Modelos de Programaci

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Modelos de Programación Lineal

• Charles Nicholson
• Department of Applied Economics and Management,
  Cornell University

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Para qué se utiliza la PL? Respuestas a

• Cuál es la composición de dieta composición que
  minimizaría el costo de lograr cierto rendimiento
  de leche? (animal)
• Cuántos animales maximizarían el ingreso neto de
  un área específica de terreno (recurso de pasto)?
  (rancho)
• Cuáles serían los impactos de un cambio en
  tecnología o una política gubernamental
  relacionada con los precios en la producción y
  precio? (mercado, sectorial)

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Para qué la PL es útil?

• Un rango muy amplio de aplicaciones

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Qué es PL?

• Una técnica de modelaje matemático
• Se utiliza para tomar decisiones respecto a la
  asignación de recursos
• Pero, antes de discutir esto en más detalle,
  debemos preguntar
• Qué es un modelo?

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Qué es un modelo?
X
Modelo de moda
X
Modelo matemático
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Qué es un modelo? Aracil (1997)

• Una representación abstracta de
• ciertos aspectos de la realidad
• No todos los elementos de ella (esto no es
  posible!)
• Estructura basada en elementos seleccionados de
  la realidad
• Elementos elegidos para un propósito particular
• Para dar respuesta a un interrogativo en
  particular
• Relaciones entre los elementos

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Por qué los modelos matemáticos son útiles?

• A veces revelan resultados o relaciones que no
  serían evidentes de otra manera
• Un complementono un sustitutopara nuestros
  modelos mentales
• Permite un análisis de experimentos que serían
  muy caros, peligrosos o imposibles de otra forma
• Pocos experimentos controlados posibles para los
  sistemas socio-económicos
• Nuevas tecnologías o políticas para pequeños
  productores

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Críticas de modelos

• No cuentan con todos los factores relevantes
• Un diseño inteligente lo puede resolver
• Los modelos no pueden, ni deberían, incluir
  todo
• Todos los modelos son imprecisos, algunos son
  útiles
• Con frecuencia los datos para modelos
  cuantitativos son inadecuados
• Imprecisión en los datos ?resultados menos
  confiables
• Especificar suposiciones inteligentes cuando
  hacen falta observaciones
• Utilizar análisis de sensitividad para evaluar
  importancia
• Utilizar el modelo para identificar los datos
  prioritarios

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Críticas de modelos, a continuación

• Modelaje no es Ciencia
• Creencia Solamente experimentos controlados son
  válidos
• Muchos métodos de evaluación de modelos existen
  para mejorar su utilidad como herramientas de
  apoyo de decisiones

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Modelaje en perspectiva.

• En muchas situaciones, se debe tomar una decisión
  importante con información incompleta.
• Dos elecciones
• Tomar la decisión con base solamente en
  intuición, o modelos mentales
• Tomar la decisión con base en múltiples fuentes
  de información, inclusive modelos cuantitativos
• La segunda elección conduce a mejores resultados

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Qué es PL?

• Un tipo de modelo matemático específico
• Maximiza o minimiza una cantidad específica, a
  través de
• Selección de valores para las variables,
• Sujeto a una o más restricciones,
• Todas las ecuaciones son lineales

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Ejemplo elección de productividad de vacas

• Cuál rendimiento (leche, kg/año) maximiza el
  margen neto con los recursos disponibles?

1500 kg/año 2000 kg/año 2500 kg/año Recurso del rancho
Margen neto, /vaca/año 900 1250 1400 --
Pasto requerido, ha/vaca/año 1.0 1.5 2.0 15.0
Mano de obra requerido, ETC/vaca/año 0.20 0.25 0.40 2.0
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Función objetiva

• Maximizar Margen Neto
• Margin Neto
• 900Número de vacas con 1500 kg/año
• 1250Número de vacas con 2000 kg/año
• 1400Número de vacas con 2500 kg/año

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Restricción de área en pastos

