Diapositiva 1

1
Tema 4
PROGRAMACIÓN LINEAL
2
SISTEMAS DE DESIGUALDADES LINEALES
Desigualdades lineales
Sistemas de desigualdades lineales
INTRODUCCION A LA PROGRAMACION LINEAL
Un problema de maximización
Un problema de minimización
Número de Soluciones de un PPL
EJEMPLOS
Resolver un problema de programación lineal
Planificar la inversión
El problema de la dieta
3
DESIGUALDADES LINEALES
SOLUCIONES DE UNA DESIGUALDAD LINEAL
Una desigualdad lineal en x e y es una
desigualdad que puede escribirse en una de las
siguientes formas
ax by gt c
ax by lt c
ax by ? c
ax by ? c
donde a, b y c son números reales y a y b no son
ambos 0. Algunos ejemplos de desigualdades
lineales son
x 4y ? 6
x ? 2
2x y gt 3
y lt 3
Un par ordenado (x, y) es una solución de una
desigualdad cuando al sustituir los valores de x
e y en la desigualdad hacen que ésta se cumpla.
4
Determina si cada par ordenado es una solución de
y ? x 5 a) (4, 2) b) (0,
6)
EJEMPLO 1
Solución
a) Para determinar si (4, 2) es una solución,
sustituye 4 por x y 2 por y
y ? x 5 2 ? 4 5 2 ? 1
Como 2 ? 1 es una desigualdad cierta, (4, 2) es
una solución.
b) Para determinar si (0, 6) es una solución,
sustituye 0 por x y 6 por y
y ? x 5 6 ? 0 5 6 ? 5
Como 6 ? 5 es una desigualdad falsa, (0, 6) no
es una solución.
5
GRÁFICAS DE DESIGUALDADES LINEALES
La gráfica de la ecuación y x 5 es una
recta. La gráfica de la desigualdad y ? x 5 no
es una recta sino una región limitada por una
recta, llamada semiplano. El semiplano está
formado por los puntos cuyas coordenadas
satisfacen la desigualdad.
Las coordenadas (x, y) de los puntos de la recta
cumplen y x 5
y x 5
Las coordenadas (x, y) de los puntos del
semiplano A cumplen y gt x 5
y gt x 5
La recta divide al plano en dos semiplanos A y B.
Las coordenadas (x, y) de los puntos del
semiplano B cumplen y lt x 5
y lt x 5
6
EJEMPLO 2
Representa gráficamente la desigualdad y ? x 5.
Solución
Puesto que y ? x 5 significa que y x 5 o y
gt x 5, comenzamos por dibujar la ecuación y x
5.
y ? x 5 también indica que puede ser y gt x 5.
Las coordenadas de estos otros puntos satisfacen
la desigualdad estricta. Por ejemplo, las
coordenadas del origen satisfacen la desigualdad
(0, 0) ?
y ? x 5 Sustituye 0 por x y 0 por y.
0 ? 0 5 0 ? 5
Como 0 ? 5 es cierto, las coordenadas del origen
satisfacen la desigualdad. De hecho,
las coordenadas de cada punto del mismo lado que
el origen satisfacen la desigualdad. La gráfica
de y ? x 5 es el semiplano que contiene el
origen. Como la recta y x 5 está incluida, la
dibujamos continua.
7
Representa gráficamente x 2y lt 6.
EJEMPLO 3
Solución
Dibujamos la recta límite de ecuación x 2y 6.
Como el símbolo lt, no incluye un signo , los
puntos de x 2y 6 no serán parte del gráfico.
Para mostrar esto, dibujamos la recta como línea
discontinua.
Para determinar qué semiplano escoger, sustituye
las coordenadas de algún punto de uno de los
semiplanos determinados por la recta x 2y 6.
El origen (0, 0) es una opción conveniente.
x 2y lt 6
? (0, 3)
Sustituye 0 por x y 0 por y.
0 20 lt 6 0 lt 6
(6, 0) ?
Puesto que 0 lt 6 es cierto, sombreamos el lado de
la recta que incluye el origen.
