Mouvement d

1
Mouvement dune particule chargée dans un champ
électrique et/ou magnétique uniforme et permanent
2
Plan

• Création d'un champ électrique
• Création d'un champ magnétique
• Force de Lorentz
• Energie d'une particule
• Mvt dans
• Mvt dans
• Mvt dans et croisés
• Cas relativiste
• Mvt dans
• Mvt dans

3
Champ électrique
Créé par une charge ponctuelle

• A partir de la loi de Coulomb,
• on définit le champ électrique créé par en

M
où
4
Champ électrique
Créé par une distribution de charges

• Charges ponctuelles
• champ créé en par une charge
  (i1 à N)
• placée en
• Distribution continue
• chaque volume élémentaire porte la
  charge
• qui crée en le champ
• 
  

5
Champ électrique uniforme et permanent
Créé par un condensateur plan
d
x
Q
-Q
U
6
Champ magnétique
Expérience dOersted

• Orientation de laiguille aimantée selon un
  cercle centré sur
• le fil

I
r
7
Champ magnétique
Expérience dOersted

• Orientation de laiguille aimantée parallèlement
  au champ
• magnétique créé par le fil

I
r
8
Champ magnétique
Champ magnétique uniforme et permanent

• Solénoïde  infini 

Bobines dHelmholtz
I
I
R
R
R
9
Force de Lorentz

• Particule de charge et de masse
• Vitesse par rapport à référentiel
  galiléen
• Présence dun champ électrique et dun champ
• magnétique
• La particule est soumise à la force
• appelée force de Lorentz

10
Force de Lorentz

• Elle traduit une des interactions fondamentales
  de la physique.
• Pas de limite à sa validité dans le cadre de nos
  connaissances actuelles.
• Valable en mécanique classique et
  relativiste
• La partie liée à la présence du champ magnétique
• est perpendiculaire au champ et à la
  vitesse .
• Lanalyse dimensionnelle comparée des deux termes
  montre que est homogène à une vitesse.

11
Force de Lorentz
Formule de transformation des champs

• La force de Lorentz et la charge sont
  indépendantes du choix du référentiel galiléen.
• Soit un référentiel galiléen en translation à
  la vitesse par rapport à .
• Composition newtonienne des vitesses
• donc
• 
  

dans
dans
et
12
Force de Lorentz
Equation du mouvement

• On néglige les effets du poids de la particule
  par rapport à ceux de la force de Lorentz
• Deuxième loi de Newton en mécanique classique
• Seule , appelée charge spécifique, est
• expérimentalement accessible à la mesure

13
Energie mécanique d'une particule

• Pour permanent , dérive de
  lénergie potentielle
• où est le potentiel électrostatique
• ne travaille pas
• L'énergie mécanique de la particule
• est une constante du mouvement

14
Energie mécanique d'une particule
Application optique électronique

• Emission délectrons en O à
• vitesse nulle et
• potentiel électrique nul
• Grilles et transparentes aux électrons
  et portées aux potentiels électriques et
  avec
• Absence de champ magnétique
• Mouvement des électrons entre lémission et la
  première grille et entre les deux grilles ?

15
Energie mécanique d'une particule
Application optique électronique

• en O
• sur
• force de O vers G1
• donc de G2 vers G1
• force de G1 vers G2

O
G1 G2
16
Energie mécanique d'une particule
Application optique électronique

• Conservation de

17
Energie mécanique d'une particule
Application optique électronique

• Projection de
• perpendiculairement à

18
Mouvement d'une particule dans un champ
électrique uniforme et permanent

• Particule soumise à laction de
  uniforme et permanent
• Point matériel soumis à laction dun
• champ de pesanteur uniforme et permanent
  
• Trajectoire parabolique dans les deux cas

19
Mouvement dans un champ électrique
Application 1 accélérateur linéaire

• Accélérateur linéaire de Stanford
• 3,2 km de long-60 GeV pour les électrons et
  positrons
• 3 prix Nobel
• 1976 Découverte du quark charm
• 1990 Structure en quarks du proton et du
  neutron
• 1995 Découverte du lepton tau

