Diapositiva 1

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PROBLEMA DI SAINT-VENANT
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Il problema particolare di equilibrio elastico di
notevole interesse applicativo è quello di un
solido elastico, omogeneo, isotropo di forma
cilindrica, ossia un solido che possiamo
chiamare, almeno per la sua forma, trave.
Il problema è stato impostato e risolto da
Adhémar Jean-Claude Barré, conte di Saint-Venant,
nella famosa memoria De la torsion des prismes
presentata allAccademia delle Scienze di Parigi
nel 1853.
trave
sezione trasversale
Il metodo proposto dal Saint-Venant, professore
allÈcole des ponts et Chaussées, per risolvere
il problema unisce al rigore matematico
lintuizione fisica del problema.
Inizia uno dei capitoli più suggestivi della
Scienza delle Costruzioni, proponendo una
soluzione fondamentale per la portata pratica e
stimolante per la congettura (postulato) fatta
per giustificare il procedimento proposto. Tale
congettura, ha rappresentato una vera sfida per
tutti coloro che ne hanno tentato una rigorosa
dimostrazione. Il modello, può apparire piuttosto
lontano dalla realtà esso invece, proprio grazie
allaccennata congettura di Saint-Venant, è in
grado di descrivere il comportamento di molte
travi reali.
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Ipotesi Generali Il probema di Saint-Venant si
basa sulle seguenti ipotesi
1) ipotesi di tipo geometrico si considera una
trave prismatica (asse rettilineo e sezione retta
costante). Nella sezione la dimensione minima e
massima non sono troppo differenti luna
dallaltra la lunghezza della trave è molto più
grande delle dimensioni della sezione retta.
Assumeremo un riferimento cartesiano ortogonale
con lasse z coincidente con lasse della trave
e origine nel baricentro G della sezione .
2) ipotesi sul materiale si considera il
materiale elastico, lineare, omogeneo, isotropo.
3) ipotesi sui carichi si considerano le forze
di massa nulle e le forze di superficie agenti
solo sulle basi e la superficie laterale della
trave risulta scarica mentre le forze di
superficie costituiscono da sole un sistema
equilibrato.
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4) ipotesi sui vincoli si considera il solido
non vincolato coerentemente con lipotesi di
sistema di forze equilibrato. Tuttavia, per
fissare la posizione del solido nello spazio,
impedendo qualunque moto rigido, supporremo che
x
z
Assi principali dinerzia
y
x
y
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5) ipotesi sulle tensioni si considera che
segue che, ossia il tensore degli sforzi è
del tipo
che descrive uno stato di tensione bi-assiale. Il
piano del vettore tensione è quello contenente i
vettori e
esso è perciò parallelo allasse del cilindro.
Come si vede il modello di Saint-Venant, nel caso
più generale, comporta quindi la riduzione da 6 a
3 del numero delle incognite di tensione.
?
?
?
6
Occorre naturalmente rendersi conto che questa
ipotesi sulle tensioni è una previsione sulla
soluzione.
Equazioni costitutive Le equazioni costitutive
del solido elastico, lineare, isotropo scritte
con riferimento alle due costanti elastiche E,
modulo di elasticità normale, e , coefficiente di
contrazione trasversale, si riducono a
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I quattro casi fondamentali di sollecitazione
1) Forza Normale Semplice
2) Flessione Semplice
3) Torsione
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4) Flessione Composta
Il principio di Saint-Venant Ciò che si conosce
delle azioni superficiali applicate sulle travi
sono semplicemente dei sistemi di forze
staticamente equivalenti, in genere ridotti ad
una risultante R e ad un momento risultante M.
Su questo punto Saint-Venant, con riferimento al
suo modello di trave, propose un principio se
una distribuzione di forze superficiali agenti su
una porzione della superficie di un corpo è
sostituita da unaltra agente sulla stessa
porzione di superficie, gli effetti prodotti
dalle due distribuzioni in punti sufficientemente
distanti dalla zona di applicazione della forza
sono gli stessi purché le due distribuzioni di
forze siano staticamente equivalenti, ossia
abbiamo la stessa risultante e lo stesso momento
risultante.
