Diapositiva 1

1
Si assimila un corpo fisico di massa m ad un
punto materiale P 3 gradi di liberta
(posizione, non ce rotazione) La forza e un
vettore F, principio di sovrapposizione SFi
e ancora una forza F Lo stato di moto e
definito noti i vettori R e V ( VdR/dt)
oppure q mv m dR/dt R e V dipendono dal
sistema di riferimento scelto, che e arbitrario.
Un riferimento e inerziale se , in assenza di
forze q cost (e viceversa) In un sistema
inerziale la variazione di q in presenza di
forze e in dipendente dal Riferimento
dq F dt Fdq/dt La forza e
sempre la manifestazione di una interazione In
una interazione F12 F21 0 in un
sistema isolato S Fi 0 Sono relazioni
vettoriali F dq/dt significa la
simultanea validita di Fx dqx/dt
Fydqy/dt Fz dqz/dt qcost qx
costx qy costy etc Se il corpo e esteso (o si
hanno piu corpi) quanto sopra si applica al
Centro di Massa Il centro di massa si comporta
come un punto materiale dotato di tutta la massa
del sistema e a cui sia applicata la somma delle
forze esterne applicate al corpo. Una forza
applicata al punto P puo avere un momento M
rispetto a un punto O M OP X F d/dt (OPXq)
dLo/dt Lo momento della quantita di
moto Quanto si applica ad F e q si applica a M ed
Lo. MdLo/dt etc
Questi sono postulati. Essi riflettono fatti
sperimentali. La materia si comporta cosi. La
velocita areale e costante perche Lcost
Isolato comprende tutte le parti interagenti
2
CONSEGUENZE
Se f (o Sf) agisce per un tempo dt (impulso)
dI fdt dt dq/dt dq Limpulso e un
vettore
?fdt q2-q1 Se f (o Sf) agisce per un tratto ds
(lavoro) dL f dR dRdq/dt Vdq q/mdq d
(q2/2m)
?F dR Ekfin
Ekiniz Se f agisce per un tratto ds in un tempo
dt F dr / dt dL/dt Fv potenza In
alcuni casi f dR e anche
uguale a - dU(x,y,z) e SfdR -(Uf-Ui) In
questi casi ?fdR - (Uf Ui)
Ekf-Eki Uf Ekf Ui Eki Questo
principio si chiama conservazione dellenergia
meccanica. Una forza per la quale si possa
definire una U si chiama Forza conservativa
Una forza e conservativa se ? f dr 0
lungo qualsiasi cammino chiuso. Microscopicamente
tutte le forze di natura (elastica,
peso/gravita,elettricita etc) hanno questa
proprieta. Macroscopicamente possono presentare
effetti dissipativi. Il lavoro di una forza di
attrito e sempre contraria al moto . (La forza
di attrito e fondamentale per la stabilitadi
strutture composte, pensare alla vite) In
presenza di forze dissipative lenergia meccanica
NON si conserva. Un freno dissipa lenergia
cinetica di una bicicletta e il suo lavoro e
uguale allenergia dissipata.
3
Questo vale per un punto materiale o per il
centro di massa di un sistema esteso che non
abbia moto intorno al CdM . Se il sistema ha
possibilita di muoversi intorno al CdM lenergia
si ripartisce tra i gradi di liberta del moto
del CdM e quelli del moto relativo al
CdM. Lenergia cinetica posseduta da una ruota
E 1/2m V2cdm ½ I ?2 V e ? sono
correlati Vcdm ? R se la ruota non slitta
. Bisogna considerare i momenti delle forze
rispetto al CdM (fatto solo nel caso statico
Archimede e la leva, ma anche caso dello sciatore
)
r1Xmg r2XMg 0 F (Mm)g
.
4
In assenza di attrito la ruota scivola La
accelerazione a e definita da p Ma. e la
velocita finale e fissata dalla conservazione
dellenergia mecc. mgh 0 0 1/2 Mv2 Se ce
attrito la ruota puo rotolare senza
strisciare. Le forze attive sono lattrito a
,diretto lungo X, e il peso p lungo x. La forza
risultante e p-a M acm , quindi il centro di
massa ha una accelerazione minore rispetto al
caso in assenza di attrito. La velocita di P
rispetto al piano e nulla (il pneumatico lascia
unimpronta, come il piede di uno che corre).
Quindi il punto P a cui il piano applica a non
si sposta(ds0) il lavoro dellattrito e
nullo, p e conservativo e il suo lavoro e mgh
variazione di energia cinetica La stessa del
caso in assenza di attrito ma laccelerazione del
cm e minore e quindi
minore la sua velocita finale, una
parte di energia cinetica e andata
nel moto rotatorio
intorno al cm.
z
p
P
P
a
Nel tempo dt il punto di contatto e P e il cdm
ha percorso il tratto ds R d? con una velocita
v ds/dt R d?/dt R ?. La velocita di dm
e Vdm Vcm Vtang
La sua Ecin ½ dm (V2cm V2tang 2 Vcm Vtang)
E tot somma su tutti i dm Etot ½ MV2cm ½
MV2tang Vcm Sdm Vtang ma SdmVtang
0 Poiche Vtang R ? Etot ½ MV2cm ½
MR2?2 Mgh ½ MV2cm lt Mgh MR2 e il
momento di inerzia I del pneumatico . Se il corpo
fosse una sfera piena I 2/5 MR2
5
FORZE CONSIDERATE Peso forza conservativa
tensione forza
interna,statica Molla e elastico forza
conservativa attrito forza dissipativa
NB lattrito non genera mai moto , ma vi si
oppone Casi considerati funi e
sospensioni , la fune trasmette una forza eguale
alla sua tensione. E un vincolo inestensibile
che si oppone ad aumenti di distanza (soffitto
corpo, oppure corpo-corpo). Questo ruolo puo
essere svolto anche da una sbarra rigida, che si
oppone a variazioni di distanza. La fune e
capace di sole tensioni, la sbarra puo essere
compressa.
T
T
T
C
T
T
6
Lattrito si manifesta tra un corpo e un vincolo
su cui il corpo striscia . Il vincolo puo
essere una guida orizzontale o inclinata , ma
anche curva, che impedisce movimenti del corpo
ad essa perpendicolari, in uno o entrambi i
versi. La forza dattrito e sempre
proporzionale alla intensita della forza
esplicata dal vincolo nella direzione ad esso
perpendicolare (reazione normale) ed agisce
tangenzialmente. Quando limpedimento al moto
non viene da un vincolo , ma dallaria ,o
dallacqua si parla di resistenza al moto.

