Reconocimiento de Formas en Data Mining

1
Capítulo 9 Modelos de Espera
Departamento de Informática Universidad Técnica
Federico Santa María
2
Introducción
Una línea de espera es la resultante de un
sistema cuando la demanda por un bien o servicio
supera la capacidad que puede proporcionar dicho
sistema. Un sistema está formado por un conjunto
de entidades que en paralelo proporcionan el bien
o servicio donde las transacciones ingresan
aleatoriamente al sistema
3
Ejemplos de Líneas de Espera

• Redes de Comunicaciones y Computadores
• Tareas en un Computador
• Cajas en Supermercado o Bancos
• Modelos de Tráfico en una Ciudad ( T-A -M)
• Líneas de Producción e Inventario
• Talleres de Reparación
• Hospitales
• Estaciones de Bomberos
• Sistemas de Distribución o Logísticos

4
Introducción
Elementos de estudio de dichas líneas de espera
serán entonces los tiempos asociados a cada uno
de los procesos que se desarrollan y las llegadas
de las transacciones al sistema. Debido a que las
variables están fuera del control del tomador de
decisiones, será necesario realizar el modelado
utilizando procesos estocásticos.
5
Esquema Líneas de Espera
Instalaciones de Servicio
Clientes que entran al Sistema de Servicio y
Esperan ser Atendidos
Población o Fuente de Entrada de Clientes Al
Sistema
Clientes Servidos salen del Sistema de Servicio
y vuelven a la Población
SISTEMA
Algunos Clientes pueden no entrar al sistema
de Servicio
6
Definición Básica

Una línea de espera puede modelarse como un
proceso estocástico en el cual la variable
aleatoria se define como el número de
transacciones en el sistema en un momento
dado. El conjunto de valores que puede tomar
dicha variable es 0, 1, 2, 3, 4,.......,N y
cada uno de ellos tiene asociada una Prob.de
ocurrencia P0, P1, P2........, PN
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Objetivo del Estudio

• Determinar el nivel de desempeño del sistema
• Cantidad de entidades presente
• Velocidad del Servicio en el sistema
• Interesa minimizar el costo total del sistema
• Los costos de transacciones dan cuenta de la
  pérdida por tiempo de espera o la pérdida de
  clientes por abandono del sistema.
• Los costos de proporcionar el servicio, dan
  cuenta de los salarios, energía, mantención, etc.

8
Objetivo del estudio
Matemáticamente Min Ct Ce S C q
Lq donde S 1,2,3,4......... Lq f
S,E(t),....... Donde S Número de entidades
que proporcionan servicio. E(t) tiempo
promedio de Servicio. Lq Número de
transacciones en espera. Ce Costo de servicio
por entidad - tiempo. Cq Costo de servicio
por transacción - tiempo. Ct Costo total por
unidad de tiempo

9
Optimización de Costos
10
Líneas de Espera (LE)

• Los modelos de LE nos permitirán estudiar este
  tipo de fenómeno y determinar
• Tiempo de Espera Promedio de los Clientes
• Largo Promedio de la LE
• Factor de Utilización de Servidores
• Distribución Tiempos de Espera (Difícil)
• Tiempos Ociosos
• Eficiencia del Sistema
• Pérdidas de Clientes

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Elementos Básicos de M-LE

• Población Fuente de Entradas
• Tamaño Poblacional
• Infinito Finito
• Patrón de Llegadas Tasa de Llegada
• Patrón de Salidas
• Cliente Satisfecho
• Cliente vuelve a la LE.
• Actitudes de los Clientes
• Cambios
• Renuncias etc.

