UNIVERSITA

1
UNIVERSITA DEGLI STUDI DI TERAMOMASTER
UNIVERSITARIO DI I LIVELLO

• ANNO ACCADEMICO
• 2003/2004

2
COMUNICAZIONE E DIVULGAZIONE SCIENTIFICADA
EUCLIDEAD HILBERT( levoluzione della geometria)

• a cura di
• GIOSUE PASSACQUALE

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MENU INIZIALE

• LA NATURA DELLA GEOMETRIA
• GLI ELEMENTI DI EUCLIDE
• LA CRISI DEI FONDAMENTI DELLA GEOMETRIA
• I GRUNDLAGEN DER GEOMETRIE (FONDAMENTI DELLA
  GEOMETRIA)
• DI HILBERT
• SIGNIFICATO CULTURALE DELLA GEOMETRIA
• BIBLIOGRAFIA ESSENZIALE
• RINGRAZIAMENTI

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LA NATURA DELLA GEOMETRIA

• Che cosè la geometria?
• Qual è loggetto di studio della geometria?
• Quali sono le origini della geometria?
• Qual è il metodo della geometria?

5
La geometria è larte di fare i ragionamenti
giusti sulle figure sbagliate.

• Definizione ironica e paradossale, ma
  profondissima che presenta tutte le componenti
  essenziali della geometria
• il ragionamento (logico) deduttivo
• i ragionamenti giusti
• lintuizione concreta
• il riferimento alla realtà
• le figure, che non sono il vero oggetto dello
  studio della geometria.

6
figure o immagini mentali

• Le figure non sono il vero oggetto dello studio
  della geometria, ma un appoggio alla formazione
  di quelle immagini mentali (vero oggetto di
  studio della geometria) che sono le elaborazioni
  fantastiche con cui la nostra mente descrive le
  forme degli oggetti reali.
• Le figure, cioè i segni, cioè i simboli, NON
  vanno letti in modo ingenuo e superficiale, MA
  vanno tradotti nei significati che noi conveniamo
  di attribuire loro, di cui noi vogliamo
  caricarli. Tutte le figure, prese come meri segni
  grafici, sono sempre sbagliate, per definizione
  ma se ci serviamo convenzionalmente di esse per
  rappresentare un particolare concetto astratto,
  allora possono essere un utile guida per i nostri
  ragionamenti logico deduttivi.

7
Le radici della geometria

• Non vi sono dubbi che la geometria storicamente
  sia partita dalla realtà (il nome stesso
  letteralmente vuol dire misura della terra),
  pensiamo alle esigenze di agrimensori, astronomi,
  architetti, Ma, come ogni altra branca della
  matematica, dopo aver risposto ad esigenze più o
  meno pratiche, sotto la pressione della loro
  necessità, essa inevitabilmente acquista valore
  in se stessa e trascende i confini dellutilità
  pratica.

8
Il metodo ipotetico deduttivo

• Se loggetto della geometria non è, come abbiamo
  già detto, la realtà fisica in sé ma le immagini
  mentali che ci creiamo per descriverla, allora è
  altrettanto vero che il metodo dindagine della
  geometria devessere diverso da quello del
  fisico, basato sullosservazione di un fenomeno
  (e sulla sua riproducibilità in laboratorio).
• La costruzione del complesso edificio della
  geometria è basata sul metodo ipotetico-deduttivo
  
• si fissano degli enti primitivi e degli assiomi
  che descrivono le proprietà di cui godono tali
  enti, poi, a partire da questi, si deducono nuovi
  risultati i teoremi.
• Questi ultimi assumono valore di verità solo
  dopo essere stati dimostrati!
• Tale metodo ebbe origine in matematica ai tempi
  di Eudosso di Cnido e si consolidò negli
  Elementidi Euclide.

9
Chi è più lungo fra T ed S? e fra i segmenti AF e
BF?
C
D
F
T
S
A
B
E
10
E adesso che ho ripulito il disegno? Mai fidarsi
delle apparenze!
F
T
S
A
B
11
Qual è il vero quadrato?
12
EUCLIDE chi?!

