Mise en correspondance de graphes

1
Mise en correspondance de graphes
2
Sommaire
Isomorphisme exact Isomorphisme inexact Étude
dalgorithmes

• Isomorphisme exact
• Graphes
• Sous-graphes
• Isomorphisme inexact
• Heuristique
• Relaxation probabiliste
• Etude dalgorithmes
• Dinitz, Itai et Rodeh (isomorphisme de
  sous-arbres), 99
• Peura (heuristique - isomorphisme inexact de
  sous-graphe), 99

3
Isomorphisme exact de graphes (GI)
Isomorphisme exact Isomorphisme inexact Étude
dalgorithmes
Isomorphisme de graphe Isomorphisme de
sous-graphes

• Formalisation
• Graphes G1(V1,E1) et G2(V2,E2)
• Il existe une bijection f V1 ? V2
• ?a,b ? V1 ,
• (a,b) ? E1 ? (f(a),f(b)) ? E2
• Complexité
• Problème NP-difficile en général
• (GI ? NP, GI ? P,
  GI ? NP-complet)
• Pour certaines classes de graphes, GI ? P
  (algorithme polynomial)

?
?
4
Isomorphisme de graphe Isomorphisme de
sous-graphes
Isomorphisme exact Isomorphisme inexact Étude
dalgorithmes
5
Isomorphisme de graphe Isomorphisme de
sous-graphes
Isomorphisme exact Isomorphisme inexact Étude
dalgorithmes

• Deux approches
• Tenter de trouver directement un isomorphisme
• Idée construire un isomorphisme de G1(k) vers
  un sous-graphe de G2 et essayer détendre
  lisomorphisme à G1(k1) en ajoutant un nud
  inutilisé de G2
• Calculer une étiquette canonique C(G) pour chaque
  graphe
• C(G) C(H) ? G et H isomorphes

6
Isomorphisme de graphe Isomorphisme de
sous-graphes
Isomorphisme exact Isomorphisme inexact Étude
dalgorithmes

• Invariants de noeuds
• Utilisés dans la plupart des techniques
• Nombre i(v) associé à un nud tel que si il
  existe un isomorphisme qui  mappe  v et v on a
  
• i(v) i(v)
• degré 
• twopaths nuds à distance 2 de v
• k-cliques cliques différentes de taille k qui
  contiennent v
• independant k-sets ensembles indépendants de
  taille k qui contiennent v
• distances nuds à chaque distance 1,,n de v
• Coût élevé (sauf degré) résoudre isomorphisme
  souvent plus rapide que le calcul de tous les
  invariants

7
Isomorphisme de graphe Isomorphisme de
sous-graphes
Isomorphisme exact Isomorphisme inexact Étude
dalgorithmes

• Résoudre directement
• Calculer linvariant pour chaque nud de G1 et G2
• Si les vecteurs triés inv1 ? inv2 ? pas
  disomorphisme

8
Isomorphisme de graphe Isomorphisme de
sous-graphes
Isomorphisme exact Isomorphisme inexact Étude
dalgorithmes

• Résoudre directement
• Calculer linvariant pour chaque nud de G1 et G2
• Si les vecteurs triés inv1 ? inv2 ? pas
  disomorphisme
• Sinon trier les nuds selon linvariant et
  exécuter la procédure récursive
• Isomorphe (ensemble S, entier k, tab f) booléen
• Si k n1 alors retourner vrai
• Pour j ? V2 / S
• si inv1 (k) inv2(j) ET matchPossible (k,j,f)
  
• fk ? j
• si Isomorphe (S ? j, k1, f) retourner vrai
• retourner faux

9
Isomorphisme de graphe Isomorphisme de
sous-graphes
Isomorphisme exact Isomorphisme inexact Étude
dalgorithmes

• Etiquetage canonique
• Exemple 1
• Calcul de tous les automorphismes du graphe
• Étiquette canonique  plus petit 
  automorphisme du graphe G.

b
a
b
c
a
0
1
0
b
0
1
1
a
c
c
0
0
1
10
Isomorphisme de graphe Isomorphisme de
sous-graphes
Isomorphisme exact Isomorphisme inexact Étude
dalgorithmes

• Etiquetage canonique
• Exemple 1
• Calcul de tous les automorphismes du graphe
• Étiquette canonique  plus petit 
  automorphisme du graphe G.

b
a
b
c
c
a
b
a
0
1
0
c
0
0
1
b
0
1
1
a
0
0
1
a
c
c
0
0
1
b
1
0
1
11
Isomorphisme de graphe Isomorphisme de
sous-graphes
Isomorphisme exact Isomorphisme inexact Étude
dalgorithmes

• Etiquetage canonique
• Exemple 1
• Calcul de tous les automorphismes du graphe
• Étiquette canonique  plus petit 
  automorphisme du graphe G.