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Estructura General Sistema Espera
Servidores en paralelo
Entrada al Sistema
Salida del Sistema
Fila
Fuente de Transacciones potenciales
13
Estructura

• Los elementos básicos constituyentes de un
  sistema de espera son los siguientes
• Servidor
• Fila o Cola
• Transacciones Potenciales

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Servidor

• Representa el mecanismo por el cual las
  transacciones reciben de una manera completa el
  servicio deseado.
• Sus principales características son
• La Cantidad asignada a cada fila existente en el
  sistema.
• La distribución de probabilidad del Tiempo de
  Atención a las transacciones o (Velocidad de
  Servicio)

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Fila

• Es el conjunto de Clientes que espera ser
  atendido por alguno de los servidores del
  sistema.
• Sus principales características son
• Capacidad Es la cantidad máxima de
  transacciones que puede albergar cada fila
  existente en el sistema.
• De acuerdo a esto se clasifican en finitas o
  infinitas.
• Orden Es la forma como los Clientes son
  extraídas de la fila para su atención.
• Ejemplos FIFO, prioridad, aleatorio, etc.
• Forma de salir como sale de la fila
• mediante el proceso de servicio
• mediante factores de abandono insatisfacción,
  desesperación, etc.

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Transacciones Potenciales

• Representan el número de clientes potenciales que
  podría requerir el servicio proporcionado por el
  sistema.
• Sus principales características son
• El Tamaño del conjunto de potencial de clientes.
• La distribución de probabilidad del Tiempo entre
  llegadas o tasa de entrada promedio.

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Nomenclatura
S número de servidores n número de clientes en el
sistema N número máximo de clientes permitidos en
el sistema ?n flujo de clientes que entran cuando
hay n clientes en el sistema ?n capacidad del
servidor cuando hay n clientes en el
sistema E(t) tiempo promedio de proceso por
cliente V(t) varianza del tiempo de
proceso E(a) tiempo promedio entre
llegadas V(a) varianza del tiempo entre llegada
Coeficiente cuadrado de variación del flujo de
clientes que entran al sistema. Coeficiente
cuadrado de variación del tiempo de servicio.
Coeficiente cuadrado de variación del flujo de
clientes que salen del sistema.
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Nomenclatura
pii Probabilidad de que el sistema cambie del
estado i a un estado j después de un intervalo
de tiempo Pn Probabilidad en estado estable de
que existan n clientes en el
sistema L Número promedio de clientes en el
sistema Lq Número promedio de clientes en la
fila W Tiempo promedio de permanencia en el
sistema Wq Tiempo promedio de permanencia en la
fila ? Factor de utilización promedio del
servicio Ct Costo total promedio del sistema de
líneas de espera por unidad de tiempo Ce Costo
promedio de servicio por cliente por unidad de
tiempo Cq Costo promedio de espera por cliente
por unidad de tiempo
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Clasificación de Kendall y Lee
Kendall y Lee 1953 Proponen un sistema de
clasificación para sistemas de líneas de espera,
el cual considera seis de las características
mencionadas en la estructura de los modelos.
El cual tiene el siguiente formato (a/b/c)(d/e/f)
20
Clasificación de Kendall y Lee
Donde a Distribución de probabilidad del tiempo
entre llegadas de las transacciones b Distribuci
ones de probabilidad del tiempo de servicio.
Símbolos utilizados en estos dos primeros campos
son D constante Ek distribución Erlang con
parámetro k G cualquier tipo de
distribución GI distribución general
independiente H distribución
hiperexponencial M distribución exponencial
21
Clasificación de Kendall y Lee
c número de servidores d orden de atención de los
clientes Símbolos utilizados en este campo
son FIFO primeras entradas, primeros
servicios LIFO últimas entradas, primeros
servicios SIRO orden aleatorio PR con
base en prioridades GD en forma
general e número máximo de clientes que soporta
el sistema en un mismo instante de
tiempo f número de clientes potenciales del
sistema de líneas de espera
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Ejemplos
Un modelo (M/D/3)(FIFO/20/20) representa la
clasificación de un sistema donde existen 3
servidores en paralelo atendiendo de acuerdo con
un orden de primeras entradas, primeras salidas,
con un tiempo de servicio constante. El sistema
tiene sólo 20 clientes potenciales, los cuales
podrían encontrarse dentro del sistema en un
mismo instante. El tiempo entre llegadas de los
clientes sigue una distribución exponencial y, en
caso de llegar y encontrar todos los servidores
ocupados, pasan a formarse de una fila común.
23
Clasificación de Kendall y Lee
Respetando la clasificación Kendall y Lee, es
posible agrupar los diferentes modelos de una
manera donde los procesos Markovianos y los no
Markovianos se separan claramente. Los
Markovianos se dividen en modelos de capacidad
finita y modelos de capacidad Infinita. Los No
Markovianos, se clasifican en modelos con tiempos
entre llegadas exponenciales y tiempos de
servicios con cualquier tipo de distribución.
24
Clasificación de Kendall y Lee
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Medidas de desempeño

