CONTROL BORROSO

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• CONTROL BORROSO

Daniel Pizarro Manuel Mazo y Marta Marrón
Departamento de Electrónica. Universidad de
Alcalá. Email pizarro_at_depeca.uah.es mazo_at_depeca.u
ah.es, marta_at_depeca.uah.es Estas transparencias
se han realizado contando con los apuntes
confeccionados sobre el tema por los profesores
Felipe Espinosa y Luis M. Bergasa
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Contenido

1. Control borroso frente a control convencional.
2. Fundamentos de lógica borrosa.
3. Fundamentos de control borroso.
4. Aspectos formales de lógica borrosa.
5. Ajuste de controladores borrosos.
6. Fuzzy toolbox de Matlab (introducción).

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Control borroso frente a control convencional
4
Introducción al control borroso

• So far as the laws of mathematics refer to
  reality, they are not certain. And so far as they
  are certain, they do not refer to reality.
• Albert Einstein
• As complexity rises, precise statements lose
  meaning and meaningful statements lose precision
• Lotfi A. Zadeh

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Introducción al control borroso

• Por qué? Dar solución al control de plantas de
  difícil modelado matemático.
• Cómo? Mediante el uso de la lógica borrosa.
• Qué permite la lógica borrosa? Proporciona una
  metodología formal para aplicar el conocimiento
  heurístico humano al control de procesos.
• Algunos ejemplos cotidianos Conducir una
  bicicleta, mantener una escoba en posición
  vertical sobre un dedo, conducir un coche.

Controlador borroso
6
Introducción al control borroso

• Algunas razones que justifican el control borroso
• Es conceptualmente fácil de entender.
• Es flexible y tolerante a la imprecisión de
  datos.
• Permite modelar funciones no lineales, aunque su
  complejidad sea elevada.
• Se describe a partir del conocimiento e intuición
  de expertos.
• Los controladores borrosos no son incompatibles
  con los convencionales.
• Qué se va a abordar en lo que sigue?
• El estudio del control borroso como alternativa
  al control realimentado sincronizado, continuo o
  periódicamente actualizado.
• Control borroso y control convencional
• Control convencional está basado en el modelo
  del proceso a controlar lineal y no lineal,
  continuo y discreto, en el dominio del tiempo o
  transformado. El lenguaje propio son ecuaciones
  diferenciales/diferencias.
• Control borroso parte del comportamiento del
  proceso a controlar, donde la intuición pesa
  tanto como la razón. El lenguaje propio son las
  reglas heurísticas.

7
Diseño de sistemas de control convencional
Modelado matemático del proceso Diseño del
controlador Evaluación diseño
8
Diseño de sistemas de control convencional

• Modelado matemático
• Fundamental para obtener un buen comportamiento
  del sistema realimentado.
• Es importante conjugar, para obtener el modelo,
  tanto el estudio físico como la identificación
  utilizando datos experimentales.
• Por muy bueno que sea el modelo nunca será un
  fiel reflejo de la planta (pero en muchos casos
  un modelo aproximado es suficiente).
• Diseño del controlador
• A nivel de algoritmo estabilidad, rechazo a
  perturbaciones externas, insensibilidad a
  variaciones de parámetros de la planta, régimen
  transitorio, régimen permanente.
• A nivel de implementación simplificación
  hardware, disponibilidad de sistemas
  electrónicos, mantenimiento, fiabilidad, costes
  de desarrollo, etc.
• A nivel de soluciones si se trata de sistemas
  lineales con modelo de función de transferencia
  PIDs, red cero-polo si VVEE realimentación
  del vector de estado con o sin observadores. Se
  pueden usar técnicas óptimo, robusto y
  adaptativo.
• Evaluación del diseño
• Estudio matemático basado en el modelo de la
  planta.
• Simulación del sistema en lazo cerrado.
• Ensayo experimental.

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Diseño de sistemas de control borroso

• Elementos básicos de un controlador borroso
• Base de conocimiento (rule-base).
• Mecanismo de inferencia (inference mechanism).
• Interfaz de borrosificación (fuzzification).
• Interfaz de desborrosificación (defuzzification)
  .