Automorphisme c?a, a ?b, b ?c
b
a
b
c
c
a
b
a
c
b
a
0
1
0
c
0
0
1
a
0
0
1
b
0
1
1
a
0
0
1
c
0
0
1
a
c
c
0
0
1
b
1
0
1
b
1
0
1
C(G) 001001110
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Isomorphisme de graphe Isomorphisme de
sous-graphes
Isomorphisme exact Isomorphisme inexact Étude
dalgorithmes

• Etiquetage canonique
• Exemple 1
• Calcul de tous les automorphismes du graphe
• Étiquette canonique  plus petit 
  automorphisme du graphe G.
• Recherche automorphisme ? recherche isomorphisme

Automorphisme c?a, a ?b, b ?c
b
a
b
c
c
a
b
a
c
b
a
0
1
0
c
0
0
1
a
0
0
1
b
0
1
1
a
0
0
1
c
0
0
1
a
c
c
0
0
1
b
1
0
1
b
1
0
1
C(G) 001001110
13
Isomorphisme de graphe Isomorphisme de
sous-graphes
Isomorphisme exact Isomorphisme inexact Étude
dalgorithmes

• Etiquetage canonique
• Exemple 2
• Étiquette canonique la permutation de nuds
  qui donne la matrice dadjacence minimale

a
b
c
d
b
a
0
1
0
0
d
b
0
1
1
1
a
c
c
0
0
1
1
d
0
1
1
0
14
Isomorphisme de graphe Isomorphisme de
sous-graphes
Isomorphisme exact Isomorphisme inexact Étude
dalgorithmes

• Etiquetage canonique
• Exemple 2
• Étiquette canonique la permutation de nuds
  qui donne la matrice dadjacence minimale
• Partition des nuds selon linvariant

a
b
c
d
b
a
0
1
0
0
d
b
0
1
1
1
a
c
c
0
0
1
1
d
0
1
1
0
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Isomorphisme de graphe Isomorphisme de
sous-graphes
Isomorphisme exact Isomorphisme inexact Étude
dalgorithmes

• Etiquetage canonique
• Exemple 2
• Étiquette canonique la permutation de nuds
  qui donne la matrice dadjacence minimale
• Partition des nuds selon linvariant
• Permutations intra-partition

degré
a
b
c
d
a
c
d
b
b
a
0
1
0
0
a
0
0
0
1
d
b
0
1
1
1
c
0
0
1
1
a
c
c
0
0
1
1
d
0
0
1
1
d
0
1
1
0
b
1
1
1
0
16
Isomorphisme exact de sous-graphes
Isomorphisme de graphe Isomorphisme de
sous-graphes
Isomorphisme exact Isomorphisme inexact Étude
dalgorithmes

• Deux définitions
• Isomorphisme de G2 avec un sous-graphe de G1
• Isomorphisme dun sous-graphe de G1 avec un sous
  graphe de G2
• Les algorithmes précédents sappliquent à
  lisomorphisme de sous-graphes
• Complexité
• Problème NP-complet Alt, Mehlhorn, Munro, 1984
• Exponentielle pour les graphes généraux Messmer,
  1995

17
Isomorphisme de graphe Isomorphisme de
sous-graphes
Isomorphisme exact Isomorphisme inexact Étude
dalgorithmes

• Technique Arbre de recherche avec backtracking
  Corneil, Gotlieb,70
• G1 G2

a
b
c
d
a
b
c
a
0
1
1
1
a
0
1
0
b
0
1
1
0
b
0
1
1
c
1
0
1
0
c
0
0
1
d
1
0
0
0
b
a
b
?
?
?
?
a
c
a
b
c
d
c
?
0
1
0
?
a
0
1
0
?
0
1
1
?
b
0
1
1
?
0
0
1
?
c
0
0
1
?
?
?
?
?
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Isomorphisme de graphe Isomorphisme de
sous-graphes
Isomorphisme exact Isomorphisme inexact Étude
dalgorithmes

• Technique Arbre de recherche avec backtracking
• Représentation ligne-colonne de la matrice
  dadjacence

19
Isomorphisme de graphe Isomorphisme de
sous-graphes
Isomorphisme exact Isomorphisme inexact Étude
dalgorithmes

• Méthode
• Construire toutes les matrices de permutations de
  G1

20
Isomorphisme de graphe Isomorphisme de
sous-graphes
Isomorphisme exact Isomorphisme inexact Étude
dalgorithmes

• Méthode
• Construire toutes les matrices de permutations de
  G1
• Construire larbre de décision des matrices de
  permutations

