Diapositiva 1

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Enseñando Polinomios
ENTRAR
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Introducción

• Las personas piensan que las matemáticas son
  solo importantes para el trabajo o para el
  colegio. Pero están equivocadas, ya que las
  matemáticas sirven para la vida diaria.
• En este ABP, dirigido por nuestro profesor
  Harold Ayala Coronado, hemos aprendido diferentes
  cosas acerca de los polinomios.
• Esperemos que con este trabajo, ustedes
  puedan aprender todo lo que nos han enseñado.

Empezar
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Menú

• Polinomios en R.
• Grados de un monomio.
• Grados de un polinomio.
• Polinomios especiales.
• Operaciones con Polinomios.
• Ejercicios y problemas desarrollados.
• Ejercicios propuestos.
• Citas Bibliográficas.

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Polinomios en R

• Un polinomio es una expresión algebraica formada
  solamente por la suma de términos de la forma
  , donde "a" es cualquiera y "n" no es un número
  entero no negativo.
• El polinomio en R, tiene diferentes clases
• 1. Monomio Cuando un polinomio tiene un sólo
  término.
• 2. Binomio Cuando un polinomio tiene dos
  términos.
• 3. Trinomio Cuando un polinomio tiene tres
  términos.
• Cuando los polinomios tiene más de tres términos,
  no reciben ningún nombre.

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Ejemplos de polinomios en R
Monomios Binomios Trinomios
3x 7x 4 n2 3n 2
25 3a 5b 3x4 3x 5x2
-9x2y3 n2 3n 4xy 9xy2 11xy
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Grados de un Monomio

• Grado relativo
• Se refiere a una de las variables del monomio, y
  es el exponte de dicha variable.
• Ejemplo
• 4a3b2
• En este caso tenemos dos letras, entonces
  tendremos dos grados relativos, uno con respecto
  a la letra a y otro con respecto a la letra b. En
  ambos casos el grado relativo no será otra cosa
  que el exponente que afecta a cada letra. La
  parte numérica no tiene ninguna
  importancia.GR(a) 3 (el Grado Relativo con
  respecto a la letra a es 3)GR(b) 2 (el Grado
  Relativo con respecto a la letra b es 2)

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• X5y3z
• En este caso debemos recordar que la letra sin
  exponente llevara un 1 x5y3y1GR(x) 5 (el
  Grado Relativo con respecto a la letra a es
  5)GR(y) 3 (el Grado Relativo con respecto a la
  letra a es 3)GR(z) 1 (el Grado Relativo con
  respecto a la letra a es 1)

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• Grado absoluto
• Se refiere a la suma de los exponentes de las
  variables.
• 4a3b2
•   
• En este caso sumaremos el exponente de la letra a
  con el exponente de la letra bGA 3 2 5 (el
  Grado Absoluto es 5)
•  
• X5y3y1
• Recordamos que el exponente de la letra y es 1
•  
• X5y3z
•  GA 5 3 1 9 (el Grado Absoluto es 9)

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Grados de un Polinomio

• Grado relativo
• Se refiere a una de las variables de la
  expresión, y es el mayor exponente de ella en la
  expresión.
• 4a³b² 5a5b
• En este primer ejemplo tenemos un binomio.
  Nosotros ya sabemos que tendremos tantos grados
  relativos como letras tenga la expresión
  algebraica. Entonces tendremos dos grados
  relativos.
• 4a³b² 5a5b1
• Antes de seguir trabajando completo los
  exponentes que "no se ven"

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• 4a3b2 5a5b1
• Estamos viendo que para el caso de la letra a,
  tenemos el exponente 3 y el exponente 5. Nosotros
  tomaremos como Grado Relativo con respecto a la
  letra a al mayor de estos exponentes (en este
  caso 5)GR(a) 5 (Grado Relativo con respecto a
  la letra a es 5)
• 4a3b2 5a5b1
• Para la letra b hacemos lo mismo, es decir,
  comparamos los exponentes que afectan a dicha
  letra (en este caso los exponentes son 2 y 1) y
  tomamos el mayor como Grado Relativo (en este
  caso 2).GR(b) 2 (Grado Relativo con respecto a
  la letra b es 2)

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• Grado absoluto
• Es el mayor grado absoluto de uno de sus
  términos.
• 4a3b2 5a5b
• Este ejemplo es un binomio. Sabemos que tendremos
  un solo Grado Absoluto.
• 4a3b2 5a5b1
• Completo los exponentes que "no se ven" con 1.
• 4a3b2 5a5b1
• Trabajo independientemente cada termino y sumo
  los exponentes, en el primer termino tengo los
  exponentes 3 y 2, mismos que sumados dan 5.