• Medidas de desempeño
• Utilización de Servicio
• Tasa de entrada Promedio
• Número Promedio de Clientes en el sistema
• Número promedio de Clientes en la fila
• Tiempo promedio de espera en el sistema
• Tiempo promedio de espera en la fila
• Coeficiente cuadrado de variación

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Ecuaciones Generales
Utilización de Servicio
Tasa de entrada Promedio
Número Promedio de clientes en el sistema
27
Ecuaciones Generales
Número promedio de clientes en la fila
Tiempo Promedio de espera en el sistema
Tiempo promedio de espera en la fila
28
Ecuaciones Generales
Coeficiente cuadrado de variación
Tiempo entre llegadas
Tiempo de servicio
Tiempo entre salidas del servicio
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Procesos Markovianos
El proceso estocástico asociado a una línea de
espera tiene la propiedad markoviana, es decir la
probabilidad condicional de llegar a un estado
futuro depende exclusivamente del estado actual
en el que se encuentre el sistema, sin importar
el estado inicial de dicho sistema. Las
probabilidades condicionales deben cumplir con
30
Procesos Markovianos
Las probabilidades de estado estacionario Pj
representan el comportamiento Probabilístico de
cada estado del sistema a largo plazo y se
calculan a partir de las probabilidades de
transición( del estado i al estado j) de un paso
de acuerdo con las Probabilidades de transición
de acuerdo con
31
Matriz de probabilidades a un paso
32
Procesos Markovianos
La matriz Probabilidades a un paso genera un
sistema de ecuaciones con N1 incógnitas, N1
ecuaciones independientes y una ecuación
redundante que debe ser eliminada.
33
Matriz de probabilidades
La solución a este sistema de ecuaciones origina
los valores de las probabilidades estacionarias
independientes del estado en que se encuentra el
sistema inicialmente.
34
Ejemplo

• Datos del ejemplo Consultorio de Salud
• Número total de observaciones del SM 73
• Intervalo entre observación 5 Minutos
• Tabla de relaciones existente entre datos

35
Ejemplo

• La matriz anterior se explica como
• De las 73 observaciones, en 10 de ellas el
  sistema estuvo en estado 0 y 5 minutos después el
  sistema había permanecido igual en 3 ocasiones,
  había cambiado a estado 1 en 5 ocasiones, había
  cambiado a estado 2 en 2 ocasiones, y no se
  observaron cambios a los estados 3 y 4.

36
Ejemplo
Calculando la probabilidad condicional de estado
presente i al estado futuro j, se obtiene la
siguiente matriz a un paso
37
Ejemplo
Donde claramente
Aplicando las ecuaciones de estado estacionario a
la matriz de un paso, se obtienen las ecuaciones
38
Ejemplo
Resolviendo el sistema de ecuaciones
Número promedio de transacciones en la cola
39
Procesos Markovianos
Característica principal Distribución de
probabilidad que define la llegada y salida de
transacciones del sistema sigue una ley
Poisson. Para un intervalo de tiempo ?t esta
dado por
40
Procesos Markovianos

• Condiciones que se deben cumplir
• Solamente puede ocurrir una llegada entre t y
  ?t.
• Solamente puede ocurrir una salida entre t y ?t.
• Solamente puede ocurrir una llegada o una salida
  entre t y ?t.
• Por lo que el cambio de estado de n a n1 se
  lleva a cabo al ocurrir una llegada.
• Un cambio de estado de n a n-1 solo ocurre cuando
  se produce una salida.