Controlador Borroso (Fuzzy Controller)
Entradas borrosificadas
Conclusiones borrosas
Reference Input r(t)
Mecanismo inferencia (Inference mechanism)
Inputs u(t)
Outputs y(t)
Inputs e(t)
Borrosificación (Fuzzification)
Desborrosificación (Defuzzification)
comparador
Base conocimientio (Rule-base)
10
Fundamentos de lalógica borrosa
11
Fundamentos de la lógica borrosa

• La lógica borrosa es una extensión de la lógica
  booleana.
• Se basa en la experiencia humana, y la
  pertenencia a un grupo u otro es una cuestión de
  grado de precisión.
• En lógica borrosa cada afirmación es un problema
  de grado de verdad.
• Un conjunto borroso es un conjunto sin límites
  abruptos ni claramente definidos. Pueden existir
  elementos con un cierto grado de pertenencia.
• El conjunto borroso está asociado a un valor
  lingüístico, definido por una palabra, adjetivo o
  etiqueta lingüística (muy joven, joven,
  adulto, mayor, muy mayor, etc).
• La certeza o certidumbre con que una variable x
  se le puede asignar el valor lingüístico
  (conjunto borroso) i se indica por una
  función de pertenencia µ i (x).

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Fundamentos de la lógica borrosa
La lógica borrosa es un procedimiento de análisis
del razonamiento aproximado, que utiliza las
imprecisiones del mismo.
Incluye (a grandes rasgos)
Salidas borrosas Conjuntos Borrosos Funciones de
pertenencia
Entradas borrosas Conjuntos Borrosos Funciones de
pertenencia
Variables de salida
Variables de entrada
Inferencia (reglas)
Desborrosificador (Defuzzification)
Borrosificador (1) (Fuzzification)

1. Se puede considerar que es el acto de obtener un
   valor de entrada y encontrar el valor numérico de
   la función de pertenencia que esta definida para
   ese valor. Es otra forma de representación los
   valores numéricos de las variables de entrada.

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Borrosificación
1.-Definir las variables de entrada y salida
temperatura, edad, estatura, velocidad,
fuerza, Definir el margen de variación (universo
de discurso) de cada variable Temperatura - 40 a
70 ºC, Edad 0 a 100 años, Estatura 0 a 200 cm.
2.- Definir todos los conjuntos borrosos y el
valor lingüístico, asociado a cada uno Variable
Temperatura Valores lingüísticos negativa_alta,
negativa_baja, cero, positiva_baja,
positiva_alta Variable Edad Valores
lingüísticos muy_joven, joven, maduro, viejo
3.- Para cada conjunto (valor lingüístico)
definir una función de pertenencia o inclusión
(membership function) que indique el grado en
que una variable x está incluida en los
conceptos representados por las variables
lingüísticas. µi (x) indica el grado en que x
está incluida en el conjunto i. A µi (x) se
le conoce como función de pertenencia de x en
i. El valor de pertenencia tiene que variar
entre 0 y 1.
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Borrosificación Caso de Lógica
clásicaEjemplo Edad de las personas

• Variable x edad. Universo de discurso 0 x
  100 años.
• Valores lingüísticos (conjuntos) MJ muy_joven,
  JO joven, MAmaduro, VIviejo.
• Definición de las funciones de pertenencia, µi
  (x).
• Con conjuntos booleanos µi(x) sólo puede tomar
  dos valores 0 ó 1.
• µi(x) 0 indica negación, µi(x) 1 indica
  afirmación.
• x edad 27 años µMJ(x) 0, µJO(x) 1,
  µMA(x) 0, µVI(x) 0

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Borrosificación Caso de Lógica
borrosaEjemplo Edad de las personas

• Variable x edad. Universo de discurso 0 x
  100 años.
• Valores lingüísticos (conjuntos) MJ muy_joven,
  JO joven, MAmaduro, VIviejo.
• Definición de las funciones de pertenencia, µi
  (x).
• Al tratarse de conjuntos borrosos µi(x) puede
  tomar cualquier valor entre 0 y 1.
• x edad 27 años µMJ(x) 0.4, µJO(x) 0.6,
  µMA(x) 0, µVI(x) 0

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Funciones de pertenencia

• La función de pertenencia puede ser una curva
  arbitraria.
• Dependiendo de la aplicación y del diseñador se
  pueden elegir diferentes tipos de funciones de
  pertenencia (membership function). Las más
  frecuentes son triangular, trapezoidal,
  gausiana.

