A1263203596gQNKX

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Vander Pol

• On demande de vérifier
• que le point d'équilibre est un point d'équilibre
  instable pour 0 lt a
• que le point d'équilibre est un point d'équilibre
  stable pour a lt 0
• Que se passe-t-il pour a0 ?
• But Etdier un système plan autonome mais non
  linéaire par opposition aux systèmes plans
  autonomes et linéaires. non linéarité ? les
  cycles limites.

Rappel qu'est-ce qu'un terme non linéaire ? La
non linéarité est la superposition de facteurs ou
d'effets elle se traduit donc par des termes
comme x2, a xy, b yz Où x, y et z sont des
variables et m et b des paramètres. La non
linéarité est une condition nécessaire mais non
suffisante au chaos (voir plus loin).
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Solution
Vérifier que le point d'équilibre est un point
d'équilibre instable pour 0lta
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RESULTAT
cycle limite stable.
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cycle limite stable.
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• Justification physique de l'existence des cycles
  dans l'espace des phases à deux dimensions
• Cycles limites, des cols, foyers et centres d'un
  mouvement (appelons-les les points singuliers
  d'un système) ? caractérisation complète et
  qualitative d un mouvement.
• Cas d un poitn singulier stable (stabilité
  asymptotique) les trajectoires proches d un
  point singulier convergent vers ce point, soit
  de façon directe si c'est un noeud, soit en
  spirale si c'est un foyer (état stationnaire).
  Ce sont les régimes stationnaires.
• Cas d un point singulier instable toutes les
  trajectoires proches de ce point s'écartent
  de celui-ci. Où aboutissent-elles ?
• Elles peuvent par exemple tendre vers un
  autre point singulier (situation qualitativement
  non différente).
• Elles peuvent s éloigner vers l'infini,
  notamment parce que le système ne possède pas
  d'autre point singulier. (ex systèmes
  explosifs)
• Elles atteignent des cycles limites , seule
  troisième voie topologiquement acceptable - les
  courbes ne peuvent avoir d intersection)

Un cycle limite solution temporellement
périodique qui est indépendante des conditions
initiales et qui possède une fréquence
intrinsèque au système indépendant des
conditions initiales
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RESULTAT
cycle limite instable.
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RESULTAT
Point initial à l'extérieur du cycle limite ? le
cycle limite instable repousse la trajectoire
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RESULTAT
Disparition du cycle limite.