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• 4a3b2 5a5b1
• Trabajo ahora con el segundo termino, ahí están
  los exponentes 5 y 1, mismos que sumados dan 6.
• 4a3b2 5a5b1
• Me quedare como Grado Absoluto con la suma que de
  un resultado mayor, en este caso entre el 5 y el
  6, me quedare con el 6.GA 6 (el Grado Absoluto
  es 6)

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Polinomios Especiales
Hola!! Les presentaremos las clases de polinomios
especiales
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Clases de Polinomios Especiales

• Polinomios completos cuando una letra tiene
  todos los exponentes consecutivos, desde la más
  alta hasta la más baja.
• Ejemplo

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• Polinomios ordenados los exponentes de las
  variables de todos los términos están ordenadas
  ya sea ascendentemente o descendentemente.
• Ejemplo

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• Polinomios homogéneos son aquellos en que los
  grados de cada ternito son iguales.
• Ejemplo

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• Polinomios idénticamente nulos son aquellos en
  que su coeficiente son 0.
• Ejemplos

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Operaciones con Polinomios

• Adición de polinomios.
• Sustracción de Polinomios.
• Multiplicación de polinomios.
• Productos Notables e Identidades de Legendre

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Adición de Polinomios

• Dos polinomios se suman agrupando los términos de
  uno y otro y simplificando los monomios
  semejantes (del mismo grado). Para realizar en la
  práctica la suma de dos polinomios se sitúan uno
  sobre otro haciendo coincidir en la misma columna
  los términos de igual grado, con lo que la
  simplificación de términos semejantes es
  automática. Pero puede hacerse más fácil la
  operación reuniendo los términos de igual grado y
  sumarlos o restarlos según su signo.
• Ejemplo
• P(x) 3x4 5x2 7x con Q(x) x3 2x2 11x
  3 se procede así
• P(x) Q(x) (3x4 5x2 7x) (x3 2x2 11x
  3) 3x4 x3 x2 (2 5) x (7 11) 3
  P(x) Q(x) 3x4 x3 3x2 4x 3

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Sustracción de polinomios

• Para restar solo se cambian los signos del
  segundo término y luego se tiene que sumar.
• 4x4 - 2x3 3x2 - 2x 5--- - 5x3 --- x2 2x
  _____________________4x4 3x3 2x2 -----5

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Multiplicación de polinomios

• Para multiplicar dos polinomios se deben
  multiplicar todos los monomios de unos por todos
  los del otro y sumar los resultados. ("Atención
  especial al producto de potencias de la misma
  base")Si uno de los dos polinomios es un
  monomio, la operación es simple.En el caso en
  que ambos polinomios consten de varios términos,
  se puede indicar la multiplicación de forma
  semejante a como se hace con número de varias
  cifras, cuidando de situar debajo de cada monomio
  los que sean semejantes.

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• En la siguiente imagen se puede ver el producto
  de dos polinomios de varios términos.

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Productos Notables e Identidades de Legendre

• Los productos notables y las identidades de
  Legendre te
• ayudan a resolver ejercicios de polinomios por
  simple
• inspección. Los productos notables son
• Binomio de Suma al Cuadrado
• ( a b )² a² 2ab b²
• Binomio Diferencia al Cuadrado
• ( a - b )² a² - 2ab b²
• Diferencia de Cuadrados
• ( a b ) ( a - b ) a² - b²