20
E

• Série de tubes conducteurs séparés par de faibles
  interstices
• Entre deux tubes voisins est appliquée une
  tension alternative
• champ électrique alternatif
• A l'intérieur d'un tube
• le champ est nul et les particules conservent une
  vitesse constante
• Dans l'espace entre les tubes
• le champ accélère les particules, à
  condition qu'elles soient convenablement
  synchronisées
• Les tubes sont de plus en plus longs le temps
  de parcours dans chaque tube doit être identique
  et égal à une demi-période

21
Mouvement dans un champ électrique
Application 2 déviation électrostatique
U

• Déviation de la particule par le champ
• électrique
• Passage en à
• avec la vitesse

22
Mouvement dans un champ électrique
Application 2 déviation électrostatique

• Deuxième loi Newton projetée
• selon Ox
• selon Oy
• En sortie du condensateur
• donc et
• Déviation de la trajectoire de la
  particule
• Si

23
Utilisation dans un tube cathodique
Mouvement dans un champ électrique
Application 2 déviation électrostatique
24
Mouvement dans un champ électrique
Application 3 Conduction dans un métal par les
électrons libres

• Vecteur densité de courant
• où densité volumique délectron
  libre
• vitesse densemble (moyenne)
  des électrons
• Deuxième loi de Newton pour un électron

25
Mouvement dans un champ électrique
Application 3 Conduction dans un métal

• Métal réseau cristallographique idéal défauts
• Déplacement des électrons chocs sur les
  constituants du réseau et les défauts
• vitesse moyenne dun électron après
  un choc
• de direction aléatoire
• temps moyen entre deux chocs successifs
• Loi dOhm locale

26
Mouvement dans un champ électrique
Application 3 Conduction dans un métal

• Conductivité du métal
• 
  

U
I
S
Résistance du conducteur
L
27
Mouvement d'une particule dans un champ
magnétique uniforme et permanent

• La force de Lorentz se réduit à sa partie
  magnétique
• est perpendiculaire à et

Aucune puissance nest fournie à la particule
28
Mouvement d'une particule dans un champ
magnétique uniforme et permanent

• Lénergie cinétique de
  la particule
• est une constante du mouvement
• Le module v de la vitesse est une constante
  du
• mouvement

.v
v.
29
Produit vectoriel

• Cas général

30
Mouvement d'une particule dans un champ
magnétique uniforme et permanent

• Expérience particule soumise à
  laction
• d'un champ uniforme et permanent avec
  une
• vitesse initiale perpendiculaire à
• Choix dun repère adapté
• O position initiale de la particule
• Ox dans le sens et la direction de
• Oz dans le sens et la direction de
• Oy tel que (Oxyz) orthogonal direct

31
Mouvement d'une particule dans un champ
magnétique uniforme et permanent

• Deuxième loi de Newton

avec
32
Mouvement d'une particule dans un champ
magnétique uniforme et permanent

• Selon Oz
• Le mouvement de la particule se fait dans un plan
  
• perpendiculaire au champ magnétique

33
Mouvement d'une particule dans un champ
magnétique uniforme et permanent

• Dans le plan (Oxy) du mouvement
• Soit et léquation
  (3)(1) i(2)

34
Mouvement d'une particule dans un champ
magnétique uniforme et permanent

• Résolution de

avec
35
Mouvement d'une particule dans un champ
magnétique uniforme et permanent

• En utilisant
• On obtient
• soit

36
Mouvement d'une particule dans un champ
magnétique uniforme et permanent

• Sachant que
• on obtient

et
37
Mouvement d'une particule dans un champ
magnétique uniforme et permanent

• On constate que
• Trajectoire circulaire
• de centre C
• de rayon

38
Mouvement d'une particule dans un champ
magnétique uniforme et permanent

• Si qgt0

y
x
C
R
39
Mouvement d'une particule dans un champ
magnétique uniforme et permanent
y

• Si qlt0

C
R
x
40
Mouvement d'une particule dans un champ
magnétique uniforme et permanent

• Dans les deux cas la trajectoire est parcourue
  avec la pulsation
• appelée pulsation cyclotron
• Cette pulsation et la période
  correspondante
• sont indépendantes de la vitesse de la
  particule

