ELECTROMAGNETISME II

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ELECTROMAGNETISME II

• Les régimes variables et les équations de Maxwell

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Chapitre 1 L1 RAPPELS (1)Loutil
mathématiqueLes champs et les opérateurs
différentiels

• Champ scalaire, champ de vecteur
• Opérateurs différentiels et équations locales
• Champ et symétrie (recherche des plans de
  symétrie et dantisymétrie, vecteur ou vecteur
  polaire et pseudo-vecteur ou vecteur axial )
• Champ uniforme
• Champ stationnaire, permanent, constant
• Fonction de plusieurs variables et différentielle
  de cette fonction

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Chapitre 1 L1 RAPPELS (1)Loutil
mathématiqueLes champs et les opérateurs
différentiels

• Champ de vecteurs a
• Lignes de champ
• dOM x a 0
• dOM k a dx/ax dy/ay dz/az
• Circulation
• CM1M2 ?G(M1,M2) a.dOM
• lintégrale est calculée le long de la courbe
  dun point M1 à un point M2
• Élément de surface orienté et flux
• surface sappuyant sur un contour orienté et
   règle du tire bouchon de Maxwell 
• surface fermée et  de lintérieur vers
  lextérieur 
• ? ?S a.dS
• dans le cas dune surface fermée on parle de
  flux sortant

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Chapitre 1 L1 RAPPELS (1)Loutil
mathématiqueLes champs et les opérateurs
différentiels

• Définition des opérateurs différentiels.
• Espace rapporté à des coordonnées cartésiennes
  (Oex,ey,ez)
• Le gradient champ de vecteur attaché à un champ
  scalaire f
• grad f(x,y,z) (? f/dx )ex (? f/dy)ey (?
  f/dz)ez
• df grad f . dOM la circulation élémentaire
  de grad f est égale à la différentielle de la
  fonction f
• le vecteur grad f est normal aux surfaces f
  Cte et dirigé vers les valeurs croissantes de f

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Chapitre 1 L1 RAPPELS (1)Loutil
mathématiqueLes champs et les opérateurs
différentiels

• Définition des opérateurs différentiels.
• Espace rapporté à des coordonnées cartésiennes
  (Oex,ey,ez)
• La divergence champ scalaire attaché à un champ
  de vecteur a
• div a ? ax/ ? x ? ay/ ? y ? az/ ? z
• Définition intrinsèque de la divergence de a
• Soit ? F le flux sortant de lélement de volume
  ? t
• Alors div a lim dt?0 (? F/ ? t )
• Interprétation de la divergence
• on prend un champ a aOM
• lignes de champ divergent ou
• convergent à partir du point
• O suivant le signe de alpha

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Chapitre 1 L1 RAPPELS (1)Loutil
mathématiqueLes champs et les opérateurs
différentiels

• Définition des opérateurs différentiels.
• Espace rapporté à des coordonnées cartésiennes
  (Oex,ey,ez)
• Le rotationnel
• champ de vecteur attaché à un champ de vecteur a
• rot a (? az/dy-? ay/dz)ex (? ax/dz-?
  az/dx)ey(? ay/dx-? ax/dy)ez
• On peut exprimer rot a à laide du déterminant
  dune matrice
• Définition intrinsèque du rotationnel
• (rot a).n lim ? S? 0 ? C/ ? S
• Un contour fermé G,
• un sens de circulation positif, une surface S,
• un vecteur normal n et une circulation C
• Interprétation physique du rotationnel
• il évoque la rotation

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Chapitre 1 L1 RAPPELS (1)Loutil
mathématiqueLes champs et les opérateurs
différentiels

• Définition des opérateurs différentiels.
• Espace rapporté à des coordonnées cartésiennes
  (Oex,ey,ez)
• Le laplacien scalaire le laplacien vectoriel
• DV ?2 V/dx2 ?2 V/dy2 ?2 V/dz2
• Da (Dax) ex (Day) ey (Daz) ez
• Léquation DV 0 porte le nom déquation de
  Laplace

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Chapitre 1 L1 RAPPELS (1)Loutil
mathématiqueLes champs et les opérateurs
différentiels