9
(No Transcript)
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se una distribuzione di forze superficiali agenti
su una porzione della superficie di un corpo è
sostituita da unaltra agente sulla stessa
porzione di superficie, gli effetti prodotti
dalle due distribuzioni in punti sufficientemente
distanti dalla zona di applicazione della forza
sono gli stessi purché le due distribuzioni di
forze siano staticamente equivalenti, ossia
abbiamo la stessa risultante e lo stesso momento
risultante.
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analisi numeriche agli elementi finiti che
evidenziano il campo tensionale in elementi
sollecitati da forze normali, e forze di taglio
ciascuna sollecitazione è ottenuta con una
diversa distribuzione delle forze che tuttavia
hanno la stessa risultante.
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Forza Normale Semplice o Azione Assiale
z
y
In questo caso in ogni sezione della trave avremo
la sola presenza di forza normale. Assumiamo,
sulla base dellintuizione fisica, che in ogni
tensione le tensioni siano
. Le condizioni al contorno
sulle basi sono
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Il tensore delle tensioni si riduce a
e lo stato di tensione risulta essere monoassiale.
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Stato di deformazione Dalle equazioni costitutive
si ottiene immediatamente, per il tensore delle
deformazioni la seguente espressione 
Facendo riferimento alle espressioni generali già
considerate in precedenza si ottiene la
variazione di lunghezza
Si vede quindi che ad una forza di trazione (N gt
0) corrisponde un aumento della lunghezza della
trave lopposto si verifica nel caso di
compressione (N lt 0).
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Caratteristica di deformazione assiale Le
sezioni della trave, nel caso della
sollecitazione a forza normale restano piane e
compiono una semplice traslazione nella direzione
dellasse . Questo risultato consente di
descrivere il movimento della generica sezione
retta attraverso la caratteristica di
deformazione assiale, che si indica con e, che è
definita come lo spostamento relativo tra due
sezioni poste a distanza unitaria, ossia 
16
Flessione Semplice (Pura) Si ha flessione
semplice attorno allasse x quando 
Cioè si ha solo un vettore momento parallelo
allasse x.
17
(No Transcript)
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Lesperienza fisica mostra che le deformazioni
cambiano segno fra lintradosso e lestradosso
della trave. Si ha quindi sulla sezione un asse
lungo il quale le deformazioni sono nulle (asse
neutro). Indicando con y la distanza del generico
punto dallasse neutro (baricentrico), è naturale
assumere che le deformazioni ezz siano
zz
Anche per le tensioni, essendo lineari con le
deformazioni avremo
Per determinare k basta considerare lequilibrio
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da cui allora
che prende il nome di formula di Navier. Si noti
che Mx è la coppia attiva nel piano di flessione
(y,z).
Ponendo
il tensore degli sforzi e quello della
deformazione sono
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Il luogo dei punti in cui si ha tensione è nulla
dalla formula di Navier
si ottiene quando y 0 (sullasse x) retta
baricentrica. Viene detto asse neutro della
flessione.
Nel caso di un vettore momento non parallelo
allasse x (Figura) è possibile considerare le
componenti Mx e My
Mx
x
Lo stato di tensione di determina con una
sovrapposizione degli effetti di due flessioni
semplici attorno ai due assi principali dinerzia
My
y
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Il luogo dei punti in cui si ha tensione nulla è
definito dalla equazione 
equazione di una retta baricentrica, detta asse
neutro della flessione.
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Consideriamo una flessione attorno allasse x e
un tronco di trave lungo dz generico.