8
EJEMPLO 4
Representa gráficamente y gt 2x.
Solución. La recta límite es y 2x. Como el
símbolo gt no incluye un igual, los puntos de y
2x no son parte de la gráfica de y gt 2x. Para
mostrar esto, dibujamos la recta límite como
línea discontinua.
? (3, 6)
Para ver qué semiplano escoger, sustituye las
coordenadas de algún punto de uno de los
semiplanos determinados por la recta y 2x. El
punto T(2, 0), por ejemplo. Para ver si el punto
T(2, 0) satisface y gt 2x
T(2, 0) ?
y gt 2x 0 gt 22 0 gt 4
Sustituye 2 por x y 0 por y.
(1, 2)?
Como 0 gt 4 es falso, las coordenadas del punto T
no satisfacen la desigualdad, y el punto T no
está en el lado de la recta que cumple la
desigualdad. Por tanto, la gráfica de y gt 2x es
el semiplano que no contiene a T.
9

• Pasos para representar gráficamente una
  desigualdad lineal
• PASO 1 Dibuja la ecuación lineal
  correspondiente, una recta R. Si la desigualdad
  es no estricta, dibuja R usando una línea
  continua si la desigualdad es estricta, dibuja
  R con línea discontinua.
• PASO 2 Selecciona un punto de prueba P que no
  esté en la recta R.
• PASO 3 Sustituye las coordenadas del punto de
  prueba P en la desigualdad dada.
• Si las coordenadas de este punto P satisfacen la
  desigualdad lineal, entonces todos los puntos en
  el mismo lado de R que el punto P satisfacen la
  desigualdad.
• Si las coordenadas del punto P no satisfacen la
  desigualdad lineal, entonces todos los puntos en
  el lado opuesto de R que P satisfacen la
  desigualdad.

10
SISTEMAS DE DESIGUALDADES LINEALES
SISTEMAS DE DESIGUALDADES LINEALES
Un sistema de inecuaciones lineales en el plano
viene dado por varias desigualdades del tipo
r1 ? a1x b1y ? c1 r2 ? a2x b2y ? c2 . . .
. . . . . . . . . rn ? anx bny ? cn
y la solución, si existe, corresponde a una
región convexa del plano, que llamamos región
factible.
Para su solución gráfica, se representa cada
recta y se marca el semiplano que determina. La
parte que tienen en común todos los semiplanos
proporciona la región factible.
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x y ? 1 x y ? 1
EJEMPLO 5
Representa gráficamente el sistema de
desigualdades
Solución. Representamos cada desigualdad
gráficamente en un sistema de ejes
coordenados.
? A
La figura muestra el resultado cuando los
semiplanos se superponen en un sistema
coordenado. El área que se colorea dos veces
representa el conjunto de soluciones del sistema
dado. Cualquier punto en la región doblemente
sombreada tiene coordenadas que satisfacen ambas
desigualdades.
12
EJEMPLO 5
Para ver que esto es verdad, podemos escoger un
punto, tal como el punto A, de la región doble
coloreada y demostrar que sus coordenadas
satisfacen ambas desigualdades. Como el punto A
tiene coordenadas (4, 1), tenemos
? A
x y ? 1 4 1 ? 1 5 ? 1
x y ? 1 4 1 ? 1 3 ? 1
Puesto que las coordenadas del punto A satisfacen
cada desigualdad, el punto A es una solución. Si
probamos un punto que no esté en la región
doblemente sombreada, sus coordenadas no
satisfarán ambas desigualdades.

• Para resolver un sistema de desigualdades
• Representa cada desigualdad del sistema en los
  mismos ejes coordenados.
• Halla la región donde las gráficas se solapan.
• Prueba con un punto de la región para verificar
  la solución.

13
2x y lt 4 2x y gt 2
EJEMPLO 6
Representa gráficamente la solución de
Solución
Representamos cada desigualdad en un sistema de
ejes coordenados.
? La gráfica de 2x y lt 4 incluye todos los
puntos debajo de la recta 2x y 4. Puesto que
el límite no está incluido, lo dibujamos como
línea discontinua.