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Inferencia Reglas borrosas

• Los conjuntos y operadores borrosos se pueden
  considerar como los sujetos y los verbos de la
  lógica borrosa.
• Los conjuntos borrosos se combinan en reglas para
  definir acciones como por ejemplo, si la
  temperatura es alta entonces enfría mucho.
• Para poder expresar algo útil es necesario hacer
  frases completas. Las afirmaciones condicionales,
  reglas if-then, son las que lo hacen posible.
• La estructura general de una regla borrosa es
• If CONDICIONES then
  ACTUACIONES
• If x1 es F1 and x2 es F2 and x3
  es F3 then u1 es G1 and u2 es G2
• condiciones antecedentes premisas es un
  escalar comprendido entre 0 y 1
• actuaciones consecuencia conclusión
  es un conjunto borroso

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Inferencia Reglas borrosas

• Las reglas pueden ser tipo SISO, SIMO, MISO,
  MIMO
• SISO If x es A1 then u es B1.
• SIMO If x es A1 then u1 es B1 and u2 es B2
• MISO If x es A1 and y es A2 then u es B1
• MIMO If x es A1 and y es A2 then u1 es B1 and
  u2 es B2
• Las reglas SIMO y MIMO se pueden convertir en
  SISO y MISO, respectivamente.
• Ejemplo
• If x es A1 and y es A2 then u1 es B1 and u2 es
  B2
• Es equivalente a
• If x es A1 and y es A2 then u1 es B1
• If x es A1 and y es A2 then u2 es B2

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Inferencia Operadores borrosos Caso de Lógica
clásica

• Sean dos conjuntos A y B, asociados a la variable
  x.
• Se definen tres funciones básicas
• Intersección (AND) min(A,B) µAnB(x)
  minµA(x), µB(x)
• Unión (OR) máx(A,B)
  µA?B(x) maxµA(x), µB(x)
• Complemento (NOT) µA(x) 1- µA(x)

AND OR NOT(A)
A B µA(x) µB(x) mín(A,B) µAnB(x) minµA(x), µB(x) máx(A,B) µA?B(x) máxµA(x), µB(x) µA(x) 1- µA(x)
0 0 0 1 1 0 1 1 0 0 0 1 0 1 1 1 1 1 0 0
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Inferencia Operadores borrosos Caso de Lógica
borrosa

• Sean dos conjuntos A y B, asociados a la variable
  x.
• Se definen tres funciones básicas intersección
  (AND), unión (OR) y complemento
• Intersección (AND) borrosa (norma triangular)
• Alternativa 1
• mín (A,B) µAnB(x) minµA(x), µB(x)
• Alternativa 2
• prod(A,B) µAnB(x) µA(x).µB(x)
• Unión (OR) borrosa (co-norma triangular)
• Alternativa 1
• máx(A,B) µA?B(x) maxµA(x), µB(x)
• Alternativa 2 (suma algebraica)
• probor(A,B) µA?B(x) µA(x)µB(x) -
  µA(x).µB(x)
• Función NOT µA(x) 1- µA(x)

A
B
probor(A, B)
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Inferencia

• Se entiende por inferencia borrosa la
  interpretación de las reglas if-then, con el
  objetivo de obtener las conclusiones de las
  variables lingüísticas de salida a partir de los
  valores actuales de las variables lingüísticas de
  entrada.
• Conlleva dos fases

• 1.- Matching o correspondencia Evalúa el grado
  de certeza de la premisa para los valores
  actuales de las variables de entrada, determina
  la función de pertenencia de la premisa.
• Si regla que se evalúa es la n el grado de
  certeza se representa por µPremisa(n)