• El total requerido de potreros tiene que ser
  menos de la cantidad de terreno disponible en
  pastos
• 1.0Número de vacas con 1500 kg/año
• 1.5Número de vacas con 2000 kg/año
• 2.0Número de vacas con 2500 kg/año
• 15 ha, el total disponible en el rancho

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Restricción de mano de obra

• El total de mano de obra requerido tiene que ser
  menos que la disponibilidad de mano de obra
• 0.20Número de vacas con 1500 kg/año
• 0.25Número de vacas con 2000 kg/año
• 0.40Número de vacas con 2500 kg/año
• 2 ETC, total disponible en el rancho

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Formulación como un problema de PL
Maximizar Función Objetiva Z 900Vaca1500 1250Vaca2000 1400Vaca2500 Recurso del rancho
Subjeto a
Restricción de pasto, ha 1.0Vaca1500 1.5Vaca2000 2.0Vaca2500 15
Restricción de mano de obra, ETC 0.20Vaca1500 0.25Vaca2000 0.40Vaca2500 2
Variables, coeficientes de la función objetiva,
recursos, requerimientos de recursos por unidad
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Problema de PL genérico
Maximizar Función Objetiva Z c1x1 c2x2 c3x3 Recurso del rancho
Sujeto a
Restricción 1 a11x1 a12x2 a13x3 b1
Restricción 2 a21x1 a22x2 a23x3 b2
Variables (actividades) xi, coeficientes de la
función objetiva cj, recursos bi, requerimientos
de recursos por unidad aij
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Solución del problema PL

• Hay muchos algoritmos y programas disponibles
• Solver en Excel es bueno y accesible
• Anteriormente, se enfocó en los cálculos, pero
  ahora es menos necesario con los programas
  disponibles
• Haremos un ejercicio con Solver en Excel

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Solución del problema PL
Maximizar Función Objetiva Z 10,000 9000 12508 14000 Recurso del rancho
Sujeto a
Restricción de pasto, ha 1.00 1.58 12 2.00 lt15
Restricción de mano de obra, ETC 0.200 0.2582 0.400 2
Solución primaria 8 vacas con 2000 kg/año
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Información adicional del modelo PL

• Cuáles restricciones son limitantes?
• Limitante significa que se satisface la
  restricción exactamente
• En este caso, la mano de obra es el recurso
  limitante, no la tierra

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Información adicional del model PL

• El precio sombra del recurso
• El cambio en la función objetiva al incrementar
  por una unidad la cantidad de recurso
• Indica un valor numérico que describe la
  importancia de la restricción en el recurso
  (Cuánto estaría dispuesto a pagar por una unidad
  adicional del recurso?)
• En este caso, una unidad adicional de mano de
  obra aumentaría por 5000 el margen neto
• Si la restricción no es limitante, el precio
  sombra es igual a cero

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Información adicional del model PL

• Reducción en costo de una actividad
• Cantidad que cambiaría la función objetiva si una
  unidad de actividad no parte de la solución
  original está obligado a ser parte de ella
• Si elige vacas de 2500 kg de leche, la función
  objetiva se reduce en 600 de su valor máximo

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Algunos retos con PL

• Cuál es la función objetiva correcta?
• Depende de los objetivos de los productores
• Puede que no sea maximizar el margen neto
• Minimizar riesgo (Programación de riesgo)
• Objetivos múltiples (Programación de criterios
  múltiples)
• Los problemas de rancho son lineales?
• Muchas veces, no lo son
• Los problemas no-lineales pueden ser formulados
• Más difíciles de resolver (aproximaciones
  lineales)

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Algunos retos con PL, a continuación

• Y los problemas dinámicos?
• Muchos problemas traen efectos de temporada del
  año
• Tiempo requerido para la implementación de
  tecnología nueva
• Se pueden utilizar métodos de programación
  multi-periodica o dinámica
• Los productores optimizan?
• Probablemente no, pero los modelos PL pueden
  proveer una pauta de comportamiento (si lo
  hicieran)
• Los métodos alternativos se dirigen hacia esto