? La gráfica de 2x y 2 incluye todos los
puntos por encima de la recta 2x y 2.
Puesto que el límite no está incluido, lo
dibujamos como línea discontinua.
Toma un punto de la región doblemente sombreada y
prueba que satisface ambas desigualdades.
La región que está sombreada dos veces es el
conjunto de soluciones del sistema.
14
x ? 2 y gt 3
EJEMPLO 7
Representa gráficamente la solución de
Solución
Representamos cada desigualdad en un sistema de
ejes coordenados.
? La gráfica de x ? 2 incluye todos los puntos
sobre la recta x 2 y a su izquierda. Puesto que
la recta límite está incluida, la dibujamos
continua.
? La gráfica de y gt 3 incluye todos los puntos
por encima de la recta y 3. Puesto que la recta
límite no está incluida, la dibujamos
discontinua.
Toma un punto de la región doblemente sombreada y
prueba que satisface ambas desigualdades.
La región que está sombreada dos veces es el
conjunto de soluciones del sistema.
15
y lt 3x 1 y ? 3x 1
EJEMPLO 8
Representa gráficamente la solución de
Solución
Dibuja la gráfica de cada desigualdad.
? La gráfica de y lt 3x 1 incluye todos los
puntos por debajo de la recta discontinua y 3x
1.
? La gráfica de y ? 3x 1 incluye todos los
puntos sobre y por encima de la recta continua y
3x 1.
Puesto que los semiplanos de estas desigualdades
no tienen ningún punto de intersección, el
sistema no tiene solución.
16
Representar la solución del sistema de
inecuaciones
EJEMPLO 9
3x 4y ? 12 2x y ? 2 x ? 0
y ? 0
Solución
Representamos
r1 ? 3x 4y 12 r2 ? 2x y 2 r3 ? x
0 r4 ? y 0
Y sombreamos la región que tienen en común, que
se denomina región factible.
17
Hallar la región factible de
EJEMPLO 10
x - 3y ? -6 x 2y ? 4 3x y ? 12
Solución
Representamos cada recta
C(3, 3)
r1 ? x - 3y -6
r2 ? x 2y 4
A(0, 2)
r3 ? 3x y 12
La región factible corresponde al triángulo del
dibujo y como está limitada se dice acotada.
B(4, 0)
18
Hallar la región factible de
EJEMPLO 11
x 3y ? 3 -x y ? 1
Solución
Representamos la recta x 3y 3 tomando el
semiplano y ? (3 x)/3
Representamos la recta -x y 1 tomando el
semiplano y ? 1 x
La región factible corresponde a la zona
coloreada del dibujo y como no está limitada se
dice no acotada.
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EJERCICIO
Hallar la región factible de los sistemas de
inecuaciones siguientes
(a) x ? 2y y - x ? 2
x y ? 5 x ? 0
(b) 2x 4y ? 4 6x 3y ? 6
x ? 0 y ? 0
(c) x ? y x ? 2y x ? 20
(d) 3x 2y ? 24 y ? x
y ? 1
20
INTRODUCCION A LA PROGRAMACION LINEAL
EJEMPLO
Gepetto S.L., manufactura muñecos y trenes de
madera.

• Cada muñeco
• Produce un beneficio neto de 3 .
• Requiere 2 horas de trabajo de acabado.
• Requiere 1 hora de trabajo de carpintería.
• Cada tren
• Produce un beneficio neto de 2 .
• Requiere 1 hora de trabajo de acabado.
• Requiere 1 hora trabajo de carpintería.

• Cada semana Gepetto puede disponer de
• Todo el material que necesite.
• Solamente 100 horas de trabajo de acabado.
• Solamente 80 horas de trabajo de carpintería.
• También
• La demanda de trenes puede ser cualquiera (sin
  límite).
• La demanda de muñecos es como mucho 40.

Gepetto quiere maximizar sus beneficios. Cuántos
muñecos y cuántos trenes debe fabricar?
21
Este problema es un ejemplo típico de un problema
de programación lineal (PPL).
