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1
Jean Baptiste Joseph Fourier (1768-1830) et sa
célèbre transformée
- Historique - Les points fondamentaux -
Applications monodimensionnelles - signaux
temporels - fonctions de transfert -
radiodiffusion, transmissions - sons -
Applications multidimensionnelles - images -
propagation dondes
interférométrie, holographie - imagerie
médicale - Tomographie X - Imagerie RMN
J. Le Roux, leroux_at_polytech.unice.fr
2
1768 (21 Mars) Naissance à Auxerre Famille
modeste, très doué 1793 Comité Révolutionnaire 179
4 Ecole Normale, Ecole Centrale
(Polytechnique) 1798 Campagne d Egypte avec
Bonaparte, Monge (excellent
organisateur) 1801 Retour à Polytechnique 1802
Nommé préfet de lIsère (Champollion) 1804-1807
commence (?) à travailler sur la
propagation de la chaleur mal reçu par
la communauté scientifique (na pas cité
le travail de Jean Baptiste Biot...) 1810 Ouvrage
Description de l Egypte 1811 Prix (mitigé)
pour son travail sur la propagation de
la chaleur le manuscrit nest pas
publié 1815 Préfet à Lyon, retour à Paris
(évite Napoléon au retour de lîle
d Elbe) 1817 Académie des sciences 1822
Secrétaire de lAcadémie des sciences
Publication de la théorie analytique de la
chaleur 1830 (16 Mai ?) Décès à Paris
J. Dhombes, J. B. Robert, Fourier, créateur de
la physique-mathématique Ed. Belin, 1998
home.nordnet.fr/ajuhel/Fourier/Fourier.html
3
Le problème étudié par J. B. Fourier

• Résoudre une équation aux dérivées partielles
• trouver v(x,y) satisfaisant

et des conditions aux limites

• Lidée décomposer la fonction en une somme de
  sinusoïdes

(série de Fourier)

• Comment trouver les ?

Orthogonalité entre fonctions
4
Mathématiques un dépaysement soudain JP
Bourguignon et al. Fondation Cartier Paris Oct.
2011
5
(No Transcript)
6
Les travaux qui sen déduisent

• Transformée de Fourier Laplace

• Transformée Inverse

• Extension aux signaux échantillonnés

• 1965 Invention de la transformée de Fourier
  rapide
• Cooley, Tukey, IBM

• Extension aux signaux multidimensionnels
  (images, 3D,etc..)

7
LA propriété fondamentale
Système linéaire invariant en temps
Entrée
Sortie
Convolution
Transformée de Fourier
Une sinusoïde reste une sinusoïde de même
fréquence, même si son amplitude et sa phase
sont modifiées
8
Applications
Signaux temporels (liste non exhaustive)

• Equations différentielles et filtrage

• Transmissions analogiques et numériques

• Interprétation de l échantillonnage des signaux
• en vue du traitement numérique

• Analyse, synthèse et reconnaissance de la parole

• Analyse en fréquence des sons, de la musique
  (cf. cochlée)
• MP3 analyse de Fourier filtrage numérique

• Identification des caractéristiques dun système
  linéaire
• par exemple suppression d échos, sismographie
• signaux biologiques déformés

• Nouveaux procédés de radiodiffusion et
  télédiffusion
• numérique (OFDM)