• Considerata la fama degli Elementi e del loro
  autore, le notizie che abbiamo sulla vita di
  Euclide sono sorprendentemente scarse (non si sa
  neppure dove sia nato). Certo è che, intorno al
  300 a.C., insegnò matematica ad Alessandria
  dEgitto, nellaccademia nota come il MUSEO. Le
  leggende lo dipingono come uomo abbastanza
  anziano e di temperamento gentile. Ma

13
GENTILE, MA DECISO

• Si narra che Tolomeo I, illuminato monarca che
  istituì ad Alessandria laccademia nota come il
  Museo e che chiamò tra gli altri Euclide ad
  insegnarvi matematica, abbia chiesto una facile
  introduzione alla geometria allo stesso Euclide,
  il quale, si dice, abbia fermamente replicato che
  non esiste nessuna strada regale che porti alla
  geometria
• Evidentemente Euclide non dava molta importanza
  agli aspetti pratici della sua disciplina
  infatti si racconta che quando un allievo gli
  chiese che utilità avesse lo studio della
  geometria, Euclide si rivolse al suo schiavo
  dicendogli di dare una monetina allallievo
  perché ha bisogno di trarre guadagno da ciò che
  impara

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STRUTTURA DEGLI ELEMENTI
15
I libri da I a VI degli Elementi

• libro I proprietà sulle figure rettilinee
• libro II lalgebra geometrica
• libro III la geometria dei cerchi
• libro IV figure inscritte e circoscritte a
  cerchi
• libro V la teoria delle proporzioni
• libro VI le figure simili

16
I libri da VII a IX degli Elementi

• libro VII proprietà dei numeri interi
• libro VIII le proporzioni continue (prog. geo.)
  
• libro IX teo. su numeri quadrati, cubi, piani e
  solidi e altri teoremi sulle prog. geometriche

17
Il libro X

• La classificazione degli incommensurabili
• (ad es. contiene la dimostrazione
  dellirrazionalità di radice quadrata di due)

18
I libri da XI a XIII degli Elementi

• libro XI inizia a trattare la geometria solida
• libro XII teoremi sulle aree e i volumi (in
  particolare di fig. curvilinee e di fig.
  delimitate da superfici) e metodo di esaustione
  
• libro XIII proprietà dei poligoni regolari il
  problema di come inscrivere i cinque solidi
  regolari in una sfera e non possono esistere più
  di cinque solidi (poliedri) regolari (e convessi)

19
I libri XIV a XV degli Elementi(entrambi postumi)

• libro XIV dovuto a Ipsicle (150 a.C.)
• libro XV alcune parti furono scritte
  probabilmente intorno al VI secolo d.C.

20
I CINQUE SOLIDI PLATONICI

• Mentre nel piano possiamo costruire poligoni
  convessi regolari con un numero arbitrario di
  lati, è sorprendente che nello spazio
  tridimensionale sia possibile costruire solo
  cinque poliedri convessi regolari tetraedro,
  cubo (o esaedro), ottaedro, dodecaedro e
  icosaedro.

21
LE DEFINIZIONI DEGLI ELEMENTI

• D1. Punto è ciò che non ha parti.
• D2. Linea è lunghezza senza larghezza.
• D3. Estremi di una linea sono i punti.
• D4. Linea retta è quella che giace ugualmente
  rispetto ai suoi punti.
• D5. Superficie è ciò che ha solo lunghezza e
  larghezza.
• D6. Estremi di una superficie sono linee.
• D7. Superficie piana è quella che giace
  ugualmente rispetto alle sue rette.