41
Matriz de probabilidad a un paso
Estado Futuro 0 1 2 3
. . . N-1 N
0 1 2 3 . N-1 N
Estado Actual
42
Procesos Markovianos
Lo cual conduce a
43
Ecuaciones de Balance
De la matriz se obtienen las ecuaciones de balance
44
Ecuaciones de Balance
Sustituyendo se obtiene
Resolviendo el sistema
45
Ecuaciones de Balance
Generalizando
Finalmente se obtiene
46
Elementos Básicos de LE

• Cola de Espera
• Infinita
• Finita Tamaño Máximo
• Instalaciones de Servicio
• Número Instalaciones
• Disposición Instalaciones de Servicio
• En Serie
• En Paralelo
• Redes de Servidores
• Distribución Tiempos de Servicio

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Elementos Básicos de LE

• Disciplina de Servicio
• LIFO
• Aleatorio
• FIFO
• Asignación de Prioridades
• A continuación realizaremos las definiciones de
  las cantidades que permitirán el estudio del
  comportamiento de un sistema de LE.

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LE Definiciones Elementales
N(t) Número Total de Clientes en el Sistema en
el tiempo t Pn(t) Probabilidad de Estado.
Probabilidad que en el sistema se encuentren n
clientes en el instante t ln(t) Tasa de
llegada de clientes nuevos cuando se encuentran
n Clientes en el Sistema, en el tiempo t
mn(t) Tasa de servicio para el conjunto
instalación de servicio cuando se encuentran n
clientes en el sistema, en el instante t S
número de servidores o estaciones de servicio
de las instalaciones de servicio del sistema
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LE Definiciones y Cálculos Elementales
ln Tasa de Llegada en Estado Estacionario cuando
hay n clientes en el sistema mn Tasa de
Atención de las instalaciones de servicio en
estado estacionario cuando hay n clientes en el
sistema bi Probabilidad que existan i
servidores ocupados b0 P0 si hay cero
servidor ocupado, entonces hay cero clientes
en el sistema bi Pi
probabilidad que existan i, i lt s,
servidores ocupados, es igual a
que existan i clientes en el sistema bs
Pn probabilidad que existan s
servidores ocupados, es igual a que
existan s o más clientes en el sistema
8
?
ns
50
LE Definiciones y Cálculos Elementales
B Número Esperado de Servidores ocupados en
un instante cualesquiera B i b
i esto resulta ser también al número esperado
siendo atendidos en un instante dado
cualquiera Ls Número Esperado de Clientes en
el Sistema, en cualquier instante Ls
n Pn
Servidores
Clientes
51
LE Cálculos Elementales
qj Probabilidad que existan j clientes haciendo
Cola, en un instante dado q0
Pn Probabilidad que existan cero
clientes haciendo Cola e.o.p., que existan s
o menos clientes en el sistema qj
Psj j 1, 2, 3, .... Probabilidad que
existan j clientes haciendo Cola. Lq
Longitud de la Cola Cantidad promedio o
esperado de Clientes esperando ser atendidos,
en cualquier instante. (no incluye a los que
están siendo atendidos) Lq j q j Lq
(n-1)Pn
Clientes
52
LE Definiciones y Cálculos Elementales
U Tasa de Utilización de los servidores Razón
Promedio de ocupación por Servidor de la
Instalación de Servicio U l Tasa Promedio
de Llegada de Clientes l ln
Pn R Tasa Promedio (Esperada) de clientes que
pasan entran y salen del sistema. El número
promedio de servicios completados por unidad de
tiempo. R l
B
s
53
LE Definiciones y Cálculos Elementales
m Tasa Promedio de atención de las Instalaciones
(cuando en el sistema hay menos clientes que
servidores la tasa de atención del sistema es
menor) m mn bn n ? s Ws tiempo
esperado que un cliente cualquiera estará en el
sistema, desde que entra hasta cuando sale de
él. Ws Wq Tiempo promedio que un Cliente
esperará antes de ser atendido Wq
s
?
n1
Ls
l
Lq
l
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LE Medidas de Desempeño
Ls Número Esperado de Clientes en el Sistema
Ls nPn Lq Número Esperado de Clientes en
la cola Lq (n-s)Pn Ws Tiempo Estimado
de Espera en el Sistema Ls l Ws l Tasa
Estimada de Llegada de Clientes l lnPn
55
LE Medidas de Desempeño
Relación Tiempos de Espera Ws Wq 1 /
m Relación Número Esperado de Clientes Ls
Lq l / m Número Esperado de Servidores
Ocupados B Ls - Lq l / m Tasa Esperada
de Utilización de los Servidores U m / s
56
Notación en LE
DISCIPLINA DE SERVICIO DG , FIFO , LIFO RAND,
PRI
PATRON de LLEGADAS M Markoviano G General E
Erlang
TAMAÑO POBLACION Infinita P Finita
8
X X , x , X , X, X
PATRON del SERVICIO M Markoviano G
General E Erlang
NUMERO SERVIDORES 1 un servidor s s
servidores en paralelo
TAMAÑO COLA Infinita K Finita
8
57
Notación en L.E. Distribuciones Llegadas y
Salidas

