, com
suas costas, suas montanhas e rios, rochas,
plantas e animais, e acima as nuvens etc., temos
componentes com suas formas nas quais dominam a
irregularidade e o caos tentar simplificá-las,
empregando formas usuais da clássica geometria
euclidiana, como triângulos, círculos, esferas,
cones etc., seria absurdamente inadequado. A
geometria dos fractais pode fornecer aproximações
melhores para essas formas.
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• Benoît Mandelbrot nasceu em Varsóvia (Polônia) em
  1924, a sua família emigrou para França, devido à
  2ª guerra mundial. Tinha um tio, Szolem
  Mandelbrot, que era professor de Matemática no
  Collège de France e era o responsável pela sua
  educação.
• Benoît freqüentou o Lycze Rolin em Paris,
  depois estudou em Lyon, e, mais tarde, foi para
  os Estados Unidos da América. Por fim estudou na
  École Polytechnique e na Sorbonne, em Paris e no
  Instituto Californiano de Tecnologia. A sua
  carreira acadêmica dividiu-se principalmente
  entre França e os EUA.

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• Mandelbrot, começou a ficar insatisfeito em
  relação à Geometria Clássica, uma vez, que ao
  explorar e resolver diversos problemas, os
  pontos, as linhas retas, os círculos, entre
  outros, não demonstraram ser abstrações adequadas
  para compreender a complexidade da natureza.
• A pesquisa de Mandelbrot forneceu teorias
  matemáticas para o fenômeno da probabilidade
  errática e métodos de auto-semelhanças em
  probabilidades. Levou a cabo uma pesquisa sobre
  processos esporádicos, termodinâmica, linguagens
  naturais, astronomia, geomorfologia, gráficos e
  arte com a ajuda do computador e criou e
  desenvolveu a geometria fractal.

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• Este prodigioso e ilustre matemático
  contemporâneo, é conhecido mundialmente como
  sendo o único responsável pelo enorme interesse
  nos chamados objetos fractais. Hoje em dia a sua
  geometria é conhecida através de bonitas gravuras
  coloridas que, enriqueceram tanto a matemática
  moderna como a arte e cujas aplicações já se
  estendem aos mais distintos ramos da ciência.

Nuvens não são esferas,montanhas não são
círculos, um latido não é contínuo e nem o raio
viaja em linha reta Benoit Mandelbrot
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O que são os fractais?

• Nos últimos anos, diferentes definições de
  fractais têm surgido. No entanto, a noção que
  serviu de fio condutor a todas as definições foi
  introduzida por Mandelbrot através do neologismo
  "Fractal", que surgiu do latino fractus, que
  significa irregular ou quebrado.
• Os fractais são formas geométricas abstratas de
  uma beleza incrível, com padrões complexos que se
  repetem infinitamente, mesmo limitados a uma área
  finita. Mandelbrot, constatou ainda que todas
  estas formas e padrões, possuíam algumas
  características comuns e que havia uma curiosa e
  interessante relação entre estes objetos e
  aqueles encontrados na natureza.

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Um fractal é gerado a partir de uma fórmula
matemática, muitas vezes simples, mas que
aplicada de forma iterativa, produz resultados
fascinantes e impressionantes.
Além de se apresentarem como formas geométricas,
os fractais representam funções reais ou
complexas e apresentam determinadas
características auto-semelhança, a
dimensionalidade e a complexidade infinita.
Uma figura é auto-semelhante se cada parte dela é
semelhante a toda a figura, ou seja, é uma forma
irregular que pode ser subdividida em partes, e
cada parte será uma cópia reduzida da forma toda.
Podemos ainda dizer que os fractais são figuras
geradas por processos iterativos infinitos
providos, entre outras coisas, de rotações,
translações e semelhanças de figuras geométricas.
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AUTO-SEMELHANÇA
Cada porção pequena do fractal pode ser vista
como uma réplica reduzida do todo.
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Gerando Fractais

• Sucessivas iterações de uma função sobre cada
  ponto.

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Dimensão Fractal dos Sistemas Auto-Semelhantes
Os fractais são caracterizados em termos de sua
dimensão, ou seja, de sua complexidade. As
dimensões fractais apresentam valores quebrados,
entre os valores das dimensões Euclidianas.
Consideremos o seguinte fractal  
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Construção
Substitui o segmento original por três
segmentos com metade do comprimento anterior .
 