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• Binomio Suma al Cubo
• ( a b )³ a³ 3 a²b 3 ab² b³
• a³ b³ 3 ab (a b)
• Binomio Diferencia al Cubo
• ( a - b )³ a³ - 3 a²b 3 ab² - b³
• Suma de dos Cubos
• a³ b³ ( a b ) ( a² ab b²)
• Diferencia de Cubos
• a³ - b³ ( a - b ) ( a² ab b²)
• ? Trinomio Suma al Cuadrado ó Cuadrado de un
  Trinomio
• ( a b c)² a² b² c² 2ab 2bc 2ac
• a² b² c² 2 ( ab bc ac)

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• Trinomio Suma al Cubo
• ( a b c)³ a³ b³ c 3(a b) . (b c) .
  (a c)
• Producto de dos binomios que tienen un término
  común
• ( x a)(x b) x2 ( a b) x ab

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Identidades de Legendre

• Identidades de Legendre
• ( a b)2 ( a b)2 2 a2 2b2 2(a2 b2)
• ( a b)2 ( a b)2 4 ab

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(No Transcript)
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Ejemplos de grado Relativo y Absoluto de un
Monomio

• Ejemplo de Grado Relativo de un Monomio
• 4a3b2
• GR(a) 3 (el Grado Relativo con respecto a la
  letra a es 3)
• GR(b) 2 (el Grado Relativo con respecto a la
  letra b es 2)
• Ejemplo de Grado Absoluto de un Monomio
• 4a3b2 ---------gtGA 3 2 5 (el Grado Absoluto
  es 5)
• x5y3z ------gt GA 5 3 1 9 (el Grado Absoluto
  es 9)

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Ejercicios de Polinomios
Ejemplo de simplificar polinomios. (-3x32y2) (-8x29xy) -3x3(2y2 -8x2)9xy -3x3- -6x2 9xy Simplifica (6y2 - 3y - 1) - (7y2 - y) 6y2 - 3y - 1 6y2 -3y -1-(7y2 - y) _ -7y2 y_____-y2 - 2y 1 Cabe resaltar, que aquí, el resultado se da en forma ordenada descendente.
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Ejercicios de Polinomios
P(x) 5x 11 y Q(x) x3 2x2 4. hallar P(x) . Q(x) P(x) . Q(x) (5x 11) (x3 2x2 4) P(x) . Q(x) 5x4 10x3 20x 11x3 22x2 44 (sumamos) P(x) . Q(x) 5x4 (10 11) x3 22x2 20x 44 P(x) . Q(x) 5x4 21 x3 22x2 20x 44 Cabe resaltar que la multiplicación de polinomios, cumple las propiedades conmutativa y asociativa. 4x4 2x3 3x2 2x 5 ) ( 5x3 x2 2x ) 4x4 2x3 3x2 2x 5 5x3 x2 2x 4x4 (2x3 5x3) (3x2 x2 ) (2x 2x ) 5 4x4 7x6 4x2 4x 5
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Reglas de Productos Notables
1. Binomio de Suma al Cuadrado ( a b )2 a2 2ab b2 2. Binomio Diferencia al Cuadrado ( a - b )2 a2 - 2ab b2 3. Diferencia de Cuadrados ( a b ) ( a - b ) a2 - b2 4. Binomio Suma al Cubo ( a b )3 a3 3 a2b 3 ab2 b3 a3 b3 3 ab (a b) 5. Binomio Diferencia al Cubo ( a - b )3 a3 - 3 a2b 3 ab2 - b3 6. Suma de dos Cubos a3 b3 ( a b ) ( a2 ab b2) ?7. Diferencia de Cubos a3 - b3 ( a - b ) ( a2 ab b2)
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?8. Trinomio Suma al Cuadrado ó Cuadrado de un Trinomio ( a b c)² a² b² c² 2ab 2bc 2ac a² b² c² 2( ab bc ac) ?9. Trinomio Suma al Cubo ( a b c)³ a³ b³ c 3(a b) . (b c) . (a c) ?10. Identidades de Legendre ( a b)² ( a b)² 2 a² 2b² 2(a² b²)( a b)² ( a b)² 4 ab ?11. Producto de dos binomios que tienen un término común ( x a)(x b) x² ( a b) x ab Todos estos productos notables, son los más conocidos, no son los únicos. Todos los productos notables, como su mismo nombre lo indica, son aplicables, solamente en la multiplicación.
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Productos Notables