• M Distribución de Llegadas o Salidas de Poisson
  o Markoviana. (Distribución Exponencial de
  tiempos de servicio)
• D Tiempo entre llegadas o de servicio constante
  o determinista
• EK Distribución de Servicio de Erlang o Gamma
  de parámetro k entre llegadas o de servicio
• GI Distribución de Llegadas General
  Independiente (o tiempo entre llegadas)
• G Distribución de Salidas General (o tiempo de
  servicio)

58
Estudio de L.E.

• Todas las definiciones y ecuaciones anteriores,
  junto con suposiciones acerca de las
  distribuciones de llegada y salida nos permitirán
  realizar el estudio de un sistema de l.e. en el
  régimen transiente.
• Los cálculos se realizan en secuencia, siendo el
  primer paso el cálculo de Pn como función de ?n y
  ?n y así sucesivamente hasta lograr calcular
  todas las medidas de desempeño definidas antes.
• La deducción de una expresión para Pn se logra en
  base al diagrama de tasas de transición.

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Estudio L.E. Diagrama Tasas de Transición

• Dado que hay n clientes en el sistema en un
  instante t, el número de clientes luego de un ?t
  suficientemente pequeño será (n-1) si ocurrió una
  salida o (n1) si fue una entrada

• Se obtiene la ecuación de equilibrio
• ?n-1Pn-1 ?n1Pn1 ( ?n ?n) Pn

60
Estudio L.E. Ejemplos de Cálculo en base a
Diagramas Tasas de Transición

• A continuación ejemplificaremos el proceso de
  cálculo de las medidas de desempeño de l.e. en 4
  tipos de sistemas de colas definidas por tasas de
  llegadas y tiempos de atención poissonianos
• M / M / 1 / DG /? / ?
• M / M / s / DG / ? / ?
• M / M / 1 / DG / P / ?
• M / M / 1 / DG / ? / K

61
M / M / 1 / DG /? / ? markoviano,
markoviano, 1 servidor, población infinita, cola
infinita
62
M / M / s / DG / ? / ? markoviano,
markoviano, 1 servidor, población infinita, cola
infinita
lDt
l
l
l
l
l
l
l
....
....
....
1
2
n
s
s1
s-1
1mDt
2m
(s-1)m
sm
sm
sm
sm
sm
63
M / M / 1 / DG / P / ? markoviano,
markoviano, 1 servidor, población finita, cola
infinita
Pl
(P-1)l
(P-2)l
(P-n1)l
(P-n)l
l
....
....
0
1
2
n
P
3
m
m
m
m
m
m
m
64
M / M / 1 / DG / ? / K markoviano,
markoviano, 1 servidor, población infinita, cola
finita
l
l
l
l
l
l
....
....
0
1
2
n
K
3
m
m
m
m
m
m
m
65
Estudio de otros ME

• Los 4 ejemplos anteriores corresponden a los
  casos clásicos en teoría l.e. Veamos otros
  ejemplos de Poisson o Markovianos de interés
• M / M / s / DG / ? / K
• M / M / s / DG / P / ?
• Caso Finito M / M / s / DG / P / ? s ? P
• Autoservicio M / M / ? / DG / ? / ?
• Modelo de Servicio de Máquinas
• M / M / s / DG / P / P s ? P