Variables de Decisión x nº de muñecos
producidos a la semana
y nº de trenes producidos a
la semana
Función Objetivo. En cualquier PPL, la decisión a
tomar es como maximizar (normalmente el
beneficio) o minimizar (el coste) de alguna
función de las variables de decisión. Esta
función a maximizar o minimizar se llama función
objetivo.
El objetivo de Gepetto es elegir valores de x e y
para maximizar 3x 2y. Usaremos la variable z
para denotar el valor de la función objetivo. La
función objetivo de Gepetto es
Max. z 3x 2y
Restricciones. Son desigualdades que limitan los
posibles valores de las variables de decisión. En
este problema las restricciones vienen dadas por
la disponibilidad de horas de acabado y
carpintería y por la demanda de muñecos. También
suele haber restricciones de signo o no
negatividad x 0

y 0
22
Restricciones
Max. z 3x 2y
Cuando x e y crecen, la función objetivo de este
problema también crece. Pero no puede crecer
indefinidamente porque, para este problema, los
valores de x e y están limitados por las
siguientes tres restricciones
Restricción 1 no más de 100 horas de tiempo de
acabado pueden ser usadas. Restricción 2 no
más de 80 horas de tiempo de carpintería pueden
ser usadas. Restricción 3 limitación de
demanda, no deben fabricarse más de 40 muñecos.
Estas tres restricciones pueden expresarse
matematicamente por las siguientes desigualdades
Restricción 1 2x y 100 Restricción 2
x y 80 Restricción 3 x 40
Además, tenemos las restricciones de signo x
0 e y 0
23
Formulación matemática del PPL
Variables de Decisión x nº de muñecos
producidos a la semana
y nº de trenes producidos a
la semana
Muñeco Tren
Beneficio 3 2
Acabado 2 1 100
Carpintería 1 1 80
Demanda 40
x 0 (restricción de signo)
y 0 (restricción de signo)
24
Formulación matemática del PPL
Para el problema de Gepetto, combinando las
restricciones de signo x 0 e y 0 con la
función objetivo y las restricciones, tenemos el
siguiente modelo de optimización
Max z 3x 2y (función
objetivo) Sujeto a (s.a) 2x y
100 (restricción de acabado) x y
80 (restricción de carpintería) x
40 (restricción de demanda de muñecos)
x 0 (restricción de signo)
y 0 (restricción
de signo)
25
Región factible
La región factible de un PPL es el conjunto de
todos los puntos que satisfacen todas las
restricciones. Es la región del plano delimitada
por el sistema de desigualdades que forman las
restricciones.
Restricciones de Gepetto 2x y 100
(restricción finalizado) x y 80
(restricción carpintería) x 40
(restricción demanda) x 0
(restricción signo) y 0
(restricción signo)
x 40 , y 20 está en la región factible porque
satisfacen todas las restricciones de
Gepetto. También x 10 , y 50
Sin embargo, x 15, y 70 no está en la región
factible porque este punto no satisface la
restricción de carpintería x
y 80 15 70 gt 80.
26
Solución óptima
Para un problema de maximización, una solución
óptima es un punto en la región factible en el
cual la función objetivo tiene un valor máximo.
Para un problema de minimización, una solución
óptima es un punto en la región factible en el
cual la función objetivo tiene un valor mínimo.
Se puede demostrar que la solución óptima de un
PPL está siempre en la frontera de la región
factible, en un vértice (si la solución es única)
o en un segmento entre dos vértices contiguos (si
hay infinitas soluciones)
La mayoría de PPL tienen solamente una solución
óptima. Sin embargo, algunos PPL no tienen
solución óptima, y otros PPL tienen un número
infinito de soluciones.
Más adelante veremos que la solución del PPL de
Gepetto es x 20 e y 60. Esta solución da un
valor de la función objetivo de z 3x 2y
320 260 180
Cuando decimos que x 20 e y 60 es la solución
óptima, estamos diciendo que, en ningún punto en
la región factible, la función objetivo tiene un
valor (beneficio) superior a 180 .
27
Teorema fundamental de la programación lineal
Este resultado general nos dice donde debe estar
la solución de un problema de programación lineal.