Mx
Mx
La rotazione relativa fra due sezioni rette poste
a distanza dz, può essere espressa direttamente
in termini di componenti del tensore delle
deformazioni. Tenendo presente che le sezioni
restano piane, ruotando intorno allasse neutro
x, dallesame della figura seguente si vede
facilmente che 
dfx
Dove ez(1)dz è laccorciamento del lembo
superiore mentre ez(2)dz è lallungameneto del
lembo inferiore.
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Per calcolare le tensioni massime e minime basta
considerare nella formula di Navier la distanze
dal bordo inferiore e superiore
in cui sono stati introdotti i moduli di
resistenza relativi allasse x 
x
I moduli di resistenza della sezione rettangolare
di lati b e h sono uguali a parte il segno a
x
y
24
(No Transcript)
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Nel caso della flessione le sezioni rette della
trave restano piane, compiendo una semplice
rotazione intorno allasse x. Di conseguenza si
può introdurre la caratteristica di deformazione
flessionale , definendola come la rotazione
relativa tra due sezioni poste a distanza
unitaria, ossia, se si indica con fx la
rotazione della generica sezione, si può porre 
Dove, per coerenza con la convenzione sui segni
già adottata per Mx, si assumerà
quando porta y su z.
Tenendo presente che la componente ez risulta
Mxy/(EJx), pertanto la caratteristica della
deformazione flessionale è data da 
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Equazione della linea elastica Nel caso delle
travi inflesse è molto utilizzata, per la sua
semplicità, lequazione differenziale della linea
elastica. Tale ricerca si basa sulla relazione
momento flettente - curvatura

-
dove 1/r è la curvatura della linea elastica, EJ
è la rigidezza flessionale della trave. Se la
linea elastica è rappresentata dalla funzione
v v(z),
v v(z)
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nellipotesi che le rotazioni della sezione
trasversali siano piccole rispetto allunità si
ha che
Quindi
M 0 .
EJ
Si nota che, con le usuali convenzioni sui segni,
la curvatura (1/R) ed il momento flettente M
hanno sempre segno opposto
M lt 0
M gt 0
gt 0
lt 0
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L'integrazione dellequazione differenziale
presuppone la conoscenza di M e delle condizioni
al contorno che possono riguardare v e v' . Si
tratta cioè di condizioni geometriche.
v 0
v 0 v 0,
v 0.
v 0
v 0.
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Forza normale eccentrica Quando le azioni
applicate sulla base della trave di Saint-Venant
sono equivalenti staticamente ad una forza ,
parallela allasse z, passante per un punto X,
denominato centro di sollecitazione, distinto dal
baricentro G, la trave si dice soggetta a sforzo
normale eccentrico. Considerando quindi la
generica sezione in cui X indica il punto di
applicazione della forza N (supposta di trazione
e quindi positiva), nella sezione generica della
trave, avremo una forza normale ed un momento
flettente dati da 
in cui e è leccentricità ovvero la distanza di
X dal baricentro G
30
e
My
x
Mx
ex
ey
y
Il principio di sovrapposizione degli effetti ci
consente di esprimere le tensioni come somma di
2 contributi il primo dovuto allazione assiale
N ed il secondo dovuto alla flessione. Ricordando
le relazioni scritte si ha
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lequazione dell'asse neutro della sollecitazione
composta si ottiene ponendo szz 0. In
particolare si vede che tale asse non è
baricentrico.
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Sezione rettangolare Nel caso di trave a sezione
rettangolare con centro di sollecitazione X
appartenente ad una mediana, gli assi principali
di inerzia sono x e y e siano b, h le dimensioni
della sezione. Inoltre N sia di compressione
(pilastro).
P
Una forza P a distanza e dal baricentro è
staticamente equivalente ad una forza P
baricentrica ed a un momento Mx Pe. Lo stato di
tensione si determina quindi con la relazione
P
e
h
x
y
b
h
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P
Somma di una parte costante ed una lineare.