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Isomorphisme de graphe Isomorphisme de
sous-graphes
Isomorphisme exact Isomorphisme inexact Étude
dalgorithmes
22
Isomorphisme de graphe Isomorphisme de
sous-graphes
Isomorphisme exact Isomorphisme inexact Étude
dalgorithmes
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Isomorphisme de graphe Isomorphisme de
sous-graphes
Isomorphisme exact Isomorphisme inexact Étude
dalgorithmes
24
Isomorphisme de graphe Isomorphisme de
sous-graphes
Isomorphisme exact Isomorphisme inexact Étude
dalgorithmes
25
Isomorphisme de graphe Isomorphisme de
sous-graphes
Isomorphisme exact Isomorphisme inexact Étude
dalgorithmes
26
Isomorphisme de graphe Isomorphisme de
sous-graphes
Isomorphisme exact Isomorphisme inexact Étude
dalgorithmes

• Méthode
• Construire toutes les matrices de permutations de
  G1
• Construire larbre de décision des matrices de
  permutations
• Graphes non dirigés, non étiquetés O(3n)
• n nuds G1

27
Isomorphisme de graphe Isomorphisme de
sous-graphes
Isomorphisme exact Isomorphisme inexact Étude
dalgorithmes

• Méthode
• Construire toutes les matrices de permutations de
  G1
• Construire larbre de décision des matrices de
  permutations
• Graphes non dirigés, non étiquetés O(3n)
• n nuds G1
• Recherche de lisomorphisme de G2 avec un
  sous-graphe de G1
• Automate de décision

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Isomorphisme de graphe Isomorphisme de
sous-graphes
Isomorphisme exact Isomorphisme inexact Étude
dalgorithmes
1
1
2
2
3
a1 0 a2 101
0
000
101
11011
10001
01010
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Isomorphisme de graphe Isomorphisme de
sous-graphes
Isomorphisme exact Isomorphisme inexact Étude
dalgorithmes
1
1
2
2
3
a1 0 a2 101
0
000
101
11011
10001
01010
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Isomorphisme de graphe Isomorphisme de
sous-graphes
Isomorphisme exact Isomorphisme inexact Étude
dalgorithmes
1
1
2
2
3
a1 0 a2 101
0
000
101
11011
10001
01010
31
Isomorphisme de graphe Isomorphisme de
sous-graphes
Isomorphisme exact Isomorphisme inexact Étude
dalgorithmes
1
1
2
2
3
a1 0 a2 101
1
0
000
101
2
3
11011
10001
01010
a1 0 a2 101 a3 11011
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Isomorphisme de graphe Isomorphisme de
sous-graphes
Isomorphisme exact Isomorphisme inexact Étude
dalgorithmes

• Méthode
• Construire toutes les matrices de permutations de
  G1
• Construire larbre de décision des matrices de
  permutations
• Graphes non dirigés, non étiquetés O(3n)
• n nuds G1
• Recherche de lisomorphisme de G2 avec un
  sous-graphe de G1
• Automate de décision
• Graphes non dirigés, non étiquetés O(m2)
• m nuds G2

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Isomorphisme de graphe Isomorphisme de
sous-graphes
Isomorphisme exact Isomorphisme inexact Étude
dalgorithmes

• Améliorations proposées
• Ullman O(m2n2) Ullman, 76
• Forward-checking and looking-ahead Haralick,
  Elliot, 80
• Relaxation discrete Kim, Kack, 91
• Maximal clique detection Blake, 94

34
Isomorphisme de graphe Isomorphisme de
sous-graphes
Isomorphisme exact Isomorphisme inexact Étude
dalgorithmes
35
Isomorphisme inexact de graphes et sous-graphes
Isomorphisme exact Isomorphisme inexact Étude
dalgorithmes
Généralités Heuristique Relaxation probababiliste

• Motivations
• Obtenir une approximation de la solution optimale
  en un temps de calcul raisonnable (polynomial)
• On ne cherche pas toujours des appariements
   parfaits  (ex graphe bruités, recherche
  dune similarité de structure ou dobjets, )
• Approches
• Informations topologiques uniquement
• Distance entre les nuds et/ou arêtes et
  information structurelles (le plus souvent
  locale)
• Optimisations continues

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Isomorphisme exact Isomorphisme inexact Étude
dalgorithmes
Généralités Heuristique Relaxation probababiliste

• Heuristique Auber, Delest, Domenger, Dulucq,
  2004
• Vecteurs de caractéristiques pour chaque nud
• Caractéristiques structurelles
• Degré
• Taille du sous-arbre
• Nombre de Strahler
• Hauteur
• Distance entre les vecteurs (distance
  euclidienne)

37
Isomorphisme exact Isomorphisme inexact Étude
dalgorithmes
Généralités Heuristique Relaxation probababiliste

• Construction de classes de nuds ?-équivalents
• n,n ? Ci ? d(n,n) gt ? ? n ?? n

1
2
3
5
6
7
4
8
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Isomorphisme exact Isomorphisme inexact Étude
dalgorithmes
Généralités Heuristique Relaxation probababiliste

• Construction de classes de nuds ?-équivalents
• n,n ? Ci ? d(n,n) gt ? ? n ?? n

1
2
3
5
6
7
4
8
39
Isomorphisme exact Isomorphisme inexact Étude
dalgorithmes
Généralités Heuristique Relaxation probababiliste

• Construction de classes de nuds ?-équivalents
• n,n ? Ci ? d(n,n) gt ? ? n ?? n
• Problème
• 1er nud 1
• ? ?