2.- Conclusiones (Inferencia) Establece las
conclusiones en función de las entradas actuales.
Asigna a cada variable de salida del consecuente
el conjunto borroso correspondiente modificado
en el grado especificado por µPremisa(n). La
función de pertenencia del conjunto modificado se
representa por µ(n)(u). Aquí n es la regla
evaluada y u es la variable de salida .
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Inferencia

• Cómo se obtiene el grado de certeza de una
  premisa, µpremisa (n)?
• Supongamos la regla (n)
• If x1 es F1 and x2 es
  F2 and x3 es F3 then u1 es G1
• Evaluar para cada entra (x1, x2, ), en función
  de su valor actual, la función de pertenencia
  µF1(x1), µF2(x2), µF3(x3) certeza con que la
  variable de entrada xi pertenece al conjunto
  borroso Fi
• Evaluar la función and, para obtener µpremisa
  (n). Existen dos alternativas
• Mínimo
• Producto

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Inferencia Ejemplo de inferencia

• Regla 1 If x es A and y es B then u es D

µpremisa(1) minµA(x) , µB(x) 0.4 tenemos
una certeza de 0.4 de que esta regla (regla 1) es
aplicable a la situación actual (valores
actuales)
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Inferencia

• Cómo se modifica el conjunto borroso de salida,
  en el grado especificado por µPremisa(n)?.
• Principio general La acción no puede tener un
  nivel de certeza superior al que tiene la
  premisa .
• Llamando µaccion(n)(u1) el conjunto borroso de
  salida de la acción u1, y µregla_n(u1) al
  conjunto borroso de salida de la acción u1
  modificado por µPremisa(n), las dos alternativas
  más frecuentes son

Truncamiento (chop off the top) µregla_n(u)
mínµPremisa(n), µacción(n)(u)
Escalado (product) µregla_n(u)
µPremisa(n).µacción(n)(u)
25
Inferencia

• Truncamiento (chop off the top)

Conjunto borroso de salida µacción (n) (u)
µPremisa (n)

• µregla_n(u) minµPremisa(n), µacción(n)(u)

Las áreas dan idea de certidumbre de la
conclusión
u

• Escalado (product)

Conjunto borroso de salida µacción (n) (u)
µPremisa(n)
µregla_n(u) µPremisa(n).µacción(n)(u)
u
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Inferencia Ejemplo Control de frenado

• Control de frenado de un vehículo en función de
  su velocidad y distancia al que le precede.
• Variables de entrada x velocidad, y distancia
• Valores entradas de velocidad (conjuntos
  borrosos)
• Valores entradas de distancia
• Variable de salida u fuerza_sobre_ freno
• Valores de salida

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InferenciaEjemplo Control de frenado
Baja Media Alta
µalta(x)
muy_pequeña pequeña grande
µmuy_pequeña(y)
µpequeña(y)
µgrande(y)
0 25 50 75
y distancia (m)
Salidas nunca saturadas
Débil fuerte muy_fuerte
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InferenciaEjemplo Control de frenado

• Supongamos x70Km/h, y10m

• Y dos reglas
• If x es baja and y muy_pequeña then u es fuerte
• If x es media and y muy_pequeña then u es
  muy_fuerte

0 40 70 80 120
xVelocidad (Km/h)
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InferenciaEjemplo Control de frenado
µpremisa(1)minµBaja(x) , µmuy_pequeña(y) 0.2
x es baja and y
muy_pequeña Cuantificado con
Cuantificado con
µpremisa(1)minµmedia(x) , µmuy_pequeña(y) 0.4
x es media and
y muy_pequeña
µmuy_pequeña(y)
0.8
µmedia(x)
0.4
0 40 70 80 120 x
0 10 25 50 y
30
InferenciaEjemplo Control de frenado