Volendo calcolare le tensioni massime e minime,
si osserva che i moduli di resistenza risultano
-

-
Quindi i valori estremi delle szz sono
Se (6e/h) 1, la sezione risulta tutta compressa
e lasse neutro non taglia la sezione. Viceversa,
se (6e/h) 1 la sezione è parte tesa e compressa
e lasse neutro taglia la sezione.
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P
In questa seconda situazione è interessante il
caso di solidi non reagenti a trazione per i
quali si pone il problema di valutare la
profondità a della zona compressa e la massima
tensione smax.
R
-
smax
Se R è la risultante delle tensioni di
compressione si ha
a
Per lequilibrio alla traslazione deve essere
Per lequilibrio alla rotazione R e P devono
avere la stessa retta di azione (stessa distanza
dalla superficie esterna)
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Dallultima relazione si può ricavare lincognita
a
Dallequilibrio alla traslazione si può ricavare
la massima tensione
Con le quale è possibile eseguire verifiche di
resistenza. Si può osservare che al crescere di e
aumenta la smax che tende a infinito quando
e?(h/2).
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Torsione Nel caso della torsione, le azioni
sulla base si riducono a 
per cui lunica caratteristica di sollecitazione
diversa da zero, in ogni sezione della trave è un
momento torcente costante.
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Sezione circolare Vediamo di studiare la
torsione nel caso di sezione circolare, che è uno
dei più semplici poiché presenta la maggiore
simmetria possibile. Con riferimento alla sezione
circolare piena di raggio R soggetta ad un
momento torcente Mz, si osserva che la generica
sezione ruota attorno al baricentro di un angolo
? proporzionale alla distanza z dalla base
fissa ? ßz.
R
G
x
r
?
P
P
y
ß rappresenta la rotazione relativa fra due
sezioni a distanza unitaria (z1). Un generico
punto P, che si muove in P e distante r dal
centro G, descrive così un arco di circonferenza
di lunghezza ds. Se ? è langolo sotteso allarco
PP si ha
ds r ? .
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Se la rotazione è infinitesima, larco ds può
essere approssimato dalla tangente allarco PP
in P e le componenti di spostamento in direzione
x ed y risultano
x
x
G
Dove a è langolo fra il segmento GP e lasse x.
Sapendo che ds r ?, si ha
a
y
r
P
P
Se il punto P ha coordinate x e y si ha
y
39
Quindi
Tenendo conto che ? ßz si può scrivere
Riguardo allo stato di deformazione, le
componenti della matrice E sono
40
Le tensioni si deducono immediatamente dalle
equazioni costitutive
Per determinare ß è necessario imporre
lequilibrio fra le tensioni ed il momento
torcente applicato.
Se dA è una porzione infinitesima di area della
sezione trasversale A su cui si hanno le tensioni
tangenziali txz e tyz , il contributo al momento
attorno allasse z risulta
x
txz
dA
tyz
y
41
Come sempre, txz dA e tyz dA rappresentano le
forze elementari che vanno moltiplicate per i
rispettivi bracci y ed x per ottenere i momenti.
Per lintera sezione occorre sommare
Il modulo di elasticità G e langolo di torsione
per unità di lunghezza ß sono costanti
nellintegrazione quindi
Avendo indicato con J0 il momento dinerzia
polare rispetto al baricentro. Si ricava così
langolo di torsione per unità di lunghezza
42
Landamento delle tensioni lungo un diametro
qualunque, è rappresentato in figura.
Lungo lasse x (y0) si hanno solo tensioni
tangenziali tyz , date dalla
x
Lungo lasse y (x0) si hanno solo tensioni
tangenziali txz che risultano
y
Lungo un generico raggio la tensione tangenziale
risultante è
43
Ricordando che per la sezione circolare di raggio
R è 
la tensione tangenziale massima risulta
Nel baricentro G lo stato di tensione è nullo.
Per una generica sezione a distanza z dalla base
fissa, la rotazione risulta
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Sezione rettangolare Si consideri una sezione
rettangolare di lati h e b con h b. Il problema
torsione è assai più complesso causa ingobbamento
delle sezioni che non rimangono piane se soggette
a momento torcente Mz.
