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KRIGING CON TENDENCIA
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Un especto fundamental en la teoría de kriging
estudiada es la estacionaridad débil o de orden 2.
A continuación estudiaremos algunas técnicas
propuestas para obtener estimaciones cuando no se
cumple la estacionaridad. Es decir, cuando
Entre estas están
Kriging Universal
Kriging con deriva externa (external drift)
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UK
KRIGING UNIVERSAL
El kriging universal asume que la función
aleatoria Z se puede descomponer en la forma
Donde R es una función aleatoria estacionaria de
orden 2 con E(R(u))0 y m es una función no
aleatoria dependiente de la localización u.Bajo
estas hipótesis se tiene que
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UK


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Si se asume la descomposición anterior se
presentan 2 casos
1) La función de tendencia m es conocida en cada
punto u del mallado o espacio donde se quiere
estimar la propiedad.
2) La función de tendencia m no es conocida y
hay que proceder a estimarla a partir de los
datos.
Es importante observar que en cualesquiera de los
casos se asume que
es una función aleatoria estacionaria de orden 2
con media cero y por lo tanto se pueden utilizar
las técnicas de kriging estudiadas anteriormente.
Los valores R(u) se denominan los valores
residuales.
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Caso 1
Como la función de tendencia es conocida entonces
se puede calcular
Luego, se pueden estimar los residuales
utilizando kriging simple y obtener como
estimación de la propiedad
Es importante observar que la estimación se
realiza utilizando los residuales y no los
valores originales de la propiedad. Así por
ejemplo, el cálculo del variograma se debe hacer
utilizando los residuales.
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Caso 1
Pasos para la estimación

• Conocer la función de tendencia en cada uno de
  los puntos del mallado o espacio donde se quiere
  estimar

• Calcular en cada punto donde se tiene informacion
  el valor de los residuales

• Validar la hipótesis de estacionaridad de la
  función residual. Si esta se cumple, realizar la
  estimación de la función residual mediante
  kriging simple.

• Obtener la estimación de la propiedad como

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(No Transcript)
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Caso 2
Cuando la función de tendencia es desconocida, es
usual asumir que esta se puede escribir como
Donde las funciones f son conocidas, llamadas
funciones de base, y los parámetros a son
desconocidos, lo cual hace que la función de
tendencia sea desconocida.
Las funciones de base deben ser escogidas según
la naturaleza del problema y no arbitrariamente.
La idea ahora es proceder como en el kriging
ordinario. Es decir, imponer condiciones para
filtrar el valor desconocido de la media.
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El estimador que se propone es
y por lo tanto
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En cuanto a la varianza del error hay que
observar primero que
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Para incluir las restricciones se consideran L1
parámetros de Lagrange
Y la función a minimizar es
Para ello se deriva la función respecto a cada
uno de los parámetros y se igualan a cero cada
una de estas derivadas
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(No Transcript)
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Cómo se obtienen los residuales para el cálculo
de la covarianza si se desconoce la media ?
En general, la respuesta no es sencilla. Debido a
este tipo de inconveniente, producto de la
descomposición asumida, Matheron desarrolló la
teoría de funciones aleatorias intrínsecas de
orden k y covarianzas generalizadas.
Según las condiciones del problema pudieran
existir regiones en las cuales la tendencia no
influye. En este caso, se puede utilizar
directamente la información de la variable Z para
inferir la función de covarianza de los
residuales.
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Cuando una de las variables es precisa pero poco
muestreada (tope medido en los pozos) y la otra
es más imprecisa pero densamente muestreada
(sísmica) es de interés poder utilizar ambas
fuentes de información para el estudio del
fenómeno en cuestión.
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Información directa Información de pozos.
Alta resolución vertical
Baja resolución areal
Información indirecta Información sísmica
Baja resolución vertical
Alta resolución areal
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(No Transcript)
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Por lo tanto, el sistema de ecuaciones a resolver
es
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Es importante considerar que
1) Si la función S no varía suave el sistema de
ecuaciones puede ser inestable.
2) Las estimaciones realizadas utilizando kriging
con deriva externa producen resultados que
reflejan la tendencia dada por la función S. Esto
es producto de la decisión de asumir que
E(Z(u))abS(u) y no demuestra que los datos
siguen la tendencia obtenida.
3) Es necesario conocer el valor de S en todos
los puntos donde se tiene información y en todos
los puntos donde se requiere realizar la
estimación.
4) Como generalmente el método se aplica
utilizando una vecindad móvil, una notación mas
adecuada de la relación entre la variable
primaria y la variable secundaria sería
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Esto permite estimar el parámetro b en cada punto
u y medir la influencia de la variable de
tendencia en dicho punto. Esto se logra
resolviendo básicamente el mismo sistema de
ecuaciones
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En el caso general, es decir, cuando se asume que
Se procede como antes pero incorporando k1
parámetros de Lagrange al sistema de ecuaciones.
De esta forma, el sistema de ecuaciones sería
Y la forma matricial es idéntica a la obtenida
para el kriging universal considerando las
funciones S en lugar de las f
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La estimación de cada uno de los parámetros b en
el punto u se obtiene también como antes.Por
ejemplo, el sistema a resolver para estimar
es
Donde
(Función Delta de Kronecker)