1
1
3
2
8
4
2
3
5
6
7
4
8
40
Isomorphisme exact Isomorphisme inexact Étude
dalgorithmes
Généralités Heuristique Relaxation probababiliste

• Construction de classes de nuds ?-équivalents
• n,n ? Ci ? d(n,n) gt ? ? n ?? n
• Problème
• 1er nud 1
• ? ?
• 1er nud 2
• ? ?

1
1
3
2
8
4
2
3
5
6
7
4
8
1
3
2
8
4
41
Isomorphisme exact Isomorphisme inexact Étude
dalgorithmes
Généralités Heuristique Relaxation probababiliste

• Construction de classes de nuds ?-équivalents
• n,n ? Ci ? d(n,n) gt ? ? n ?? n
• Heuristique trier les nuds
• selon leur valeur de Strahler
• décroissante

1
2
3
5
6
7
4
8
42
Isomorphisme exact Isomorphisme inexact Étude
dalgorithmes
Généralités Heuristique Relaxation probababiliste

• Prolongation des classes déquivalences
• Si card (F) ? card (F), on prolonge

u
v
..
..
F
F
??
43
Isomorphisme exact Isomorphisme inexact Étude
dalgorithmes
Généralités Heuristique Relaxation probababiliste

• Prolongation des classes déquivalences
• Procédure récursive sur les fils prolongés

u
v
..
..
F
F
??
44
Isomorphisme exact Isomorphisme inexact Étude
dalgorithmes
Généralités Heuristique Relaxation probababiliste

• Questions
• Clustering dépendant de lordre de considération
  des nuds (K-means ? Strahler bon choix ? )
• Choix des paramètres dépend des structures
  étudiées, des éléments recherchée (en étude)
• Prolongation
• Récursive sur lensemble du graphe ? Sur le sous
  graphe ?
• Reconnaissance de motifs fréquents / premier
  candidat
• Complexité ?
• Conjecture O(n log(n))

45
Isomorphisme exact Isomorphisme inexact Étude
dalgorithmes
Généralités Heuristique Relaxation probababiliste

• Relaxation probabiliste Hummel, Zucker, 1983
• Principe
• Mesure de similarité ? entre les nuds
  (paramètres intrinsèques)

?(u,u) 0,7
Décision impossible
u
u
46
Isomorphisme exact Isomorphisme inexact Étude
dalgorithmes
Généralités Heuristique Relaxation probababiliste

• Relaxation probabiliste Hummel, Zucker, 1983
• Principe
• Mesure de similarité ? entre les nuds
• Utiliser linformation contextuelle locale pour
  compenser la similarité basée sur les
  caractéristiques

Taux de similarité ?
?(u,u) 0,7
Décision impossible
u
u
Utilisation de linformation sur les voisinages
47
Isomorphisme exact Isomorphisme inexact Étude
dalgorithmes
Généralités Heuristique Relaxation probababiliste

• Graphe biparti valué complet des voisins des
  nuds
• ui uj
• Poids sur les arêtes
• w(ui,uj) ?(ui,uj)

u
u
48
Isomorphisme exact Isomorphisme inexact Étude
dalgorithmes
Généralités Heuristique Relaxation probababiliste

• Graphe biparti complet des voisins des nuds
  valué
• ui vj
• Recherche du couplage maximal
• similarité du voisinage

u
u
49
Isomorphisme exact Isomorphisme inexact Étude
dalgorithmes
Généralités Heuristique Relaxation probababiliste

• Renforcement de la similarité entre une paire de
  nuds en fonction de son voisinage
• ?(u,u) ?(u,u) sim(V(u), V(u))

50
Isomorphisme exact Isomorphisme inexact Étude
dalgorithmes
Généralités Heuristique Relaxation probababiliste

• Renforcement de la similarité entre une paire de
  nuds en fonction de son voisinage
• ?(u,u) ?(u,u) sim(V(u), V(u))
• Procédure récursive
• ?0(u,u) ?(u,u)
• ?i1(u,u) ?i(u,u) simi(V(u), V(u))

51
Isomorphisme exact Isomorphisme inexact Étude
dalgorithmes
Généralités Heuristique Relaxation probababiliste

• Renforcement de la similarité entre une paire de
  nuds en fonction de son voisinage
• ?(u,u) ?(u,u) sim(V(u), V(u))
• Procédure récursive
• ?0(u,u) ?(u,u)
• ?i1(u,u) ?i(u,u) simi(V(u), V(u))
• Heuristique Assignations
• Si ?(u,u) gt seuil
• Si il nexiste pas dautre candidat potentiel