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Construção
Substitui o segmento original por três
segmentos com metade do comprimento anterior .
 
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Construção
Substitui o segmento original por três
segmentos com metade do comprimento anterior .
 
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Construção
Substitui o segmento original por três
segmentos com metade do comprimento anterior .
 
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Cálculo da Dimensão fractal
A cada geração substituímos um segmento por N
segmentos de tamanho L.
No nosso exemplo, cada segmento é sempre
substituído por 3 segmentos de tamanho ½, logo, a
dimensão desse fractal será
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DIMENSÃO FRACTAL OUTROS EXEMPLOS
Curva de Koch
Cada segmento é substituído por 4 segmentos de
tamanho 1/3
Triângulo de Sierpinsky
Cada triângulo é substituído por 3 triângulos de
tamanho 1/4
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EXEMPLO DE GERAÇÃO DE UM FRACTAL O FLOCO DE
NEVE DE KOCH
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SUGESTÃO PARA SALA DE AULA INVESTIGANDO O
TRIÂNGULO DE SIERPINSKY COM O GEOPLANO
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ATIVIDADE O TRIÂNGULO DE SIERPINSKY

• Supondo que a área do triângulo inicial é 1
  unidade, prove que, à medida o número de
  transformações aumenta, a área do triângulo de
  Sierpinsky tende para 0.
• 2) Exprima, em função da iteração (n), a área An
  do menor triângulo colorido da iteração n da
  construção do triângulo de Sierpinsky.
• 3) Mostre que, apesar da área do triângulo de
  Sierpinsky tender para 0, o perímetro total dos
  triângulos tende para ? .

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SOLUÇÃO
Área  total dos buracos 0  Área  total do
triângulo de Sierpinski 1
Número de novos buracos 1 Área de cada novo
buraco ¼ Área total dos novos buracos 1 x  ¼ 
¼ Área total  dos buracos ¼ Área total do
triângulo de Sierpinski 1- ¼
Número de novos buracos 3 Área de cada novo
buraco 1/16 Área total dos novos buracos 3 x
1/16 3/16 Área total  dos buracos 1/4
3/16 Área total do triângulo de Sierpinski 1 -
1/4 - 3/16
Número de novos buracos 9 Área de cada novo
buraco 1/64 Área total dos novos buracos 9 x
1/64 9/64 Área total  dos buracos 1/4 3/16
9/64 Área total do triângulo de Sierpinski 1 -
1/4 - 3/16 - 9/64
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1) Portanto a área dos buracos é assim dada por
 
PG, ilimitada, de razão igual a ¾  
Calculando-se o limite dessa soma, quando o
número de parcelas tende ao infinito, teremos  
A área dos buracos tende de fato para 1 . Tendo
em conta que Área do triângulo  de Sierpinsky
1 - Área dos buracos, conclui-se que a área do
triângulo  de Sierpinsky tende para zero.    
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2) Facilmente se observa que a área do menor
triângulo colorido é igual à área do menor buraco
da iteração n, portanto, pelo que vimos
anteriormente, a área do menor triângulo colorido
da iteração n é (1/4)n
3) Se chamarmos o perímetro do primeiro triângulo
de 3 L, teremos que na primeira interação, o
perímetro passará a ser igual a (3 L L/2 L/2
L/2 4,5 L ou 3L x 1,5. Analogamente, na
segunda interação, teremos que o perímetro será
igual ao anterior (4,5 L) 3 x (L/4 L/4 L/4)
4,5 L 9L/4 27L/4 6,75 L. Acontece que
6,75 L é igual a 4,5 L (perímetro anterior)
multiplicado por 1,5. ... Logo ...
Conclusão temos que a seqüência dos perímetros é
também uma PG, só que crescente (razão 1,5) e
que, quando n tender ao infinito, o perímetro
(1,5)n - 1 x 3L, tenderá também a infinito.
Essa atividade nos mostra uma propriedade
importante que ocorre nos fractais Uma curva com
perímetro tendendo ao infinito, mas com área
finita.
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EXEMPLOS DE FRACTAIS ANIMADOS
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APLICAÇÕES DOS FRACTAIS

