Transforma

1
Transformação Linear

• Definição Sejam dois espaços
  vetoriais reais. Uma função T (ou aplicação) é
  denominada Transformação Linear de
• se

a)
b)
2
Exemplos

• 1) Transformação Linear Nula
• 2) Operador Linear Identidade
• 3) tal que
• 4) dada por
• 5)
  definida por

3
Contra - Exemplo

• definida por

pois temos que
4
Propriedades

• Sejam dois espaços vetoriais reais e uma
  transformação linear entre eles. Então

P1)
P2)
P3)
5
Propriedades

• P4) Se é um subespaço de , então a
  imagem de pela transformação linear é um
  subespaço vetorial de , isto é, é
  subespaço vetorial real.

P5)
6
Propriedades

• P6) Sejam e espaços vetoriais reais e
  uma base de .
• Dados vetores arbitrários de ,
  existe uma transformação linear tal que

e
7
Núcleo e Imagem

• Definição Dados dois espaços vetoriais reais e
  uma transformação linear entre eles, denomina-se
  Núcleo da Transformação o subconjunto do domínio
  da função dado por

8
Núcleo e Imagem

• Definição Dados dois espaços vetoriais reais e
  uma transformação linear entre eles, denomina-se
  Imagem da Transformação o subconjunto do
  contra-domínio da função dado por

9
Exercícios

• Exercício 01 Verificar se as funções abaixo são
  transformações lineares e determinar seus núcleos
  e imagens

a)
b)
c)
10
Núcleo e Imagem

• Proposição Dada uma transformação linear, temos
  que
• O núcleo da transformação é um subespaço vetorial
  do domínio da função.
• A imagem da transformação é um subespaço vetorial
  do contra-domínio da função.

11
Recordando

• Definição Uma função do conjunto A no conjunto B
  é dita
• Injetora se

• Sobrejetora se

12
Recordando

• Definição Uma função do conjunto A no conjunto B
  é dita bijetora se é injetora e sobrejetora
  simultâneamente.

13
Teoremas

• Proposição Uma transformação linear é injetora
  se e somente se .

Teorema do Núcleo e da Imagem Dados dois
espaços vetoriais reais de dimensão finita. Dada
uma transformação linear entre eles, então
14
Resultados Importantes

• Proposição Dada uma transformação linear, temos
  que se

15
Resultados Importantes

• Corolário Dada uma transformação linear de
  espaços vetoriais de dimensão iguais. Então as
  afirmações abaixo são equivalentes
• (1) É sobrejetora
• (2) É bijetora
• (3) É injetora
• (4) Transforma base do domínio em base do
  contradomínio.

16
Isomorfismo

• Definição Dados dois espaços vetoriais reais e
  uma transformação linear de entre eles. Dizemos
  que a transformação linear é um isomorfismo entre
  eles se é uma transformação bijetora (isto é,
  injetora e sobrejetora).
• Notação

17
Automorfismo

• Definição Dizemos que um isomorfismo entre
  espaços vetoriais reais é um automorfismo se os
  espaços são iguais, ou seja, T é um isomorfismo
  de um espaço nele mesmo.
• Proposição Dado um isomorfismo sua transformação
  inversa é também um isomorfismo.

18
Resultados Importantes

• Proposição Dados dois espaços vetoriais reais de
  mesma dimensão, então a transformação linear dada
  a seguir é um isomorfismo entre eles.

19
Resultados Importantes

• Teorema Dois espaços vetoriais de dimensão
  finita são isomorfos se e somente se

Exercícios Transformações Lineares