• Recordar que
• (a b)²    a² 2ab b²         
•  (a -  b)²    a² -  2ab b²          
• (a b)(a -  b)    a² -  b²
• EJEMPLOS
• 1 ) ( x y )² x² 2xy y²
• 2 ) ( n - p )² n² - 2np p²
• 3 ) ( 2a 3b )( 2a - 3b ) ( 2a )² - ( 3b )²
  4ª² - 9b²

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Ejercicios Resueltos
1.-  ( p     q )²    A )  2p     2q B )  p²     q² C )  p²     2pq     q² D )  p     q² E )  p²     q Rpta p²     2pq     q ² 2.-  ( k   -   m )²    A )  k²   -   m² B )  k²     2km     m² C )  k²     2km   -   m² D )  k²   -   2km     m² E )  k²   -   2km   -   m² Rpta D )  k 2   -   2km     m 2
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Ejercicios
3.-  ( w     z )( w   -   z )    A )  2w B )  w²   -   z² C )  w²     z² D )  w²   -   2wz     z² E )  w²     2wz     z² Rpta w²   -   z² 4.-  ( a   -   b )( a     b )    A )  a²   -   b² B )  b²   -   a² C )  a²     b² D )  2² E )  - 2b Rpta a²   -   b²
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Ejercicios
5.-  ( 3c     2n )²    A )  9c     4nB )  3c²     2n?3C )  9c²     4n²D )  9c²     6cn     4n²E )  9c²     12cn     4n² Rpta 9c 2     12cn     4n² 6. ( 2t   -   r )²    A )  2t²   -   r 2B )  4t²     4tr     r²C )  4t²     4tr   -   r²D )  4t²   -   4tr     r²E )  4t²   -   4tr   -   r² Rpta 4t²   -   4tr     r²
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Ejercicios
7.-  ( 5x     4y )( 5x   -   4y )    A )  5x²   -   4y² B )  25x²   -   16y² C )  25x²     16y² D )  25x   -   16y E )  10x Rpta 25x²   -   16y ²
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Ejercicios Resueltos de Productos Notables

• 1. (a b ) ( c d ) a c a d b c b d
• 2. ( a b ) ( a c ) a 2 ( b c ) a b c
• 3. ( a b )² a 2 2 a b b 2
• 4. ( a b )² a 2 2 a b b 2
• 5. ( a b ) ( a b ) a 2 b 2
• 6. ( a b )³ a 3 3 a 2 b 3 a b 2 b 3
• 7. ( a b )³ a 3 3 a 2 b 3 a b 2 b 3
• 8. ( a b c )² a 2 b 2 c 2 2 ( a b a
  c b c )
• 9. ( a b c )² a 2 b 2 c 2 2 ( a b a
  c b c )
• 10. ( a b ) ( a 2 a b b 2 ) a 3 b 3
• 11. ( a b ) ( a 2 a b b 2 ) a 3 b 3
• 12. ( a 2 a b b 2 ) ( a 2 a b b 2 ) a 4
  a 2 b 2 b 4

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Ejercicios propuestos

• Halla el grado absoluto.
• 1. 2x²y³
• El grado absoluto es 7.
• El grado absoluto es 2.
• El grado absoluto es 5.

40
INCORRECTO

• La respuesta correcta es 5.
• Tenías que sumar los grado de las variables.
• 325

41
CORRECTO
42

• Hallar el grado absoluto.
• x4 y 2xy³
• El grado absoluto es 2.
• El grado absoluto es 5.
• El grado absoluto es 4.
• El grado absoluto es 1.

43
INCORRECTO

• El grado absoluto es 4.
• Se calcula indicando el mayor grado absoluto de
  uno de sus términos.