• Un motore applica alla ruota un momento M
• Schematizzato dalla coppia F e F .
• La ruota esercita al suolo la forza - F .
• Se F lt Fa max con Fa max µs M g
• FFa 0 nel punto P, e P e fermo rispetto al
  suolo.
• La risultante delle forze e FFa F F
• la ruota avanza sotto lazione di F applicata al
• suo cm. F Macm
• Se F gt µs M g la ruota slitta, il punto P si
  muove
• rispetto al suolo e µs diventa µd lt µs
  cioe Fa
• diventa Fa µdMg lt F -FFa - F
• F Flt F e la ruota avanza piu lentamente.

F
X
- F
Fa
Il vincolo puo reagire lungo due direzioni una
normale e una parallela al piano inclinato.
Quella normale e Rn mg cos? quella parallela
e lattrito e vale al max. Rp µs Rn
Se non ce attrito Rp 0
7
Il problema tipico e trovare la legge del moto
in presenza di una forza R (t) Questo
richiede lintegrazione della funzione
vettoriale F m d2R/dt2 Cioe delle tre
equazioni scalari Fx Fy
Fz Semplice se la direzione di F e costante (es
peso,attrito su un piano),lequazione vettoriale
si puo semplificare molto assumendo un asse del
riferimento parallelo a F.
Su m agisce F mg cost Fx 0 qx cost
vx cost vox x vox t Fy - mg
dqy/dt y yo voy t ½ gt2
Quando y y max vy0 L -mgymax ½ m
v2f 1/2mvoy2
Ma la forza e anche conservativa L -mgymax
½ m v2f 1/2mvoy2 L - (U(ymax) U(0)) -
mgymax E la vy con la quale tocca il suolo v0y
perche U -mgy e y finale y iniziale
8
La cosa e ancora piu semplice se il moto e
lungo una retta . Nel caso di un moto piano si
possono considerare due esempi moto di un
grave lanciato (parabola o simile se si tiene
conto della resistenza dellaria) o moto
centrale in cui la forza risultante agente non
ha direzione costante ma ha una componente che
punta sempre ad un punto P (pianeti sola
gravita , pendolo g tensione fune..) In
questo caso la velocita varia in direzione o in
direzione e modulo. Laccelerazione ( cioe
dq/dt) ha cioe due componenti una normale alla
traiettoria che provoca il solo il cambiamento
di direzione e che ha intensita a v2/r dove
v il modulo istanteneo della Velocita e r il
raggio locale di curvatura, ed una a Tangente
alla curva a dv/dt dove v e il modulo
della velocita.
Tfune cost M ?2 R Mv2/R Se si accorcia
lentamente la fune tirandola attraverso il foro
la tensione ha momento nullo rispetto a O. Lo
cost RXMv MvR Mvr v/v R/r T Mv2r
Mv2 R2/r Lavoro Ecin f Ecin i
Tsbarra (A) mg M ?2 R Ts (B) M ?2 R
Ts(C) mg M ?2 R
A