22
ALTRE DEFINIZIONI DEGLI ELEMENTI

• D15. Cerchio è una figura piana limitata da
  ununica linea tale che tutte le linee rette
  condotte su di essa da un punto fra quelli che
  giacciono allinterno della figura sono uguali
  fra loro.
• D16. E il punto viene detto centro del cerchio.
• D17. Diametro del cerchio è una retta tracciata
  per il centro e limitata in entrambe le direzioni
  dalla circonferenza del cerchio, e una tale retta
  biseca anche il cerchio.
• D23. Parallele sono quelle rette che, essendo
  nello stesso piano e venendo prolungate
  indefinitamente in entrambe le direzioni, non si
  incontrano fra loro in nessuna di queste.

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OSSERVAZIONI ALLE DEFINIZIONI

• OD1. E cosa significa precisamente?
• OD2. Linea qui significa curva. Spazio ad una
  dimensione.
• OD3. Questa def. mette chiaramente in evidenza
  che per Euclide una linea o curva ha sempre
  lunghezza finita.
• OD4. La retta per Euclide, in accordo con la
  def.3, è il nostro segmento. Alcuni studiosi
  sostengono che tale def. sia stata suggerita
  dalla livella del muratore.
• OD5. Spazio a due dimensioni.
• OD17. Notare che la circonferenza non è stata
  mai definita esplicitamente.
• OD23. In realtà la def. data riguarda due
  segmenti paralleli e non due rette.

24
LE CINQUE NOZIONI COMUNI ( O ASSIOMI )

• A1. Cose uguali ad una medesima cosa sono uguali
  anche tra loro
• A2. Se a cose uguali si aggiungono cose uguali,
  le somme sono uguali
• A3. Se da cose uguali si sottraggono cose
  uguali, i resti sono uguali
• A4. Le cose che coincidono fra loro sono uguali
  fra loro
• A5. Il tutto è maggiore della parte.

25
I CINQUE POSTULATI ( O
RICHIESTE )

• P1. si possa tracciare una retta da un punto
  qualsiasi ad un punto qualsiasi
• P2. si possa prolungare indefinitamente una linea
  retta
• P3. si possa descrivere un cerchio con un centro
  qualsiasi ed un raggio qualsiasi
• P4. tutti gli angoli retti siano uguali tra loro
• P5. se una retta che interseca due altre rette
  forma dalla stessa parte angoli interni
  inferiori a due angoli retti, allora le due
  rette, se prolungate indefinitamente, si
  incontrano da quella parte dove gli angoli sono
  inferiori a due retti.

26
Il postulato delle parallele
27
Differenza fra ASSIOMI e POSTULATI secondo
Aristotele

• ASSIOMA
• gli assiomi o nozioni comuni devono essere
  convincenti di per se stessi, sono verità comuni
  a tutte le scienze
• (dal greco axios, degno di credibilità)

• POSTULATO
• i postulati sono meno evidenti e non
  presuppongono lassenso dellallievo, poiché
  riguardano soltanto la disciplina in questione
• (dal latino postulare, richiedere)

• I matematici moderni non fanno alcuna
• differenza essenziale fra un assioma e un
  postulato

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PREGI DEGLI ELEMENTI

• Sono la maggiore e più antica opera matematica
  greca che ci sia pervenuta
• Sono il più autorevole manuale di matematica di
  tutti i tempi, la prima fonte di conoscenza
  matematica
• Il concetto di matematica, la nozione di
  dimostrazione e lordinamento logico dei teoremi
  vennero appresi dal loro studio
• Euclide sottolinea limportanza di dimostrare
  lesistenza delle figure prima di inserirle nella
  struttura logica della geometria
• La scelta degli assiomi fatta da Euclide è assai
  sofisticata
• a partire da un piccolo gruppo di assiomi riesce
  a dimostrare centinaia di teoremi alcuni dei
  quali molto profondi
• Lassioma delle parallele è gestito con
  particolare intelligenza

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DIFETTI DEGLI ELEMENTI

• Luso della sovrapposizione (manca una base
  logica per il concetto di moto spostando una
  figura chi ci garantisce che essa conservi tutte
  le sue proprietà?)
• La vaghezza di alcune definizioni (vedi libroV)
• Linutilità di alcune definizioni (punto, rette,
  superficie,)
• Numerose definizioni, come la D17, presuppongono
  un assioma
• Euclide usa fatti, evidenti dalle figure o
  intuitivamente veri, senza mai dimostrarli
• Vi sono anche difetti nelle dimostrazioni alcuni
  teoremi vengono enunciati in generale ma
  dimostrati solo in casi particolari
• I tredici libri non costituiscono un corpo
  unitario, ma sono compilazioni di opere precedenti