44
CORRECTO
45

• Resuelve
• (8y 6x) - (34y - 10x)
• 16x - 26y
• 17x-16y
• 42x42y
• N.A

46
INCORRECTO
47
CORRECTO
48

• Resolver
• 7. (w z)(w - z)
• w²2wzz²
• w² - z²
• (wz)²

49
INCORRECTO
50
CORRECTO
51
(No Transcript)
52
Citas Bibliográficas
A continuación les presentaremos las Web de la
información adquirida.
53
Web

• 1. Consultada el 18/07/05. Disponible en la
  siguiente Web http//www.ejercitando.com.ar/teorm
  ate/suma20de20polinomios.htm
• 2.Consultada el 18/07/05. Disponible en la
  siguiente Web http//www20.brinkster.com/fmartine
  z/algebra3.htmsemejantes
• 3. Consultada el 18/07/05. Disponible en la
  siguiente Web http//www.librosvivos.net/noticias
  .asp?idud1223ampid_libro1022id_marca1002est
  2,0,2
• 4. Consultada el 18/07/05. Disponible en la
  siguiente Web http//www.ing.unlp.edu.ar/decanato
  /ingreso/ing02/Material/14_EA_Polinomios_b.pdf
• 5. Consultada el 18/07/05. Disponible en la
  siguiente Web http//www.cnice.mecd.es/Descartes/
  Bach_CNST_1/Polinomios/polinom1.htmsuma

54

• 6. Consultada el 18/07/05. Disponible en la
  siguiente Web http//platea.pntic.mec.es/ascatal
  a/polinomios.htmprodnot
• 7. Consultada el 18/07/05. Disponible en la
  siguiente Web http//html.rincondelvago.com/polin
  omios_2.html
• 8. Consultada el 18/07/05. Disponible en la
  siguiente Web http//platea.pntic.mec.es/ascatal
  a/polinomios.htmprodnot
• 9. Consultada el 18/07/05. Disponible en la
  siguiente Web http//www.comenius.usach.cl/webmat
  2/conceptos/desarrolloconcepto/productos_notables_
  desarrollo.htm
• 10. Leoncio Santos Cuervo. Polinomios (1).
  Definición y ejemplos (ref 18 de julio 2005
  http//www.cnice.mecd.es/Descartes/Bach_CNST_1/Pol
  inomios/polinom1.htmpolino
• 11. Anónimo. Polinomios. Conocimientos previos
  (ref 18 de julio 2005)http//platea.pntic.mec.es/
  ascatala/polinomios.htm

55

• 12.Anónimo. Polinomios (ref 18 de julio
  2005)http//ciencias.bc.inter.edu/ntoro/polinw.htm
  
• 13.Anónimo. Polinomios. Polinomios (ref 18 de
  julio 2005)http//www.librosvivos.net/noticias.asp
  ?idud1223id_libro1022id_marca1002est2,0,2
• 14. Introducción al álgebra. Polinomios Completo.
  Consultada 18/07/05. http//www20.brinkster.com/fm
  artinez/algebra1.htmpcomplet
• 15.Polinomio heterogneo. Consultada el 18/07/05.
  Disponible en la siguiente Webhttp//www.upes.edu
  .sv/curso
• 16.Polinomio Identico. Consultada el 18/07/05.
  Disponible en lasiguiente Web C\WINDOWS\Archivos
  temporales de Internet\Content.IE5\32O7FXWD\258,3
  ,POLINOMIOS
• 17. Introducción al álgebra. Grado Relativo y
  Absoluto de un monomio. Consultada 18/07/05.
  http//www20.brinkster.com/fmartinez/algebra1.htm

56

• 18. Grado absoluto y relativo de monomios y
  polinomios. Actualizada el 08 de Septiembre del
  2004. Consultada 18/07/05. 17.
• http//www.elmundo.com.sv/vernota.php3?nota36183
  fecha2004-09-08
• 19. Leoncio Santos Cuervo. Monomios. Ministerio
  de Educación, Cultura y Deporte. Actualizada en
  el Año 2000. Consultada 18/07/05.
  http//www.cnice.mecd.es/Descartes/Bach_CNST_1/Pol
  inomios/polinomi.htmmonomio
• 20.Leoncio Santos Cuervo. Definición y ejemplos
  de polinomios. . Ministerio de Educación y
  Ciencia. Actualizada en el año 2001. Consultada
  18/07/05. http//descartes.cnice.mecd.es/Bach_CNST
  _1/Polinomios/polinomios1.htm