Teorema fundamental de la programación lineal ?
Si un problema de programación lineal tiene una
solución, está situada en un vértice de la región
factible. ? Si un problema de programación lineal
tiene soluciones múltiples, por lo menos una de
ellas está situada en un vértice de la región
factible. ? En cualquier caso el valor
correspondiente de la función objetivo es único.
Este teorema nos indica que deberemos buscar las
soluciones en los vértices de la región factible.
28
Representación Gráfica de las restricciones
Cualquier PPL con sólo dos variables se puede
resolver gráficamente.
Por ejemplo, para representar gráficamente la
primera restricción, 2x y 100 dibujamos la
recta 2x y 100
Elegimos el semiplano que cumple la desigualdad
el punto (0, 0) la cumple 20 0
100, así que tomamos el semiplano que lo
contiene.
29
Dibujar la región factible
Puesto que el PPL de Gepetto tiene dos variables,
se puede resolver gráficamente. La región
factible es el conjunto de todos los puntos que
satisfacen las restricciones
2x y 100 (restricción de acabado) x
y 80 (restricción de carpintería) x
40 (restricción de demanda) x
0 (restricción de signo)
y 0 (restricción de signo)
Vamos a dibujar la región factible que satisface
estas restricciones.
30
Dibujar la región factible
Restricciones 2x y 100 x y 80 x
40 x 0 y 0
Teniendo en cuenta las restricciones de signo (x
0, y 0), nos queda
31
Dibujar la región factible
Restricciones 2x y 100 x y 80 x
40 x 0 y 0
32
Dibujar la región factible
Restricciones 2x y 100 x y 80 x
40 x 0 y 0
33
Dibujar la región factible
La intersección de todos estos semiplanos
(restricciones) nos da la región factible
Región Factible
34
Vértices de la región factible
Restricciones 2x y 100 x y 80
x 40 x 0 y 0
E
La región factible (al estar limitada por rectas)
es un polígono. En esta caso, el polígono ABCDE.
D
Región Factible
Como la solución óptima está en alguno de los
vértices (A, B, C, D o E) de la región factible,
calculamos esos vértices.
C
B
A
35
Vértices de la región factible
Los vértices de la región factible son
intersecciones de dos rectas.
2x y 100
E(0, 80)
x 40
La solución del sistema x 20, y 60 nos da el
punto D.
(20, 60)
D
Región Factible
C(40, 20)
x y 80
B(40, 0)
A(0, 0)
36
Resolución analítica
Max z 3x 2y
Podemos encontrar la solución óptima calculando
el valor de z en los vértices de la región
factible.
(0, 80)
(0, 0) z 3020 0
(20, 60)
(40, 0) z 34020 120
(40, 20) z 340220 160
(20, 60) z 320260 180
(0, 80) z 30280 160
Región Factible
(40, 20)
La solución óptima es x 20 muñecos y
60 trenes z 180 de beneficio
(40, 0)
(0, 0)
37
Resolución gráfica
Max z 3x 2y
Para hallar la solución óptima, dibujamos las
rectas en las cuales los puntos tienen el mismo
valor de z (llamadas rectas de nivel). La figura
muestra estas lineas para z 0, z 100, y z
180
(0, 80)
(20, 60)
Región Factible
La última recta de z que interseca (toca) la
región factible indica la solución óptima para el
PPL. Para el problema de Gepetto, esto ocurre en
el punto D (x 20, y 60, z 180).
(40, 20)
(40, 0)
(0, 0)
z 180
z 100
z 0
38
Hemos identificado la región factible para el
problema de Gepetto y buscado la solución óptima,
la cual era el punto en la región factible con el
mayor valor posible de z.
Para resolver un problema de programación
lineal ? Escribe una expresión para la cantidad
que debe ser maximizada o minimizada (función
objetivo) y determina todas las restricciones. ?
Representa gráficamente la región factible. ?
Obtén una lista de los vértices de la región
factible. ? Determina el valor de la función
objetivo en cada vértice. ? Selecciona el valor
máximo o mínimo de la función objetivo.