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E INOLTRE

• Se non è rigorosa la geometria non è nulla I
  metodi di Euclide non sono, per consenso quasi
  universale, eccezionali per il loro rigore.
  (Henry J. S. SMITH, 1873)
• Quando Euclide, considerato come libro di testo,
  veniva attaccato era uso difenderlo dicendo che
  la sua eccellenza logica è trascendente, e
  consente un invalutabile esercizio al potere
  giovanile di ragionamento.
• In realtà la forza dimostrativa di una valida
  dimostrazione sta nel non disegnare alcuna
  figura, ma molte delle dimostrazioni di Euclide
  cadono se sottoposte a questa prova. (BERTRAND
  RUSSELL, 1902)

31

• VALIDA DIMOSTRAZIONE?
• Dato un triangolo ABC, costruiamo la bisettrice
  CH dellangolo ACB e lasse DH del lato AB.
• Queste due rette si intersecano in un punto H
  (vedi fig.), allora tracciamo le perpendicolari
  ai lati BC e AC uscenti dal punto H siano queste
  HE e HF rispettivamente.
• I triangoli CFH e CEH sono uguali, perché hanno
  rispettivamente CFHCEH (ang. retti) CH in
  comune FCHECH (per ipotesi CH bisettrice di
  FCE).
• In particolare
• CFCE e FHEH
• I triangoli AHF e BHE sono uguali, perché hanno
  rispettivamente AFHBEH (ang. retti) FHEH
  (preced. dim.) AHBH (per una proprietà
  dellasse di un segmento). In particolare
• FAEB
• Ma allora i lati CA e CB sono uguali perché
  somma di segmenti uguali
• CACFFACEEBCB
• Pertanto il triangolo ABC è isoscele.
• C.V.D

C


E
F
H
x
x
A
B
D

• FALSO TEOREMA.
• Ogni triangolo
• è isoscele.

32
LERA DELLE GEOMETRIE NON EUCLIDEE

• Sebbene fossero state mosse critiche alla
  struttura logica degli Elementi di Euclide fin
  dal momento in cui vennero scritti, i difetti
  erano considerati di scarsa importanza. Fu il
  lavoro sulle Geometrie Non Euclidee(G.N.E.) a
  rendere consapevoli i matematici della reale
  importanza delle deficienze della struttura di
  Euclide, perché nel portare a termine le
  dimostrazioni dovevano essere particolarmente
  critici su ciò che stavano accetttando nelle
  G.N.E. veniva a mancare quella verità intuitiva
  (ma a volte fuorviante) dovuta al ricorso al
  disegno (ad es. il falso teorema sul triangolo).
• Tutto ciò obbligò i matematici a dedicarsi alla
  costruzione dei fondamenti della geometria
  euclidea e di altre geometrie che potessero
  godere della stessa dignità di quella euclidea.
  Tale attività si sviluppò intensamente negli
  ultimi trentanni del XIX secolo.

33
Cenni sulle geometrie non euclidee

• Il pensiero di Kant sulla geometria euclidea
• Le ricerche sullassioma delle parallele
• Lettera di Gauss a Bessel
• Nicolaj Ivanovic Lobacevskij (il Copernico della
  geometria)
• Janos Bolyai
• Georg Bernhard Riemann

34
Il pensiero di Kant

• Kant, nella Critica alla ragion pura (1781),
  sosteneva che le nostre menti sono obbligate a
  vedere il mondo esterno in un unico modo, quindi
  certi principi relativi allo spazio sono
  anteriori allesperienza. Tali principi e le loro
  conseguenze che Kant chiamava giudizi sintetici a
  priori sono quelli della geometria euclidea.