• Nos últimos 20 anos, a geometria fractal e seus
  conceitos têm se tornado uma ferramenta central
  em muitas ciências, como geologia, medicina,
  meteorologia, entre outros.
• Ao mesmo tempo, fractais são do interesse de
  designers gráficos e cineastas pela sua
  habilidade de criar formas novas e mundos
  artificiais mais realistas.
• Na Computação Gráfica, fractais, entre outras
  coisas, são utilizados para representar elementos
  da Natureza como crateras, planetas, costas,
  superfícies lunares, plantas, ondulações em
  águas, representação de nuvens também são de
  grande importância para a criação de efeitos
  especiais em filmes, como por exemplo a criação
  do planeta Gênesis no filme Jornada nas Estrelas
  2.

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Os fractais auxiliam na criação de novas formas
e mundos artificiais mais realistas, e na
representação de elementos da natureza que a
geometria tradicional não pode representar.
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A geometria fractal ajuda a aproximar as
ciências naturais e a computação da pesquisa
matemática, e é utilizada como instrumento
principal em várias ciências Na biologia -
Estudo da influência da superfície irregular das
proteínas nas iterações moleculares Na
geografia - A descrição e caracterização de
falhas sísmicas e, por conseguinte, terremotos
são obtidos através do estudo de sua estrutura
fractal. Além de terremotos, outros fenômenos
geológicos podem ser estudados como, por exemplo,
a dinâmica dos vulcões. Os fractais ainda podem
ser usados na criação de modelos de crescimento
demográficos. Na computação - Geração de
terrenos e atmosfera com modeladores gráficos
criação de softwares de compactação de imagens
(zipadores) criptografia, codificação e
decodificação de áudio e vídeo.
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Hoje em dia a compactação fractal de imagens
disputa a preferência das empresas através do
processo JPEG, uma das mais usadas atualmente. A
compressão fractal de imagens vai ganhando espaço
(a Microsoft, por exemplo, adotou esse método na
sua enciclopédia Encarta).
Na Medicina - Várias patologias cardíacas nada
mais são que a falta de regularidade nas batidas
do coração. Taquicardia e fibrilação, entre elas.
Pesquisadores têm estudado a dinâmica do coração,
bem como condições de suspensão e indução da
fibrilação. Isto tem permitido a criação de
equipamentos desfibriladores mais eficientes.
O câncer ainda é uma moléstia a ser vencida. Além
de novas terapias, os cientistas estudam novas
formas de diagnóstico para que a identificação de
tumores seja precisa e cada vez mais prematura.
Uma das diferenças entre células sadias e doentes
está nos diferentes padrões de crescimento de
cada tipo. O exame destes padrões, utilizando
recursos de geometria fractal, pode ser a chave
para a criação de um sistema de detecção do
câncer por computador (Ciência Hoje, ago. 1998).
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(No Transcript)
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• Conexões com várias ciências e com situações do
  cotidiano.
• Deficiências da Geometria Euclidiana para o
  estudo de formas da natureza. Os objetos naturais
  são com freqüência mais complicados e exigem uma
  geometria mais rica, que os modela com fractais.
  
• Difusão e acesso aos computadores e a tecnologias
  da informática nos vários níveis de
  escolarização
• Existência do belo nos fractais e possibilidade
  do despertar e desenvolver o senso estético com o
  estudo e arte aplicada à construção de fractais,
  entendendo-se arte como toda ação que envolve
  simultaneamente emoção, habilidade e
  criatividade
• Sensação de surpresa diante da ordem na desordem.
• Possibilitar momentos de investigação e
  envolvimento na elaboração de conjecturas e
  aprendizagens significativas.

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AMPLIANDO OS CONHECIMENTOS
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REFERÊNCIAS BARBOSA, R M, Descobrindo a
Geometria Fractal. Autência Editora, BH
2002. MANDELBROT, B Objetos Fractais. Coleção
Ciência Aberta, Gradiva, 1992. Site
http//www.caa.uff.br/aconci/Fractais.html Site
http//www.inf.ufsc.br/visao/fractais.html Site
www.apm.pt/mt/jogos/fractal/
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ANEXO ALGUNS FRACTAIS NATURAIS
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ANEXO ALGUNS FRACTAIS CONSTRUÍDOS