http//www.eskimo.com/miyaguch/mp3info.html
9
Filtrage, annulation d écho, etc ...
déformation linéaire par un canal de transmission
Une composante sinusoïdale est amplifiée et
déphasée différemment suivant la fréquence
trouver cette déformation et la
compenser
Atténuation
Déphasage
visut
XR
(
)
Fréquence
Fréquence
visut
XPH
(
)
visut
XR
(
)
10
Modulation d amplitude translation en
fréquence exemple en communication numérique
Bande de base
modulation
Addition, transmission
time
x1
(
)
time
x1
(
)
time
x2
(
)
frequence
XX1
(
)
frequence
XX2
(
)
time
y1
(
)
frequence
YY1
(
)
frequence
YY1
(
)
time
y2
(
)
frequence
YY2
(
)
time
ys
(
)
démodulation
filtrage
frequence
YYS
(
)
time
yrec2
(
)
frequence
YYR1
(
)
time
yrec1
(
)
time
yr2
(
)
frequence
YYR1
(
)
frequence
YYR2
(
)
time
yr1
(
)
frequence
YYRT2
(
)
frequence
YYRT1
(
)
fréquence
fréquence
temps
temps
11
Interprétation de léchantillonnage
Echantillonner un signal au pas
cest périodiser sa transformée de Fourier
Pour un échantillonnage correct, pas de
composantes fréquentielles pour
time
x2
(
)
Reconstruire le signal , cest éliminer les
hautes fréquences par filtrage passe bas
time
x1
(
)
absct
x
(
)
absct
y
(
)
nfreq
visX
(
)
nfreq
visY
(
)
12
Analyse de l amplitude des composantes d un
signal vocal
Signal temporel
Représentation en fréquence
harmoniques (composantes aux fréquences multiples
de la fondamentale)
t
Unité125 ms
0Hz
8000Hz
4000Hz
Fondamentale à 129 Hz
t
Unité125 ms
13
Données pour la reconnaissance de parole
mesure de lénergie dans une vingtaine de bandes
de fréquences (échelle mél)
0
20 000 Hz
14
Tableau montrant pour quelles notes de la gamme à
12 demi-tons, les harmoniques sont elles aussi
des notes de la gamme (à peu près)
la H5 du fa est le la (H3 du ré) accord mineur
?
accord majeur harmoniques 3 et 5
(ré fa la)
ré fa la
do
5
3
5
si
la
sol
fa
fa
mi
ré
do
do
ré
mi
fa
sol
la
si
do
http//homepages.abdn.ac.uk/mth192/pages/html/musi
c.pdf
15
fréquence
harmonique 8
temps
notes jouées par un violon
http//en.wikipedia.org/wiki/FileSpectrogram_of_v
iolin.png
16
Représentation de l intensité d un signal (gris
ou couleur) en fonction du temps et de la
fréquence (spectrogramme)
Freq.(8kHz)
Temps (1s)
Freq.
temps
17
Représentation temps fréquence cri de
chauve-souris (ultrasons)
fréquence
temps
18
effet doppler le mouvement modifie la fréquence
observée
échographie doppler circulation sanguine
cosmologie
Riess, Press Kirshner (1996), Astrophysical
Journal 473, 88
19
Quelques applications de la transformée de
Fourier discrète
Codage MP3
Décomposition du signal en différentes bandes de
fréquences (filtrage numérique et transformée de
Fourier discrète) et prise en compte de
phénomènes psycho-acoustiques suppression ou
codage moins fin des composantes fréquentielles
moins utiles
Diffusion numérique radio télé OFDM, wifi
Codes correcteurs derreurs de Reed Solomon
(transmissions numériques, téléphone mobile,
CD)
a générateur d un corps de Galois (corps fini)
20
Principe du codage MP3
Filtrage des signaux dans différentes bandes de
fréquences
T. Cos et codage