Recuerda que ? La región factible en cualquier
PPL está limitada por segmentos (es un polígono,
acotado o no). ? La región factible de
cualquier PPL tiene solamente un número finito de
vértices. ? Cualquier PPL que tenga solución
óptima tiene un vértice que es óptimo.
39
Un problema de minimización
Dorian Auto fabrica y vende coches y furgonetas.
La empresa quiere emprender una campaña
publicitaria en TV y tiene que decidir comprar
los tiempos de anuncios en dos tipos de
programas del corazón y fútbol.
? Cada anuncio del programa del corazón es visto
por 6 millones de mujeres y 2 millones de
hombres.
? Cada partido de fútbol es visto por 3 millones
de mujeres y 8 millones de hombres.
? Un anuncio en el programa de corazón cuesta
50.000 y un anuncio del fútbol cuesta
100.000 .
? Dorian Auto quisiera que los anuncios sean
vistos por lo menos por 30 millones de mujeres
y 24 millones de hombres.
Dorian Auto quiere saber cuántos anuncios debe
contratar en cada tipo de programa para que el
coste de la campaña publicitaria sea mínimo.
40
Formulación del problema
Variables de decisión x nº de anuncios en
programa de corazón y nº de
anuncios en fútbol
Corazón (x) Fútbol (y)
mujeres 6 3
hombres 2 8
Coste 1.000 50 100
? Cada anuncio del programa del corazón es
visto por 6 millones de mujeres y 2
millones de hombres.
6x 3y 30
? Cada partido de fútbol es visto por 3
millones de mujeres y 8 millones de hombres.
2x 8y 24
? Un anuncio en el programa de corazón
cuesta 50.000 y en el fútbol cuesta
100.000 .
50x 100y
? Dorian Auto quisiera que los anuncios sean
vistos por lo menos por 30 millones de mujeres y
24 millones de hombres.
Dorian Auto quiere saber cuántos anuncios debe
contratar en cada tipo de programa para que el
coste de la campaña publicitaria sea mínimo.
41
Formulación del problema
Variables de decisión x nº de anuncios en
programa de corazón y nº de
anuncios en fútbol
Min z 50x 100y s.a 6x 3y 30 2x 8y
24 x, y 0
? (función objetivo en 1.000 )
? (mujeres)
? (hombres)
? (no negatividad)
42
Dibujamos la región factible
Min z 50x 100y s.a. 6x 3y 30 2x 8y
24 x, y 0
43
Calculamos los vértices de la región factible
La región factible no está acotada
6x 3y 30
A
Región Factible
2x 8y 24
B
C
44
Resolvemos por el método analítico
Evaluamos la función objetivo z en los vértices.
A(0, 10) z 500 10010
0 10000 10 000
A(0, 10)
B(4, 2) z 504 1002
200 200 400
Región Factible
C(12, 0) z 5012 1000
6000 0 6 000
El coste mínimo se obtiene en B.
B(4, 2)
Solución x 4 anuncios en pr. corazón y 2
anuncios en fútbol Coste z 400 (mil )
C(12, 0)
45
Resolvemos por el método gráfico
Min z 50x 100y s.a. 6x 3y 30 2x 8y
24 x, y 0
A(0, 10)
Región Factible
El coste mínimo se obtiene en el punto B.
z 600
z 400
B(4, 2)
Solución x 4 anuncios en pr. corazón y 2
anuncios en fútbol Coste z 400 (mil )
C(12, 0)
46
Número de Soluciones de un PPL
Los dos ejemplos anteriores, Gepetto y Dorian
Auto, tienen, cada uno, una única solución
óptima. No en todos los PPL ocurre esto. Se
pueden dar también las siguientes posibilidades
? Algunos PPL tienen un número infinito de
soluciones óptimas (alternativas o múltiples
soluciones óptimas).
? Algunos PPL no tienen solución óptima debido a
dos razones
- Algunos PPL no tienen soluciones factibles
(no tienen región factible).
- Algunos PPL son no acotados Existen puntos
en la región factible con valores de z
arbitrariamente grandes (en un problema de
maximización).