Il problema non ammette soluzione in forma
chiusa, ma è possibile tuttavia determinarla
mediante uno sviluppo in serie di Fourier.
x
Mz
y
Si utilizzano così relazioni approssimate per
valutare la tensione tangenziale massima.
45
Andamento qualitativo delle txz lungo il lato
Una relazione approssimata applicabile è
tyz
Andamento qualitativo delle tyz lungo il lato
txz
Dove il coefficiente a dipende dal rapporto fra i
lati.
h/b 1.0 1.2 1.5 2.0 3.0 10.0
a 0.208 0.219 0.231 0.246 0.263 0.312 1/3
Si può vedere che a partire da un certo punto in
poi il valore di a tende al valore di 1/3. Per
quelle sezioni per cui è h/b gt 10 si può assumere
46
Sezioni aperte in parete sottile composte con più
rettangoli Molte sezioni usate nelle costruzioni
hanno una forma ottenuta mediante composizione di
rettangoli. Sono un classico esempio di ciò le
seguenti sezioni
Conoscendo quale parte di momento torcente
compete al rettangolo in cui si può pensare
scissa la sezione, si possono applicare ad esso i
risultati ottenuti per ogni rettangolo allungato.
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In generale non si conosce . Come è noto, per una
sezione rettangolare allungata
Questa relazione può essere scritta anche
da cui si deduce che il momento di inerzia per le
sezioni rettangolari allungate è semplicemente 
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Se Mzi è la quota di momento che compete al
rettangolo i-esimo, per lequilibrio dovrà
risultare 
per individuare la quota di momento che compete
al rettangolo i-esimo di lati ai e bi (con ai gtgt
bi) si può pensare che possa dipendere dal suo
momento dinerzia Jti
Per lintera sezione, il momento di inerzia
ridotto è dato dalla somma dei momenti di inerzia
ridotti delle singole parti componenti la sezione.
quindi
49
Con riferimento alla figura sotto
b1
1
2
a1
a3
a2
3
b3
b2
Si può pensare di suddividerla in 3 parti (1, 2,
3).
50
è allora possibile calcolare la tensione
tangenziale massima relativa ad ogni rettangolo e
la tensione tangenziale massima assoluta
51
La teoria di Bredt per sezioni chiuse in parete
sottile La teoria di Bredt ha il suo fondamento
nelle sole equazioni di equilibrio e si applica a
sezione cavi di piccolo spessore soggette a
momento torcente.
52
Nelle travi con sezione tubolare, soggette ad un
momento torcente, si generano tensioni
tangenziali allinterno del tubo, come è mostrato
in Figura.
x
Considerando la linea media, equidistante dai
bordi esterno ed interno (linea C) si fanno
alcune ipotesi sulle tensioni. Se A è un
generico punto della linea C si considera il
vettore tangente t alla linea stessa. Le ipotesi
sulle tensioni tangenziali nella sezione sono
?
y
53
Le tensioni tangenziali nello spessore attraverso
lo spessore sA sono costanti e parallele al
vettore tangente t.
A
t
?
t
?
C
Sezioniamo un tratto della parete del tubo di
lunghezza dz. Alle tensioni tangenziali nella
sezione allinterno del tubo, per lequilibrio
locale alla rotazione, si associano tensioni
tangenziali anche sulle superfici parallele
allasse come mostrato in Figura.
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per lequilibrio delle forze dovute alle tensioni
dellelemento ABCD lungo z si ha
C
B
s
D
A
si deduce quindi che
tB
Quindi per larbitrarietà con cui si sono scelti
gli spessori sA e sB si può scrivere
C
sB
z
B
D
tA
sA
A
dz
55
dove aumenta lo spessore s, si avrà una riduzione
della tensione tangenziale e viceversa.
Possiamo considerare lequilibrio fra momento
torcente e le tensioni tangenziali nella sezione
allinterno del tubo.