T. Cos et codage
Emission des données
T. Cos et codage
T. Cos et codage
T. Cos et codage
Sélection des canaux utiles (effet de
masquage 1er codage
T. Fourier
21
Rôle fondamental de la fréquence en mécanique
quantique
Les relations de Planck-Einstein  établissent un
lien entre la fréquence d'une onde lumineuse
plane, et l'énergie des photons associés à cette
onde                      
                         h  constante de
Planck,        fréquence de l'onde
22
Informatique Quantique
implémentation de transformées unitaires transform
er une fonction de probabilité p(x) associée aux
données x à traiter afin de faire apparaître une
deuxième fonction de probabilité présentant des
pics prononcés mettant en évidence la solution du
problème
0gt
H
0gt
H
ugt
U
U
Cryptographie, Casser le code RSA algorithme de
Shor
Trouver les facteurs premiers dun nombre
Ramené à la recherche de la périodicité dune
fonction
Dans le domaine des fréquences Harmoniques d une
fréquence fondamentale
Mise en évidence de pics régulièrement espacés
dans la transformée de Fourier (c est une
transformée unitaire)
23
http//www.phys.umontreal.ca/plasma/ftir/ La20spe
ctroscopie20infrarouge20E020transformE9e20de
20Fourier.ppt256
http//www.nicolet.com/labsys/
24
Interférométrie et spectroscopie
25
http//www.phys.umontreal.ca/plasma/ftir/ La20spe
ctroscopie20infrarouge20E020transformE9e20de
20Fourier.ppt256
26
http//www.uleth.ca/phy/naylor/documents/pdf/SPIE_
Hawaii_MZFTS.pdf
D. A. Naylor et al  Mach-Zehnder Fourier
transform spectrometer for astronomical
spectroscopy at submillimeter wavelengths  .
http//www.uleth.ca/phy/naylor/documents/pdf/SPIE_
Hawaii_MZFTS.pdf
http//www.uleth.ca/phy/naylor/documents/pdf/SPIE_
Hawaii_MZFTS.pdf
27
Résultat de l analyse spectrale d un signal RMN
(résonance magnétique nucléaire) pour une
molécule d alcool éthylique
28
détection dexo planètes par mesure de variation
de la vitesse radiale dune étoile (effet
doppler variation de longueur donde de la
lumière en fonction de la vitesse) recherche
dun signal périodique en présence dun bruit de
mesure très important
effet doppler, décalage vers le rouge, expansion
de lunivers
29
Recherche de traces de vie extraterrestre
corrélation de deux analyses spectrales
Interférométrie et spectroscopie
mouvement périodique de planète
(effet doppler)
30
(No Transcript)
31
Infrared spectroscopy for food quality analysis
and control  Par Da-Wen Sun
32
Fonctions multidimensionnelles (images)
(Optique de Fourier)
Traitement dimages
Propagation dondes, interférométrie
Tomographie par rayons x
Imagerie par résonance magnétique nucléaire
Cristallographie, analyse des structures
moléculaires
33
sinusoïde bidimensionnelle caractérisée par sa
direction et la période des oscillations dans
cette direction
34
Traitement d antennes Retrouver par un réseau
de capteurs (antenne) la direction de
propagation des ondes sonores ou
électromagnétiques
35
Traitement d images par exemple franges de
Fraunhofer, disque d airy
Convolution de l image avec la transformée de
Fourier de l ouverture du télescope
Produit dans le domaine des fréquences
Convolution dans le domaine spatial
coupe
36
Quelques exemples de traitement
(Amplification des hautes fréquences c est à
dire des variations rapides)

• Correction deffet de flou, de bougé

• Mise en évidence des contours

• Codage dimages JPEG et MPEG
• (une variante de la transformée de Fourier, la
  transformée en cosinus)
• élimination ou codage plus sommaire des hautes
  fréquences