52
Isomorphisme exact Isomorphisme inexact Étude
dalgorithmes
Généralités Heuristique Relaxation probababiliste

• Problèmes
• Convergence
• Maxima locaux
• Ne prend pas en compte la structure globale du
  graphe
• Avantages
• Fournit un appariement un à un
• Reste lune des méthodes les plus efficaces

53
Isomorphisme exact Isomorphisme inexact Étude
dalgorithmes

• Étude dalgorithmes plus récents
• Attribute Trees in Image Analysis Heuristic
  Matching and Learning Techniques, Markus Peura,
  Proc. ICIAP99, Venice, Italy, pp 1160-1165,
  Sept. 1999,
• On an algorithm of Zemlyachenko for subtree
  isomorphism, Y. Dinitz, A. Itai, M. Rodeh,
  Information Processing Letters, 70(3) pp
  141-146, 1999
• Substructure Similarity Search in Graph
  Databases, X. Yan, P.S. Yu, J. Han, Proc. Of Int.
  Conf. On Management of Data, Session Research
  papers graph and tree-structured data pp
  766-777, 2005

54
Attribute trees in image analysis, M. Peura, 1999
Isomorphisme exact Isomorphisme inexact Étude
dalgorithmes
Peura, 1999 Dinitz, Itai, Rodeh, 1999 Yan, Yu,
Han, 2005

• Motivations
• Indexer, mettre en correspondance, généraliser
  des arbres étiquetés enracinés non ordonnés
• Mise en correspondance basée sur la division
  récursive de larbre en sous-arbres
• Mesure de similarité basée sur la distance entre
  les vecteurs de caractéristiques des racines

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Isomorphisme exact Isomorphisme inexact Étude
dalgorithmes
Peura, 1999 Dinitz, Itai, Rodeh, 1999 Yan, Yu,
Han, 2005

• Indices des nuds

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Isomorphisme exact Isomorphisme inexact Étude
dalgorithmes
Peura, 1999 Dinitz, Itai, Rodeh, 1999 Yan, Yu,
Han, 2005

• Mise en correspondance
• Construction de larbre Tm, association des
  arbres Ta et Tb

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Isomorphisme exact Isomorphisme inexact Étude
dalgorithmes
Peura, 1999 Dinitz, Itai, Rodeh, 1999 Yan, Yu,
Han, 2005

• Mise en correspondance
• On part de la racine vm va, vb
• On appelle la fonction récursive Match(vm)

vm
va
vb
Ta
Tb
Tm
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Isomorphisme exact Isomorphisme inexact Étude
dalgorithmes
Peura, 1999 Dinitz, Itai, Rodeh, 1999 Yan, Yu,
Han, 2005

• Match(vm) // cas vm va, vb
• Calcul de dist(vai, vbj) pour chaque fils de va
  et vb
• Pour chaque paire vai, vbj non déjà représentée
  dans Tm ET minimisant dist(vai,vbj) ajouter
  vmvai,vbj
• Appeler Match(vm)

vm
va
vb
Ta
Tb
Tm
59
Isomorphisme exact Isomorphisme inexact Étude
dalgorithmes
Peura, 1999 Dinitz, Itai, Rodeh, 1999 Yan, Yu,
Han, 2005

• Match(vm) // cas vm va, vb
• Calcul de dist(vai, vbj) pour chaque fils de va
  et vb
• Pour chaque paire vai, vbj non déjà représentée
  dans Tm ET minimisant dist(vai,vbj) ajouter
  vmvai,vbj
• Appeler Match(vm)

vm
va
vb
vm
Ta
Tb
Tm
60
Isomorphisme exact Isomorphisme inexact Étude
dalgorithmes
Peura, 1999 Dinitz, Itai, Rodeh, 1999 Yan, Yu,
Han, 2005

• Match(vm)
• Calcul de dist(vai, vbj) pour chaque fils de va
  et vb
• Pour chaque paire vai, vbj non déjà représentée
  dans Tm ET minimisant dist(vai,vbj) ajouter
  vmvai,vbj
• Appeler Match(vm)

va
vb
vm
vm
Ta
Tb
Tm
61
Isomorphisme exact Isomorphisme inexact Étude
dalgorithmes
Peura, 1999 Dinitz, Itai, Rodeh, 1999 Yan, Yu,
Han, 2005

• Match(vm)
• Calcul de dist(vai, vbj) pour chaque fils de va
  et vb
• Pour chaque paire vai, vbj non déjà représentée
  dans Tm ET minimisant dist(vai,vbj) ajouter
  vmvai,vbj
• Appeler Match(vm)

vm
va
vb
vm
Ta
Tb
Tm
62
Isomorphisme exact Isomorphisme inexact Étude
dalgorithmes
Peura, 1999 Dinitz, Itai, Rodeh, 1999 Yan, Yu,
Han, 2005

