Bucles Algebraicos y Singularidades Estructural

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Bucles Algebraicos y Singularidades Estructural

• El algoritmo de la ordenación de ecuaciones
  desafortunadamente no funciona siempre. Todos los
  ejemplos demostrados hasta ahora se seleccionaron
  con la meta de escoger estos problemas.
• En esa presentación generalizaremos los
  algoritmos a sistemas que contienen bucles
  algebraicos y/o estructuras singulares.

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Contenido

• Bucles algebraicos
• El diagrama de la estructura
• Singularidades estructurales
• La diferenciación simbólica

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Bucles Algebraicos Un Ejemplo
Ecuaciones de los elementos U0 f(t) u3 R3
i3 u1 R1 i1 uL L diL/dt u2 R2
i2 Ecuaciones de nodos i0 i1 iL i1 i2
i3 Ecuaciones de mallas U0 u1 u3 uL u1
u2 u3 u2
El circuito contiene 5 elementos ?
Se piden 10 ecuaciones en 10 incógnitas
4
Ordenación Horizontal I
1.
2.
4.
3.
5
Ordenación Horizontal II
De las seis ecuaciones todavía no causales (es
decir, las ecuaciones que no contienen ninguna
variable roja), cada una contiene al menos dos
incógnitas. Además cada una de las incógnitas
aparece en al menos dos de las ecuaciones no
causales.
?
Una tal situación indica la presencia de bucles
algebraicos.
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Bucles Algebraicos I
Seleccionamos una incógnita de una de las
ecuaciones, por ejemplo variable i1 de la
ecuación 4. Pretendemos que esa variable esté
conocida y continuamos como antes.
2.
1.
3.
4.
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Bucles Algebraicos II
Diagrama estructural
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Solución de Bucles Algebraicos I
?
i1 i2 i3 u2 / R2 u3 / R3 u3 /
R2 u3 / R3 ((R2 R3 ) / (R2 R3 ))
u3 ((R2 R3 ) / (R2 R3 )) (U0 - u1 )
((R2 R3 ) / (R2 R3 )) (U0 - R1 i1 )
?
9
Solución de Bucles Algebraicos II
?
El bucle algebraico entre tanto desapareció y
podemos continuar con la ordenación de ecuaciones
como antes.
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Ordenación Horizontal III
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Múltiples Bucles Algebraicos Acoplados
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Singularidades Estructurales Un Ejemplo
El sistema mixto de traslado y giro contiene tres
cuerpos las inercias J1 y J2 y la masa m. Por
consecuencia se espera que se trata de un sistema
del orden 6.
3 cuerpos ? 6 ecuaciones diferentiales 3
ecuaciones algebraicas (dAlembert) 3 rozamientos
? 3 ecuaciones algebraicas (fuerzas de
rozamiento) 2 muelles ? 2 ecuaciones algebraicas
(fuerzas de muelle) 1 engranaje ? 2 ecuaciones
algebraicas (transmisión)
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Modelado del Engranaje
Cortamos a través del engranaje. El efecto del
otro cuerpo se remplaza por una fuerza de corte.
?
El par de torsión t es proporcional a la fuerza
del corte F, y el desplazamiento x es
proporcional al ángulo ?.
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Cortando el Sistema
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Ordenación Horizontal I
Idea Si una ecuación es válida siempre,
cada derivada de esa ecuación debe ser válida
también.
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Diferenciación I
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Diferenciación II
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Ordenación Horizontal II
?
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Ordenación Horizontal III
Se quedan 6 ecuaciones en 6 incógnitas.
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Bucle Algebraico
?
21
Ordenación Horizontal IV
?
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Solución del Bucle Algebraico I
tT2 / J2
(tB1 - tk1 - tG ) / J2
(tB1 - tk1 ) / J2 - tG /J2
(tB1 - tk1 ) / J2 - (r /J2 ) FG
(tB1 - tk1 ) / J2 - (r /J2 ) (FI Fk2 FB2
mg)
(tB1 - tk1 ) / J2 - (r /J2 ) (Fk2 FB2
mg) - (r /J2 ) FI
(tB1 - tk1 ) / J2 - (r /J2 ) (Fk2 FB2
mg) - (mr /J2 ) dv/dt
(tB1 - tk1 ) / J2 - (r /J2 ) (Fk2 FB2
mg) - (mr2 /J2 ) d?2 /dt
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Solución del Bucle Algebraico II
tT1 t (t) - tB1 - tB3 tT2 tB1 - tk1 - tG FG
FI Fk2 FB2 m g
tG r FG
dv
d?2
r
dt
dt
tB1 B1 (?1 ?2 ) tB3 B3 ?1 FB2 B2
v tk1 k1 ?2 Fk2 k2 x
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Comentarios

• El problema de la singularidad estructural
  ocurrió porque la masa m y la inercia J2 no
  pueden moverse independientemente una de otra.
• Por esa razón era posible de describir el sistema
  por 4 ecuaciones diferenciales solamente.
• La solución propuesta no explota esa posible
  simplificación directamente.
• Se presentará una solución mejorada dentro de
  poco.

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Referencias

• Cellier, F.E. and H. Elmqvist (1993), Automated
  formula manipulation supports object-oriented
  continuous-system modeling, IEEE Control
  Systems, 13(2), pp. 28-38.