• Définition des opérateurs différentiels.
• Espace rapporté à des coordonnées cartésiennes
  (Oex,ey,ez)
• Tous ces opérateurs sont linéaires.
• a une constante
• Op(aa) aOp(a) Op(a1a2) Op(a1)Op(a2)
• Op(af) aOp(f) Op(f1f2) Op(f1) Op(f2)

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Chapitre 1 L1 RAPPELS (1)Loutil
mathématiqueLes champs et les opérateurs
différentiels

• Combinaison deux à deux des opérateurs
  différentiels du premier
• Ordre
• div(grad f) Df
• div(rot a) 0
• rot (grad f) 0
• rot(rot a) grad(div a) Da
• Le vecteur Nabla ? en coordonnées cartésiennes
• ? ex ? /dx ey ? /dy ez ? /dz

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Chapitre 1 L1 RAPPELS (1)Loutil
mathématiqueLes champs et les opérateurs
différentiels

• Théorème de Green-Ostrogradsky
• ? ?S fermée a.dS ? ? ?V(S) diva dt
• Pour démontrer ce théorème il faut utiliser la
  définition intrinsèque de div a et découper le
  volume V en petits parallélépipèdes et prendre en
  compte que pour deux éléments de volume ayant une
  face commune laspect flux sortant ..
• À connaitre, très utile, pour une démonstration
  math rigoureuse voir cours danalyse.

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Chapitre 1 L1 RAPPELS (1)Loutil
mathématiqueLes champs et les opérateurs
différentiels

• Théorème de Stokes-Ampère
• . ?G fermée a.dl ? ?S(G) rot a . dS
• circulation de a sur le contour fermé G sur
  lequel sappuye la surface ouverte S
• Le sens de dS est fixé par le sens positif de
  circulation sur G
• Ce théorème est admis et à connaitre
• La démonstration .. Utilise définition
  intrinsèque de rot a

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L2 RAPPELS (2)Les équations locales des
régimes statiques

• 1. Champ électrique E pour une distribution de
  charges caractérisée par la densité volumique
  r(P)
• rot E 0 . (1)
• div E r /e0 . (2)
• Le champ E tend vers 0 lorsquon séloigne à
  linfini de la
• distribution de charges. Cette condition et les
  équations 1 et
• 2 suffisent pour déterminer parfaitement le champ
  E.
• Les théorèmes de Stokes-Ampère et
  Green-Ostrogradsky
• permettent décrire les relations intégrales
  correspondantes
• rot E 0 ? ?C fermée E.dl 0
• div E r /e0 ? ? ?S fermée E.dS 1 /e0 ? ?
  ?V(S)rdt
• Cette dernière relation exprime le théorème de
  Gauss

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L2 RAPPELS (2)Les équations locales des
régimes statiques

• 2. Potentiel électrique et équation de Poisson
• V E - grad V .
  (3)
• div grad V r /e0 0
• Equation de Poisson
• D V r /e0 0.
  (4)
• Cette équation définit de façon unique une
  fonction V lorsque les conditions aux limites et
  r sont données
• Les équations (3) et (4) sont équivalentes aux
  équations (1) et (2) pour le calcul de E

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L2 RAPPELS (2)Les équations locales des
régimes statiques

• On déduit de ces équations le champ et le
  potentiel dune charge ponctuelle
• E(M) (1/ 4p e0 )q(P) PM / PM3.
• V(M) (1/ 4p e0)q(P) / PM Cte
• Pour une distribution de charges r(P) on obtient
  
• E(M) (1/ 4p e0 ) ? ? ? (r(P) PM / PM3)dt.
• V(M) (1/ 4p e0) ? ? ? (r(P) / PM) dt
• Lexpression de V correspond à V 0 à linfini.
  Ce choix peut
• ne pas convenir si la distribution comporte des
  charges à linfini

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L2 RAPPELS (2)Les équations locales des
régimes statiques

• 3. Loi de Coulomb
• F qE
• 4. Les équations locales loi de Coulomb ?
• Formulation des lois de lélectrostatique.