• Match(vm)
• Calcul de dist(vai, vbj) pour chaque fils de va
  et vb
• Pour chaque paire vai, vbj non déjà représentée
  dans Tm ET minimisant dist(vai,vbj) ajouter
  vmvai,vbj
• Appeler Match(vm)

va
vb
vm
vm
Ta
Tb
Tm
63
Isomorphisme exact Isomorphisme inexact Étude
dalgorithmes
Peura, 1999 Dinitz, Itai, Rodeh, 1999 Yan, Yu,
Han, 2005

• Match(vm)
• Calcul de dist(vai, vbj) pour chaque fils de va
  et vb
• Pour chaque paire vai, vbj non déjà représentée
  dans Tm ET minimisant dist(vai,vbj) ajouter
  vmvai,vbj
• Appeler Match(vm)

vm
va
vb
vm
Ta
Tb
Tm
64
Isomorphisme exact Isomorphisme inexact Étude
dalgorithmes
Peura, 1999 Dinitz, Itai, Rodeh, 1999 Yan, Yu,
Han, 2005

• Match(vm)
• Calcul de dist(vai, vbj) pour chaque fils de va
  et vb
• Pour chaque nud vai (resp. vbj) non  matché 
  ajouter vmvai (resp. vmvbj)
• Appeler Match(vm)

vm
va
vb
vm
Ta
Tb
Tm
65
Isomorphisme exact Isomorphisme inexact Étude
dalgorithmes
Peura, 1999 Dinitz, Itai, Rodeh, 1999 Yan, Yu,
Han, 2005

• Match(vm) // cas vm va ou vm vb
• Pour chaque fils nud vai (resp. vbj) de va
  (resp. vb) ajouter vmvai (resp. vmvbj)
• Appeler Match(vm)

vb
vm
va
vm
Ta
Tb
Tm
66
Isomorphisme exact Isomorphisme inexact Étude
dalgorithmes
Peura, 1999 Dinitz, Itai, Rodeh, 1999 Yan, Yu,
Han, 2005

• Sous-arbre commun maximal
• Super-arbre minimal Tm composition des arbres
  Ta et Tb

vb
vm
va
vm
Ta
Tb
Tm
67
Isomorphisme exact Isomorphisme inexact Étude
dalgorithmes
Peura, 1999 Dinitz, Itai, Rodeh, 1999 Yan, Yu,
Han, 2005

• Distances
• Distance topologique (Proportion nuds non mis en
  correspondance)
• Déviation des attributs

68
Attribute trees in image analysis, M. Peura, 1999
Isomorphisme exact Isomorphisme inexact Étude
dalgorithmes
Peura, 1999 Dinitz, Itai, Rodeh, 1999 Yan, Yu,
Han, 2005

• Intérêts
• Fournit une mise en correspondance
• Faible coût
• Prend en compte
• La topologie
• Caractéristiques extrinsèques (descripteurs
  divers)
• Fournit une distance entre les arbres
• Construction du plus petit super-arbre contenant
  Ta et Tb
• Applicable aux DAGs
• Inconvénients
• Pas de tolérance structurelle (isomorphisme exact)

69
On an algorithm of Zemlyachenko for subtree
isomorphism, Dinitz, Itai, Rodeh, 1999
Isomorphisme exact Isomorphisme inexact Étude
dalgorithmes
Peura, 1999 Dinitz, Itai, Rodeh, 1999 Yan, Yu,
Han, 2005

• Motivations
• Isomorphisme exact sur les arbres (enracinés ou
  non)
• Ordre canonique
• Principe de classes déquivalence de sous-arbres
  isomorphes

70
Isomorphisme exact Isomorphisme inexact Étude
dalgorithmes
Peura, 1999 Dinitz, Itai, Rodeh, 1999 Yan, Yu,
Han, 2005

• Lordre canonique, indices des nuds, classes
  déquivalence
• Les feuilles sont le plus petit élément de
  lordre canonique noté ?c

71
Isomorphisme exact Isomorphisme inexact Étude
dalgorithmes
Peura, 1999 Dinitz, Itai, Rodeh, 1999 Yan, Yu,
Han, 2005

• Méthode

72
Isomorphisme exact Isomorphisme inexact Étude
dalgorithmes
Peura, 1999 Dinitz, Itai, Rodeh, 1999 Yan, Yu,
Han, 2005

• Lordre canonique, indices des nuds, classes
  déquivalence
• Les feuilles sont le plus petit élément de
  lordre canonique noté ?c
• Si h(u) lt h(v) alors u ?c v