35
Lassioma delle parallele

• Fra la fine del Settecento e linizio
  dellOttocento, cominciò a svilupparsi la critica
  ai fondamenti della geometria euclidea, con
  particolare riferimento al V postulato o delle
  parallele. Importanti risultati furono raggiunti
  da Girolamo Saccheri (1667-1733),
• il quale convinto di aver dedotto tale
  postulato, pubblicò l Euclides ab Omni Naevo
  Vindicatus.

36
Lettera di Gauss a Bessel

• Allinizio del XIX secolo,intorno al 1813, Karl
  Friedrich Gauss (1777-1855) cominciò a costruire
  una geometria che non ritenesse valido il V
  postulato di Euclide e in realtà si convinse che
  era logicamente coerente, ma non pubblicò mai
  unesposizione completamente deduttiva delle sue
  ricerche perché, come scrisse in una lettera a
  Bessel del 27 gennaio 1829, temeva le strida dei
  beoti

37
Nicolaj Ivanovic Lobacevskij (il Copernico della
geometria)

• Lobacevskij (1793-1856), russo, fu il primo
  matematico a fare il passo rivoluzionario di
  pubblicare, nel 1829, sulla Gazzetta di Kazan, il
  saggio Sui principi della Geometria, in cui
  espone una nuova geometria, costruita
  specificamente su unipotesi in diretta
  contraddizione con il postulato delle parallele
  (geometria iperbolica)
• per un punto P esterno ad una retta r si può
  tracciare nello stesso piano più di una retta
  parallela ad r.

38
Janos Bolyai

• Bolyai (1802-1860) era un ufficiale ungherese e
  figlio di un insegnante di matematica in una
  città di provincia, tale Wolfgang Bolyai, tra
  laltro amico di Gauss, che aveva dedicato tutta
  la sua vita ai tentativi di dimostrare il
  postulato delle parallele. Il lavoro di Bolyai
  sulla geometria non euclidea (La scienza dello
  spazio assoluto) fu pubblicato solo nel 1832 in
  appendice ad un libro del padre, benchè rechi una
  licenza di stampa datata 1829, lo stesso anno in
  cui Lobacevskij pubblicò il suo. Lipotesi di
  Bolyai era leggermente differente da quella del
  collega russo (ma sempre geometria iperbolica)
• nello stesso piano, per un punto P esterno ad
  una retta r esistono infinite rette parallele ad
  r.

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Georg Bernahrd Riemann

• Riemann (1826-1866) nonostante origini molto
  modeste riuscì ad ottenere uneducazione di
  ottimo livello, prima a Berlino e poi a Gottinga.
  Le geometrie di Riemann sono non euclidee in un
  senso molto più vasto di quelle di Lobacevskij e
  Bolyai. Secondo Riemann la geometria dovrebbe
  parlare solo di ennuple ordinate che vengono
  raggruppate secondo certe regole luso attuale
  del nome di Riemann, limitatamente alla geometria
  non euclidea ellittica, non dà pieno
  riconoscimento al radicale mutamento introdotto
  nel pensiero geometrico dalla sua lezione,
  Habilitationsvortrag, per il conseguimento del
  titolo di Privatdozent tenuta nel 1854 alla
  facoltà di Gottinga e successivamente
  pubblicata nel 1868 con il titolo Sulle ipotesi
  che stanno alla base della geometria.

40
Gauss, Lobacevskij, Bolyai e Riemann
41
PRINCIPALI PROTAGONISTI DELLA RIFONDAZIONE

• Moritz PASCH (1843-1930) Lezioni sulla nuova
  geometria, 1882.
• Giuseppe PEANO (1858-1932) Principii di
  geometria, 1889
• Giuseppe VERONESE (1854-1917) Fondamenti di
  geometria, 1891
• David HILBERT (1862-1943) Grundlagen der
  geometrie, 1899

42
MORITZ PASCH

• Moritz PASCH (1843-1930) fu il primo a dare
  contributi fondamentali alla fondazione della
  geometria famoso un suo assioma. Nelle sue
  Vorlesungen dice Se la geometria deve diventare
  una scienza genuinamente deduttiva, è essenziale
  che il modo in cui sono fatte le inferenze sia
  del tutto indipendente dal significato dei
  concetti geometrici, e anche dai disegni.