37
Filtrage des bruits ( par exemple lorsque le
signal intéressant est dans les basses fréquences)
38
FILTRAGE PASSE BAS (FLOU)
39
FILTRAGE PASSE HAUT (CONTOURS)
40
Transformée en cosinus et réduction de débit en
transmission d images JPEG MPEG
41
Étude des équations aux dérivées partielles
Chebyshev and Fourier Spectral Methods John P.
Boyd University of Michigan
Décomposition des fonctions étudiées sur une
base, par exemple des sinusoïdes
multidimensionnelles Trouver lamplitude de
chaque composante afin dapprocher au mieux la
solution de léquation
42
Electromagnétisme, optique ondulatoire l onde
transmise porte la transformée 2D de la
source (équations de Maxwell)
(Analyse des appareils d optique p.ex.
lentilles, optique de Fourier)
Application en interférométrie et en holographie
(mécanique quantique)
43
Holographie Enregistrement des interférences
formalisation liée à celle de la transformée de
Fourier (propagation des ondes lumineuses)
44
enregistrement des franges dinterférence
éclairage de lhologramme lobservateur, en
regardant les franges voit  lobjet 
http//fr.wikipedia.org/wiki/Holographie
45
Interférométrie en imagerie astronomique
Antoine Labeyrie au plateau de Calern
Télescopes de l ESO à La Silla au Chili
Limitation du diamètre
faire interférer les signaux provenant de deux
télescopes
distance fréquence w
Mesure de l amplitude et de la phase des
interférences F(w)
Déplacement des télescopes
Modification de w
Transformée de Fourier inverse f(x)
Problème turbulence atmosphérique
46
http//fr.wikipedia.org/wiki/Very_Large_Telescope
Interf.C3.A9rom.C3.A9trie_optique
47
surface de l'étoile supergéante rouge Bételgeuse
Observatoire de Paris (LESIA)
interféromètre IOTA (Arizona)
http//www.techno-science.net/?ongletnewsnews74
01
48
Cristallographie
Un motif de diffraction des rayons X par un
cristal est une photographie du module de la
transformée de Fourier de la distribution de la
densité des électrons dans le cristal on
retrouve des informations sur la structure du
cristal en effectuant une transformée inverse
49
Transformée de Fourier
http//www.afmb.univ-mrs.fr/IMG/pdf/introduction-c
ristallo.pdf
50
élément pour létude de la structure des
protéines
51
Tomographie
Reconstruire un objet à deux dimensions à partir
de ses projections
52
LES VUES SOUS DES ANGLES DIFFERENTS DOBJETS
TRANSLUCIDES PERMETTENT DE RECONSTRUIRE LEURS
VOLUMES
53
Tomographie formulation dans le domaine spatial
Dans le domaine des fréquences
Transformée de Fourier mono-dimensionnelle de
On reconstruit F(u,v) à partir de
pour différentes valeurs de
Puis on effectue une transformée inverse
54
Tomographie
55
(No Transcript)
56
Résonance magnétique nucléaire
Champ magnétique
Faible aimantation du noyau
Possibilité dutiliser les phénomène de résonance
A. Champ magnétique fixe B champ tournant
à la fréquence
(Onde radiofréquence 20 à 50 MHz)
B. Evolution libre, retour à l équilibre
Décroissance exponentielle oscillante
de l aimantation (100ms) mesurée par une antenne
La fréquence des oscillations (quelques Hz)
dépend de B
57
Imagerie par RMN
Fréquence du retour à léquilibre (exponentielle
amortie) de lordre du Hz
B fort
B faible
On choisit B(x,y,z) fonction linaire de la
position, variable d une mesure à l autre
rep
visut
1000
rep
rep
visut
visut
Le signal capté par une antenne est
1000
1000
rep
visut
1000
avec
58
Imagerie par RMN
t fixé une valeur de la transformée de Fourier
tridimensionnelle
(t varie valeur suivant un axe même
formulation que la tomographie)
Une image ou un volume complet plusieurs
mesures avec des directions de gradient
différentes
Quantité de molécules dhydrogène dans le volume
dxdydz
B
y
x
Variation linéaire du champ fixe dans lespace
Reconstruction par transformée inverse (précision
du mm)
59
Image rmn
60
(No Transcript)
61
image irm de diffusion de molécules deau (le
long des axones)
62
Conclusion

• Vaste champ d application

• Grâce au traitement numérique

• Grâce à l invention de la transformée de
  Fourier rapide

• Du point de vue mathématique

• Importance des systèmes linéaires invariants et
  de leur
• effet sur les signaux sinusoïdaux

• Orthogonalité des fonctions sinusoïdales

• la théorie des distributions (en particulier
• la distribution de Dirac)

Copie des transparents http//www.essi.fr/leroux
/ http//www.essi.fr/leroux/presentationfourier/p
resentationfourier.html