73
Isomorphisme exact Isomorphisme inexact Étude
dalgorithmes
Peura, 1999 Dinitz, Itai, Rodeh, 1999 Yan, Yu,
Han, 2005

• Méthode

74
Isomorphisme exact Isomorphisme inexact Étude
dalgorithmes
Peura, 1999 Dinitz, Itai, Rodeh, 1999 Yan, Yu,
Han, 2005

• Lordre canonique, indices des nuds, classes
  déquivalence
• Les feuilles sont le plus petit élément de
  lordre canonique noté ?c
• Si h(u) lt h(v) alors u ?c v
• Si h(u) h(v)
• Tri des fils u1 ?c u2 ?c ?c ud(u) et v1 ?c
  ?c vd(v)
• u ?c v ssi u1u2 ud(u) ?lexico v1v2 vd(v)
• u c v ssi u ?c v et v ?c u
• u c v ssi
• h(u) h(v)
• d(u) d(v)
• ui c vi pour i 1 d(u)

75
Isomorphisme exact Isomorphisme inexact Étude
dalgorithmes
Peura, 1999 Dinitz, Itai, Rodeh, 1999 Yan, Yu,
Han, 2005

• Méthode

76
Isomorphisme exact Isomorphisme inexact Étude
dalgorithmes
Peura, 1999 Dinitz, Itai, Rodeh, 1999 Yan, Yu,
Han, 2005

• Méthode
• Construction un arbre (automate) auxiliaire Dh
• Liste triée des indices des fils pour chaque
  ui?niveauh

u1 12 u2 22 u3 12 u4 2
77
Isomorphisme exact Isomorphisme inexact Étude
dalgorithmes
Peura, 1999 Dinitz, Itai, Rodeh, 1999 Yan, Yu,
Han, 2005

• Méthode
• Construction un arbre (automate) auxiliaire Dh
• Liste triée des indices des fils pour chaque
  w?niveauh
• Construction de lautomate ordonné Dh pour ces
  mots

u1 12 u2 22 u3 12 u4 2
2
1
u4
2
2
u1,u3
u2
78
Isomorphisme exact Isomorphisme inexact Étude
dalgorithmes
Peura, 1999 Dinitz, Itai, Rodeh, 1999 Yan, Yu,
Han, 2005

• Méthode
• Parcours en profondeur de lautomate
• Affectation de ? ?max1 pour chaque ensemble non
  vide

u1 12 u2 22 u3 12 u4 2
2
1
?4
u4
2
2
?5
u1,u3
u2
?3
79
Isomorphisme exact Isomorphisme inexact Étude
dalgorithmes
Peura, 1999 Dinitz, Itai, Rodeh, 1999 Yan, Yu,
Han, 2005

• Méthode

80
On an algorithm of Zemlyachenko for subtree
isomorphism, Dinitz, Itai, Rodeh, 1999
Isomorphisme exact Isomorphisme inexact Étude
dalgorithmes
Peura, 1999 Dinitz, Itai, Rodeh, 1999 Yan, Yu,
Han, 2005

• Intérets
• Applicables aux DAG
• Index canoniques en temps linéaire
• Classification de sous-arbres isomorphes
• Inconvénients
• Pas de tolérance sur la structure (isomorphisme
  exact)
• Indice de classe non représentatif de la
  topologie du sous-arbre

81
Substructure similarity search in Graph
Databases, X. Yan, P.S. Yu, J. Han 2005
Isomorphisme exact Isomorphisme inexact Étude
dalgorithmes
Peura, 1999 Dinitz, Itai, Rodeh, 1999 Yan, Yu,
Han, 2005

• Motivations
• Recherche dun sous-graphe similaire au graphe
  requête dans une base de données de graphes
• Méthode de filtrage de la base de données
• Basé sur la relaxation du graphe requête (édition
  du graphe)

82
Isomorphisme exact Isomorphisme inexact Étude
dalgorithmes
Peura, 1999 Dinitz, Itai, Rodeh, 1999 Yan, Yu,
Han, 2005

• Ratio de relaxation
• G et Q deux graphes.
• P sous-graphe commun maximal de G et Q
• Similarité de sous-structure
• Ratio de relaxation
• Exprime le taux de relaxation du graphe Q pour
  quil soit contenu dans G

83
Isomorphisme exact Isomorphisme inexact Étude
dalgorithmes
Peura, 1999 Dinitz, Itai, Rodeh, 1999 Yan, Yu,
Han, 2005

• Ratio de relaxation
• Similarité de sous-structure 92
• Si on relâche le graphe requête de 8, il est
  contenu dans le graphe cible

Graphe requête Q
Graphe cible G
84
Isomorphisme exact Isomorphisme inexact Étude
dalgorithmes
Peura, 1999 Dinitz, Itai, Rodeh, 1999 Yan, Yu,
Han, 2005

• Mesure de similarité basée sur les
  caractéristiques (feature-based)
• Structures élémentaires spécifiques au domaine
  (composant chimique)
• Similarité basée sur le nombre de de structures
  élémentaires communes