Veamos un ejemplo de cada caso.
47
Número infinito de soluciones óptimas
Maximiza f(x, y) 30x 60y
x y 8 x 2y 10 x 0 y 0
sujeto a
1) Región factible. Es el gráfico de la
derecha.
2) Valores de la función objetivo en los
vértices de la región factible. O(0, 0) ? f(0,
0) 30 0 60 0 0 A(8, 0) ? f(8, 0)
30 8 60 0 240 B(6, 2) ? f(6, 2) 30
6 60 2 300 ? Máximo C(0, 5) ? f(0, 5)
30 0 60 5 300 ? Máximo
48
Número infinito de soluciones óptimas
3) La solución se alcanza en los vértices B(6, 2)
y C(0, 5), por tanto, también se alcanza en todos
los puntos del lado que une los puntos B(6, 2) y
C(0, 5), es decir, tiene infinitas soluciones.
Se observa gráficamente que el lado BC es
paralelo a las rectas de nivel de la función
objetivo.
Cualquier punto (solución) situado en el segmento
BC puede ser una solución óptima de z 300.
49
Sin soluciones factibles
Minimiza f(x, y) 17x 35y
No existe región factible
x y 7 2x 3y 12 x 0 y 0
sujeto a
Se observa que la región factible está vacía, es
decir, no hay ningún punto en el plano que
verifique las restricciones del enunciado del
problema. Por tanto, el problema no tiene
solución.
50
PPL no acotado
Maximiza z x 2y
sujeto a
x y ? 1 x ? 0 y ? 0
SOLUCIÓN
La gráfica muestra la región factible.
Las rectas de la función objetivo z x 2y para
z 2, z 8 y z 12 se muestran también en la
figura. Observa que la región factible no es
acotada y obtenemos valores más grandes para z
moviendo la recta de la función objetivo hacia
arriba.
No se alcanza nunca el valor máximo. Puesto que
no hay punto factible que hace z el más grande,
concluimos que este problema de programación
lineal no tiene solución.
Observa que si, se trata de minimizar una función
objetivo en un recinto no acotado, sí puede tener
solución.
51
Puesto que la función objetivo logra su valor
máximo o mínimo en un vértice de la región
factible, podemos obtener un procedimiento para
solucionar un problema de programación lineal que
tenga solución.
Pasos resolver un problema de programación
lineal Si un problema de programación lineal
tiene una solución, seguir estos pasos para
encontrarla PASO 1 Escribe una expresión para
la cantidad que debe ser maximizada o minimizada
(función objetivo). PASO 2 Determina todas las
restricciones y representa gráficamente la
región factible. PASO 3 Obtén una lista de los
vértices de la región factible. PASO 4 Determina
el valor de la función objetivo en cada
vértice. PASO 5 Selecciona el valor máximo o
mínimo de la función objetivo.
52
Resolver un problema de programación lineal
EJEMPLO
Maximiza y minimiza la función objetivo z x
5y sujeto a x 4y ? 12
x ? 8 x y ? 2
x ? 0
y ? 0
SOLUCIÓN
Dibujamos la región factible.
Los vértices de la región factible son (0, 3)
(8, 1) (8, 0) (2, 0) (0, 2)
53
Resolver un problema de programación lineal
(Continuación)
EJEMPLO
Para encontrar el valor máximo y mínimo de la
función objetivo z x 5y, construimos la
tabla
Vértice (x, y) Valor de la función objetivo z x 5y
(0, 3) (8, 1) (8, 0) (2, 0) (0, 2) z 0 5(3) 15 z 8 5(1) 13 z 8 5(0) 8 z 2 5(0) 2 z 0 5(2) 10
El valor máximo de z es 15, y ocurre en el punto
(0, 3). El valor mínimo de z es 2, y ocurre en el
punto (2, 0).