1. If x es baja and y muy_pequeña
   then u es fuerte

1. If x es media and y
   muy_pequeña then u es muy_fuerte

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InferenciaEjemplo Control de frenado
µPremisa(1) min µbaja(x), µmuy_pequeña(y) 0.2
If x es baja and y muy_pequeña then u es fuerte
µfuerte(u)
Implicación
µregla_1(u)
0.2
0 1 2 3
u
0 1 2 3 u
µPremisa(1) min µmedia(x), µmuy_pequeña(y) 0.4
If x es media and y muy_pequeña then u es
muy_fuerte
µmuy_fuerte(u)
Implicación
µregla_2(u)
0.4
u
0 1 2 3
4 u
0 1 2 3
4
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Inferencia Agregación de salida de reglas

• En general se requieren dos o más reglas de forma
  que compitan unas con otras.
• La salida de cada regla es un conjunto borroso
  (modificado por la correspondiente premisa
  µpremisa(n)).
• La salida para un conjunto de reglas debe ser un
  único número.
• Cómo se agregan (mezclan) los conjuntos
  borrosos, µregla(n)(u), que resultan de cada
  regla para que la variable de salida sea un único
  número? se agregan en un solo conjunto borroso y
  a partir de este último se obtiene el valor de la
  salida.

µrgla_1(u)
ucrisp
Desborrosificador
Agregación
µregla_2(u)
. . .
µregla_n(u)
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Inferencia Agregación de salida de reglas
Conclusión
Truncamiento
µPremisa(1) mín µA(x), µB(y)
Implicación
µC(u)
Premisa (1)
Concl.
µregla_1(u)
If x es A and y es B then u es C
u1 u
u1 u
µregla_1(u)mín µPremisa(1), µC (u)
Salida ucrisp
Agregación de reglas
u
u1 u2
µregla_2(u)mín µPremisa(2), µF (u)
Truncamiento
Conclusión
µPremisa(2) mín µD(x), µE(y)
µregla_2(u)
Implicación
µF(u)
Concl.
Premisa (2)
If x es D and y es E then u es F
u2 u
u2 u
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Inferencia Agregación de salida de reglas
Conclusión
Escalado
µPremisa(1) min µA(x), µB(y)
Implicación
µC(u)
Premisa (1)
Concl.
µregla_1(u)
If x es A and y es B then u es C
u1 u
u1 u
µregla_1(u)µPremisa(1). µC (u)
Salida ucrisp
Agregación de reglas
u
u1 u2
µregla_2(u)µPremisa(2).µF (u)
Escalado
Conclusión
µPremisa(2) min µD(x), µE(y)
µregla_2(u)
Implicación
µF(u)
Concl.
Premisa (2)
If x es D and y es E then u es F
u2 u
u2 u
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Desborrosificación

• La entrada para la desborrosificación es un
  conjunto borroso, el que resulta de la
  agregación, y la salida es un número (ucrisp).
• Se puede entender como el proceso de
  decodificación de la información borrosa
  producida por los procesos de inferencia y
  agregación.
• De entre las diferentes alternativas de
  desborrosificación, las dos más conocidas son
• Centro de gravedad (COG) del área definida por el
  conjunto borroso resultante de la agregación.
• Centros ponderados (center-average).
• Existen otras alternativas de desborrosificación,
  pero no existen argumentos para decidir cuál es
  la mejor.

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Desborrosificación COG

• Se suele utilizar para el caso de truncamiento.

µregla_1
µregla_2
µregla_3
µregla_N
µregla_i
.
b1 b2 b3
bi bN
u
bi centro de las funciones de pertenencia
del conjunto para la regla i, µregla_i
área bajo la función de pertenencia
µ regla_i
Hay que asegurar que el denominador sea distinto
de cero
Recordad Para un trapecio de base w y altura
h, su área es
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Desborrosificación Centros ponderados

• Se suele utilizar para el caso de escalado

µpremisa(1)
µpremisa(N)
.
b1 b2 b3
bi bN
u
Para el cálculo de la función de pertenencia de
la premisa µpremisa(i) se puede utilizar el
mínimo o el producto
38
Desborrosificación Ejemplos
COG
-20 -10 0 10 u(t),
(N)
Centros ponderados
-7.5