85
Isomorphisme exact Isomorphisme inexact Étude
dalgorithmes
Peura, 1999 Dinitz, Itai, Rodeh, 1999 Yan, Yu,
Han, 2005

• Mesure de similarité basée sur les
  caractéristiques (feature-based)
• Structures élémentaires spécifique au domaine
  (composant chimique)
• Similarité basée sur le nombre de de structures
  élémentaires communes
• Avantage efficacité (comparaison de vecteurs)
• Inconvénients
• Ne tient pas compte de la structure globale
• Difficulté de construire un  dictionnaire  de
  structures élémentaires

86
Isomorphisme exact Isomorphisme inexact Étude
dalgorithmes
Peura, 1999 Dinitz, Itai, Rodeh, 1999 Yan, Yu,
Han, 2005

• Filtrage
• Éliminer le plus de candidats possibles en
  utilisant lapproches par caractéristiques
• Étant donné un taux de relaxation pour le graphe
  requête, supprimer de la base les graphes qui ne
  peuvent pas contenir le graphe requête relâché

87
Isomorphisme exact Isomorphisme inexact Étude
dalgorithmes
Peura, 1999 Dinitz, Itai, Rodeh, 1999 Yan, Yu,
Han, 2005

• Filtrage
• Table qui représente le nombre doccurrences de
  chaque motif élémentaire contenu dans le graphe

88
Isomorphisme exact Isomorphisme inexact Étude
dalgorithmes
Peura, 1999 Dinitz, Itai, Rodeh, 1999 Yan, Yu,
Han, 2005

• Filtrage
• Base de données ? matrice de caractéristiques de
  graphe (feature-graph matrix)

89
Isomorphisme exact Isomorphisme inexact Étude
dalgorithmes
Peura, 1999 Dinitz, Itai, Rodeh, 1999 Yan, Yu,
Han, 2005

• Estimation des composantes manquantes
• Choix des composantes élémentaires que lon
  souhaite étudier
• Calcul dune borne maximale dmax sur le nombre de
  composantes élémentaires manquantes autorisées,
  étant donné un ratio de relaxation
• Problème NP-complet
• Méthode dapproximation de cette borne

90
Isomorphisme exact Isomorphisme inexact Étude
dalgorithmes
Peura, 1999 Dinitz, Itai, Rodeh, 1999 Yan, Yu,
Han, 2005

• Filtrage
• Comparaison du nombre de structures élémentaires

91
Isomorphisme exact Isomorphisme inexact Étude
dalgorithmes
Peura, 1999 Dinitz, Itai, Rodeh, 1999 Yan, Yu,
Han, 2005

• Filtrage
• Calcul de la différence de fréquence pour chaque
  motif fi en terme de motif manquant dans le
  graphe cible
• Différence entre le graphe requête et le graphe
  cible

92
Isomorphisme exact Isomorphisme inexact Étude
dalgorithmes
Peura, 1999 Dinitz, Itai, Rodeh, 1999 Yan, Yu,
Han, 2005

• Filtrage
• Q graphe requête admettant une relaxation de k
  arêtes
• G le graphe cible
• 1) Sélection des motifs à étudier
• 2) Calcul de la borne dmax (nombre de motifs
  manquants autorisés)
• 3) Calcul de la différence des graphes G et Q
• Si d(G,Q) gt dmax
• G ne contient pas Q en relâchant k arêtes

93
Substructure similarity search in Graph
Databases, X. Yan, P.S. Yu, J. Han 2005
Isomorphisme exact Isomorphisme inexact Étude
dalgorithmes
Peura, 1999 Dinitz, Itai, Rodeh, 1999 Yan, Yu,
Han, 2005

• Intérets
• Applicables aux graphes, DAG
• Notion de similarité (tolérence)
• Filtrage rapide de bases de données
• Inconvénients
• Choix des motifs élémentaires représentatifs
• Algorithme de décision (ne fournit pas
  dinformation sur les zones similaires)
• Efficace lorsque le dictionnaire nest pas trop
  grand

94
Conclusion
Isomorphisme exact Isomorphisme inexact Étude
dalgorithmes

• Reconaissance de graphes/sous-graphes très
  utilisée dans beaucoup de domaines (chimie,
  biologie, visu, image, )
• Problème encore très ouvert
• Méthodes efficaces ne proposent que des
  approximations de la solution optimale
• Problème de tolérance au niveau structurel encore
  peu exploré

95
Bibliographie isomorphisme de graphes
Hopcroft, Tarjan, 1972 Isomorphism of planar
graphs, Complexity of Computer Computations pp
143-150, 1972 Hopcroft, Wong, 1974 A linear
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Isomorphism of graphs of bounded valence can be
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Group-theoretic algorithms and graph isomorphism,
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Springer 1982 Luks, Hoffman, 1987 An O(n3 log
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Alt, Mehlhorn, Munro, 1984 On the complexity
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PAMI, 13, pp 224-251, 1991 Blake, 1994
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Bibliographie isomorphisme inexact
Auber, Delest, Domenger, Dulucq, 2004
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2004 Hummel, Zucker, 1983 On the foundations of
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