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L2 RAPPELS (2)Les équations locales des
régimes statiques

• 5. Continuité de V et discontinuité de E en
  présence dune distribution superficielle de
  charges ( s dq/dS)
• E2 E1 (s/ e0) n12
• La composante tangentielle de E est continue à
  la traversée dune surface chargée
• La composante normale de E subit une
  discontinuité égale à s/ e0 à la traversée dune
  surface chargée
• 6. Le potentiel nadmet pas dextremum en dehors
  des charges
• 7. Energie électrostatique dune distribution de
  charge
• Ue ? ? ?D r(P)V(P)dt e0 /2? ? ?espace E2 dt
  .

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L2 RAPPELS (2)Les équations locales des
régimes statiques

• 1. Champ magnétique B pour une distribution
  volumique statique de courants j(P)
• div B 0. (5)
• rot B m0j. (6)
• B tend vers 0 lorsquon séloigne à linfini
  dune distribution de courant.
• Le théorème dHelmholtz montre que les équations
  5 et 6, avec la condition à linfini, suffisent à
  déterminer parfaitement le champ B
• Les théorèmes de Stokes-Ampère et
  Green-Ostrogradsky permettent décrire les
  relations intégrales
• rot B m0j ? ?C fermée B.dl m0 ? ?S(C)
  jdS
• div B 0? ? ?S fermée B.dS 0
• La première relation traduit linexistence de
  charges
• magnétiques, la seconde le théorème dAmpère

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L2 RAPPELS (2)Les équations locales des
régimes statiques

• 2. Potentiel vecteur du champ magnétique
• A B rot A
  (7)
• Si A est solution A grad f est aussi solution
  pour tout champ scalaire f
• Équation locale A, j
• DA m0j 0 avec div A 0. (8)
  
• Avec DA grad div A - rot rot A .
• div A 0 est obtenu en utilisant le fait que A
  nest défini quà un gradient près.
• Pour le calcul de B les équation 5 et 6 sont
  équivalentes aux équations 7 et 8

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L2 RAPPELS (2)Les équations locales des
régimes statiques

• On déduit de 5,6 et 7,8 les expressions du
  potentiel et du champ pour une distribution
  volumique de courant
• A(M) m0 /4p? ? ? j (P) /PM dt
• B(M) m0 /4p? ? ?( j (P) x PM) / PM3 dt
• On sait que pour un circuit filiforme il suffit
  de remplacer jdt par Idl on reconnaît alors la
  formule de Biot et Savart
• B(M) m0 /4p ? ( Idl(P) x PM) / PM3

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L2 RAPPELS (2)Les équations locales des
régimes statiques

• 3. Discontinuité du champ B dans le cas dune
  distribution superficielle de courants
• B2 B1 m0 ( jS x n12) .
• La composante tangentielle de B subit une
  discontinuité à la traversée dune nappe de
  courant

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L2 RAPPELS (2)Les équations locales des
régimes statiques

• 4. Action dun champ magnétique
• Force de Lorentz F q(E v x B)
• Action mécanique exercées par B sur une boucle de
  courant
• df(P) Idl(P) x B (P)
• dG0 OP x df , ..
• Soit M IS le moment magnétique du circuit..
• Alors à léchelle de la boucle de courant
  laction mécanique se traduit essentiellement par
  un couple qui tend à orienter M selon B
• G M x B
• et si on tient compte de linhomogénéité de B la
  résultante de la force de Laplace
• R ( M.grad ) B

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L2 RAPPELS (2)Les équations locales des
régimes statiques

• 5. Dipôle électrique
• Soit p( O) ( q NP) alors V(M) et E(M)
• V(M) (1/ 4p e0 ) ( p.OM )/OM3 .
• E(M) (1/ 4p e0 )3(p.OM)OM/OM5 p/OM3
• 6. Dipôle magnétique
• Soit M (O) ( IS ) alors B(M) et A(M)
• A(M) (m0 /4p) (M x OM) / OM3
• B(M) (m0 /4p) 3OM(M .OM)/OM5 M / OM3