41
Mouvement d'une particule dans un champ
magnétique uniforme et permanent

• Cas général
• avec
• et

42
Mouvement d'une particule dans un champ
magnétique uniforme et permanent

• On utilise
• O position initiale de la particule
• Oz selon
• Ox selon
• Oy tel que (Oxyz) orthogonal direct

43
Mouvement d'une particule dans un champ
magnétique uniforme et permanent

• On obtient
• Mouvement hélicoïdal

44
Mouvement d'une particule dans un champ
magnétique uniforme et permanent
45
Mouvement dans un champ magnétique
Application Déflexion magnétique

si
46
Mouvement dans un champ magnétique
Application Cyclotron
47
Mouvement dans un champ magnétique
Application Synchrotron
48
Mouvement dans un champ magnétique
http//www.synchrotron-soleil.fr
49
Mouvement dans un champ magnétique
Application Spectrographe de masse
50
Mouvement dans un champ magnétique
Application Force de Laplace
51
Mouvement dans un champ magnétique
Application Balance de Cotton
52
Mouvement dans E et B uniformes,
permanents et perpendiculaires
y

x

z
53
Mouvement dans E et B uniformes,
Mise en équation

• Deuxième loi de Newton

54
Mouvement dans E et B uniformes,
Equations du mouvement
Mouvement plan
55
Mouvement dans E et B uniformes,
Equations du mouvement

• Détermination de x(t) et y(t)
• avec uxiy vérifiant léquation
  (1)i(2)
• ou

56
Mouvement dans E et B uniformes,
Equations du mouvement

• Détermination de x(t) et y(t)

puisque
avec
et
57
Mouvement dans E et B uniformes,
Equations du mouvement
donc
puisque
58
Mouvement dans E et B uniformes,
Cas particuliers

• Si

où est
la vitesse de dérive
Cycloïde

• Si

Mouvement rectiligne et uniforme
59
Mouvement dans E et B uniformes,
Filtre de vitesse
60
Mouvement dans E et B uniformes,
Effet Hall
Champ magnétostatique
Déplacement des charges positives et négatives
sur les faces 1 et 2
Création dun champ électrique de la face 1
vers la face 2
Mouvement des charges selon Ox
1
x
2
61
Mouvement dans E et B uniformes,
Sonde à effet Hall pour mesurer des champs
magnétiques

• Lintensité I est imposée par le circuit
  dalimentation.
• Le nombre de porteur de charge n par unité de
  volume et la charge q de chaque de porteur
  dépendent du métal conducteur utilisé.
• b dépend de la géométrie du conducteur
• La mesure de la tension (quelques micro
  volts) permet grâce à
• de déterminer le module B du champ magnétique

62
Mouvement dans E et B uniformes,
Cas relativiste

• Si la condition vltltc nest plus vérifiée,
• la seconde loi de Newton sécrit toujours
• avec et
• Les forces conservent les mêmes expressions

63
Mouvement dans B uniforme,
Cas relativiste

• Résultats de la dynamique relativiste
• avec
• et
• Ecte ? cte et vcte

si
64
Mouvement dans B uniforme,
Cas relativiste

• Si , la trajectoire est
  circulaire
• La période du mouvement dépend de v contrairement
  au cas du cyclotron dans le cas non relativiste
• Désynchronisation progressive du mouvement
  hémicirculaire de la particule par rapport au
  champ électrique accélérateur.

65
Mouvement dans E uniforme,
Cas relativiste

• Particule (q,m) initialement au repos et soumise
  au champ électrique uniforme et permanent.
• Mise en équation

66
Mouvement dans E uniforme,
Cas relativiste

• On en déduit
• Si
  (mécanique classique)
• Si
• Existence dune vitesse limite

67
Mouvement dans E uniforme,
Cas relativiste

• On obtient
• Si
• Si

en utilisant
68
Mouvement dune particule chargée dans un champ
électrique et/ou magnétique uniforme et permanent

• Création d'un champ électrique
• Création d'un champ magnétique
• Force de Lorentz
• Energie d'une particule
• Mvt dans
• Mvt dans
• Mvt dans et croisés
• Cas relativiste
• Mvt dans
• Mvt dans