Considerando un tratto della linea media di
lunghezza dC la risultante delle tensioni agenti
su questo tratto è una forza dF t s dC,
tangente al bordo ed applicata lungo la linea
media (tratteggiata in Figura) tra il bordo
interno e quello esterno della parete.
b
assumendo un polo O arbitrario, lequilibrio fra
momento torcente e le tensioni tangenziali si
può scrivere
dC
t s dC
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essendo W larea racchiusa dalla linea media C.
Si ottiene così la formula di Bredt (1896)
Generalmente lo spessore s è costante a tratti e
quindi la massima andrà ricercata in
corrispondenza di smin.
Per una sezione chiusa, si considera sottile una
parete quando il quadrato del suo spessore
massimo s, sia molto minore dellarea che
racchiude
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Flessione Composta In tale caso, sono applicate
le seguenti condizioni sulle basi
Si ha presenza di momento flettente e di taglio e
perciò questo quarto caso di sollecitazione
prende il nome di flessione composta.
La ricerca delle tensioni tangenziali condotta,
in via rigorosa, attraverso la soluzione del
problema, presenta difficoltà, anche per sezioni
di forma semplice. Fortunatamente si dispone di
una trattazione semplice, approssimata, dovuta a
D.J.Jourawski e perciò nota anche col nome di
teoria di Jourawski, che rappresenta la strada
normalmente utilizzata nelle applicazioni per la
determinazione delle tensioni tangenziali.
58
Consideriamo due generiche sezioni della trave di
Saint-Venant distanti dz.
A2
A1
Sezione trasversale
dz
Consideriamo anche una corda che la divida in
due parti A1 e A2.
esprimiamo lequilibrio alla traslazione lungo z
del concio elementare di trave delimitato dai
piani z e z dz dallelemento piano b dz dove b
è la corda sulla sezione trasversale.
59
Si dovranno considerare le azioni dirette secondo
lasse z che si esplicano sul concio elementare
attraverso le superfici che lo delimitano e cioè
le superfici verticali e quella staccata dalla
corda b che supponiamo ortogonale a y
60
Se consideriamo le tyz costanti sullarea b dz, e
valida la formula di Navier per la flessione
anche nel caso di momento variabile si può
scrivere
Essendo

si può scrivere
lequilibrio alla traslazione lungo z del concio
elementare risulta
61
Dividendo primo e terzo membro per b dz e
ricordando che il taglio è la derivata del
momento si ottiene
che è la formula di Jourawski.
Il metodo per giungere alla formula di Jourawski
è del tutto indipendente dalla particolare corda
prescelta, fermo restando che essa deve essere
tale da dividere in due parti la sezione della
trave. Essa può perciò essere costituita da più
parti indipendenti ed avere forma poligonale o
curvilinea. La particolare forma della sezione
potrà richiedere il ricorso a qualunque di queste
corde. Ad es. nel caso di sezioni a connessione
multipla può risultare necessario tagliare la
sezione in più punti per dividerla in due parti.
62
Occorre accertarsi che le tangenti al contorno
alle estremità della corda siano ortogonali alla
corda stessa. Altrimenti risulta necessaria una
correzione per rendere tangente la tensione
risultante.
Sezioni simmetriche Supponiamo che il taglio T
agisca secondo un asse di simmetria della sezione
che perciò darà luogo ad una sollecitazione di
taglio retto. Considerando corde parallele
allasse neutro x, le tensioni tangenziali
possono essere calcolate con la relazione
63
Sulla tensione tangenziale si può osservare
che 1) è nulla ai lembi della sezione 2) il
prodotto (t b) è massimo in corrispondenza della
corda baricentrica.
La larghezza b può presentare degli andamenti del
tutto arbitrari, come ad esempio nella sezione di
figura dove si vede chiaramente che il valore
massimo della non è raggiunto sulla corda
baricentrica che è sede invece di un massimo
relativo.