54
Planificar la inversión
EJEMPLO
Una persona tiene 30.000 para invertir. Su
corredor recomienda invertir en dos tipos de
fondos uno AAA que rinde el 8 el otro B rinde
el 12. Después de pensarlo, la persona decide
invertir a lo más 12.000 en el B y por lo
menos 6000 en AAA. También desea que la
cantidad invertida en AAA debe exceder o igualar
la cantidad invertida en B. Qué debe recomendar
el corredor si la persona desea maximiza la
rentabilidad de su inversión?
Sean las variables x cantidad invertida en el
fondo AAA y
cantidad invertida en el fondo B
SOLUCIÓN
La cantidad a maximizar, la rentabilidad en la
inversión, es ?
z 0.08x 0.12y
Las condiciones especificadas por el problema son
x y ? 30 000
Hasta 30.000 disponibles para invertir ?
y ? 12 000
Invertir a lo más 12.000 en el fondo B ?
x ? 6 000
Invertir por lo menos 6000 en el fondo AAA ?
La cantidad en el fondo AAA debe exceder o
igualar a la cantidad en el fondo B ?
x ? y
55
Planificar la inversión (Continuación)
EJEMPLO
Además, debemos tener las condiciones x ? 0 e y ?
0. La lista total de restricciones es
La figura ilustra la región factible, que es
acotada. Los vértices de la región factible son
(6000, 0) (6000, 6000) (12000, 12000) (18000,
12000) (30000, 0)
56
Planificar la inversión (Continuación)
EJEMPLO
La rentabilidad de la inversión correspondiente
en cada vértice es
Vértice (x, y) Valor de la función objetivo (rentabilidad) z 0.08x 0.12y
(6000, 0) (6000, 6000) (12000, 12000) (18000, 12000) (30000, 0) z 0.08(6000) 0.12(0) 480 z 0.08(6000) 0.12(6000) 480 720 1200 z 0.08(12000) 0.12(12000) 960 1440 2400 z 0.08(18000) 0.12(12000) 1440 1440 2880 z 0.08(30000) 0.12(0) 2400
El máximo rendimiento en la inversión es 2880 ,
obtenido colocando 18.000 en el fondo AAA y
12.000 en el fondo B.
57
El problema de la dieta
EJEMPLO
Imaginemos que las necesidades semanales mínimas
de una persona son de 8 unidades de proteínas, 12
unidades de hidratos de carbono y 9 unidades de
grasa. Supongamos que debemos obtener un
preparado con esa composición mínima mezclando
dos productos A y B, cuyos contenidos por kg son
los de la siguiente tabla Cuántos Kg de
cada producto deberán comprarse semanalmente para
que el costo de preparar la dieta sea mínimo?
Proteínas Hidratos Grasas Coste/kg
A B 2 1 6 1 1 3 6 4
SOLUCIÓN
Sean x los kg de A e y los kg de B, entonces hay
que minimizar el coste z
z 6x 4y
58
El problema de la dieta (Continuación)
EJEMPLO
Proteínas Hidratos Grasas Coste/kg
A B 2 1 6 1 1 3 6 4
? 8 ? 12 ? 9 Min
Min z 6x 4y
Las restricciones impuestas en proteínas,
hidratos de carbono y grasas, se pueden expresar
2x y ? 8 (Proteínas)
6x y ? 12 (Hidratos de carbono)
x 3y ? 9 (Grasas)
Por tanto, el PPL que hemos de resolver es
x ? 0 y ? 0
Minimiza z 6x 4y Sujeto a 2x y ? 8
6x y ? 12 x
3y ? 9 x ? 0
y ? 0
59
El problema de la dieta (Continuación)
EJEMPLO
Representamos la región factible correspondiente
a las restricciones
2x y ? 8 6x y ? 12 x 3y ? 9 x ? 0
y ? 0
A(0, 12)
Región factible
6x y 12
Vértice (x, y) Valor de la función objetivo z 6x 4y
A(0, 12) B(1, 6) C(3, 2) D(9, 0) z 60 412 48 z 61 46 30 z 63 42 26 z 69 40 54
B(1, 6)
2x y 8
C(3, 2)
x 3y 9
Solución deberán comprarse 3 kg de A y 2 kg de
B. Su coste (mínimo) será de 26 .
D(9, 0)
60
(No Transcript)