Analisa Numerik

1
Analisa Numerik

• Sistem Persamaan Linear 2

2
Overview

• Sistem segitiga atas
• u1,1x1 u1,n-1xn-1 u1,nxn b1
• ...
• un-1,n-1xn-1 un-1,nxn bn-1
• un,nxn bn
• Sistem segitiga bawah
• l1,1x1 b1
• l2,1x1 l2,2x2 b2
• ln,1x1 ln,2x2 ln,nxn bn

Solusi (back substitution) banyak pembagian
n banyak penjumlahan, perkalian
Solusi (forward substitution) banyak
pembagian n banyak penjumlahan, perkalian
3
Eliminasi Gauss

• Algoritma Eliminasi Gauss
• k 1, 2, , n-1
• i k1, , n i k1, , min(kLR, n)
• mik aik(k) / akk(k)
• j k1, , n, , np j k1, ,
  min(kLC, n)
• aij(k1) aij(k) - mikakj(k)
• LR lebar below diagonal LC lebar upper
  diagonal.
• Algoritma ini (pakai p) kalau kita punya
• Jumlah pembagian
• Jumlah perkalian penjumlahan
• Utk.mencari solusi, jumlah operasi
• jumlah
  operasi back substitution

banded
4
Dekomposisi LU

• Dekomposisi A menjadi LU (A LU)
• Dlm. banyak pemakaian eliminasi Gauss, b1, , bp
  belum tersedia (ada) pada saat eliminasi
  dilakukan.
• Jk. b1, , bp sudah ada, mk. utk. mencari solusi,
  lakukan
• Ax LUx b
• Misalkan Ux y, Ly b
• Jd. kalau L dan U sudah diketahui, mk. hanya
  perlu
• operasi
• Di matlab
• L, U, P LU(A) PA LU
• Jk. tidak ada perubahan (no pivoting),
  P I

5
Mencari LU

• Dng. eliminasi Gauss
• Dng. metode Doolittle
• for k 1, , n-1
• mkk 1
• for j k, k1, , n
• end for
• for i k1, , n
• end for
• end for

(Hasilnya sama dng. L,U hasil eliminasi Gauss)
6
Mencari LU

• Dng. eliminasi Gauss
• ukk 1, k 1, 2, , n
• for k 1, , n-1
• Metode Choleski (akar kuadrat).
• Utk. matriks simetris positive definite
  (diagonal dominan).
• for k 1, , n-1
• end for
• di mana U LT

Strategi pem-pivot-an parsial dilakukan pd.
setiap k (kalau diperlukan).
7
Contoh Mencari LU

• Contoh
• Dng. eliminasi Gauss

8
Invers

• Mencari invers
• Utk. mendapatkan taksiran kesalahan yg. baik.
• Hanya dipakai pd. aplikasi tertentu spt. analisa
  regresi.
• Jarang dipakai orang utk. mencari jawaban Ax b.
• Membutuhkan 4n3/3, jk. dipakai cara AX I
• Jk. terpaksa harus mencari invers
• Pakai A LU, perlu operasi.
• Pakai A-1 (LU)-1 U-1L-1.
• Cari L-1 dng. Cari U-1 dng.
• Lalu perkalian A-1 U-1L-1 perlu
• Total operasi n3