64
Per le sezioni simmetriche sollecitate da taglio,
è anche possibile, con sole considerazioni di
equilibrio, determinare, sui punti delle corde b
parallele allasse neutro x le tensioni
tangenziali parallele allasse x (Figure).
65
Sezione rettangolare
t 0
Andamentoparabolico
d
H
H/2
y
Asse Neutro
Asse Neutro
B
66
Sezione a doppio T
67
Sezione a C La sezione a C sia
sollecitata da un taglio T diretto secondo lasse
principale di inerzia ?. Laltro asse
principale di inerzia ? è anche asse di simmetria
per la sezione.
68
Tensioni tangenziali Ala superiore . Sulla
generica corda la t vale
Essa varia quindi linearmente con lascissa e
raggiunge il massimo per s1h1.
Anima. Sulla generica corda b la t ha la seguente
espressione
in cui s è lascissa, lungo la linea media,
misurata a partire da B. La varia con legge
parabolica e raggiunge il suo massimo sulla corda
baricentrica.
69
Centro di taglio Calcoliamo la
risultante delle tensioni tangenziali lungo le
ali e lungo lanima V.
Per le ali risulta
dove il segno si riferisce allala
superiore ed il segno allala inferiore. Per
lanima
Le tre risultanti, così calcolate, hanno
come rette dazione le AB, BC, CD. Esse sono
equivalenti ad una forza avente come retta
dazione la BC e ad una coppia positiva
(antioraria) .
70
In conclusione la distribuzione delle t
risulta equivalente ad una azione di taglio che
abbia come retta dazione la retta parallela alla
retta baricentrica che incontra lasse di
simmetria nel punto CT individuato da
71

• LA TEORIA TECNICA DELLE TRAVI
• Sono molteplici le ipotesi del modello di
  Saint-Venant, in vero molto sofisticato, che
  nelle travi reali non trovano alcun riscontro. Le
  principali sono 
• le azioni sono applicate sulla superficie
  laterale delle travi e non sulle basi
• le travi non sempre sono a sezione costante
• lasse della trave non sempre è rettilineo.

Tuttavia i risultati conseguiti con il modello di
Saint-Venant sono anche utilizzabili nello studio
delle travi reali, con alcuni accorgimenti
suggeriti dal postulato enunciato dallo stesso
Saint-Venant. Il postulato infatti, svincola i
risultati del problema di Saint-Venant dalla
particolare condizione di carico in quanto,
escludendo le zone direttamente influenzate dalle
modalità di applicazione dei carichi, fa
dipendere la soluzione unicamente dalla
risultante e dal momento risultante, ossia dalle
caratteristiche della sollecitazione N, , ,
, , Mz .
72
Consideriamo ora una trave prismatica, ad
asse rettilineo, sulla quale siano applicate
forze concentrate in equilibrio.
Con riferimento al tratto di trave compreso
tra due carichi successive, ad es. F1, F2, è
evidente che tale tratto può essere assimilato
alla trave di Saint-Venant, avendo però
laccortezza di escludere quelle zone
direttamente sotto i carichi che inevitabilmente
risentono della loro presenza. Possiamo pertanto
studiare tale tratto di trave come se fosse la
trave esaminata con carichi sulle basi definiti
dalle caratteristiche della sollecitazione
presenti.
73
Nella pratica si estendono i risultati a
tutta la trave, anche cioè per le zone
tratteggiate che sono direttamente interessate
dai carichi. Il modello di Saint-Venant
può essere altresì esteso anche alle travi con
debole curvatura dellasse, a travi a sezione
variabile, ad esclusione però delle zone contigue
alle variazioni discontinue ed a travi con carico
distribuito sulla sua superficie.
Nello studio delle travi reali, si ritiene che lo
stato di tensione e di deformazione in una
sezione qualunque sono gli stessi di quelli
della trave di Saint-Venant avente la stessa
sezione e le stesse caratteristiche di
sollecitazione.