43
GIUSEPPE PEANO

• Giuseppe PEANO (1858-1932) nei suoi Principii di
  geometria (1889), propose un insieme di assiomi
  per la geometria euclidea. Anchegli mise in
  evidenza che gli elementi fondamentali non sono
  definiti ed enunciò il principio secondo il quale
  ci devono essere meno concetti indefiniti
  possibili. Egli usò punti, segmenti e moti.

44
GIUSEPPE VERONESE

• Giuseppe VERONESE (1854-1917) Fondamenti di
  geometria (1891), egli usò come elementi
  indefiniti rette, segmenti e congruenze di
  segmenti. Inoltre fu autore di diverse geometrie
  non archimedee.

45
HILBERT chi?!

• David Hilbert (1862-1943), matematico tedesco
  nato a Konigsberg, molti lo considerano il più
  grande matematico del suo tempo soprattutto per
  limportanza da lui data allidea di struttura.
• I pregi dei Grundlagen
• La curva di Hilbert
• I 23 problemi di Hilbert
• Grundlagen der Geometrie

46
I SETTE PONTI DI KONIGSBERG

• Esiste una passeggiata che permetta di
  attraversare tutti i 7 ponti di Konigsberg
  passando su ognuno di essi UNA ED UNA SOLA volta?
  (soluzione)
• Si può partire da una delle 4 zone ( nord, sud,
  isola A, isola B) ma non stando già su uno dei
  ponti. Nella fig. a fianco è descritto un
  percorso che parte dallisola B e termina nella
  zona sud.

47
Soluzione problema dei 7 ponti

• Definiamo zona di passaggio una zona toccata da
  un numero pari di ponti e zona non di passaggio
  una zona toccata da un numero dispari di ponti.
• Se vogliamo realizzare una passeggiata che
  attraversi ogni ponte una ed una sola volta
  possono esserci al più due zone non di
  passaggio una di partenza e una di arrivo.
• Contiamo quanti ponti toccano ogni zona 5
  lisola A e 3 tutte le altre zone.
• Quindi abbiamo 4 zone non di passaggio
  TROPPE!!!

48
Altri problemi simili ai 7 ponti

• Sapete trovare un modo per disegnare la casetta
  qui a fianco senza mai staccare la matita dal
  foglio?
• E la busta chiusa qui a fianco?
• E se la apriamo?
• SOLUZIONI

49
SOLUZIONI

• Ci sono esattamente due zone non di passaggio
  A (da cui escono 3 linee) e B (da cui ne escono
  5)
• Anche qui 2 zone non di passaggio (i 2 vertici
  in alto del rettangolo)
• Nella busta aperta tutti i punti sono zone di
  passaggio, quindi anche in questo caso esiste
  una soluzione

50
Hilbert fu preferito ad altri perché

• Rappresenta il sistema di assiomi per la
  geometria (proiettiva) più semplice per i suoi
  concetti e per i suoi enunciati, ed è più vicino
  di altri a quello di Euclide
• A partire dai suoi assiomi Hilbert dimostrò
  alcuni teoremi fondamentali della geometria
  euclidea (altri mostrarono che tutta la geom.
  Euclidea discende dagli assiomi)
• Hilbert dimostrò che tutti gli assiomi di un
  certo gruppo non possono essere dedotti dagli
  assiomi degli altri quattro gruppi (problema
  dellindipendenza)
• Una delle caratteristiche più belle degli assiomi
  di Hilbert è che gli assiomi per la geometria non
  euclidea iperbolica si ottengono immediatamente
  sostituendo lassioma euclideo delle parallele
  con lassioma di Lobatchevsky-Bolyai, tutti gli
  altri assiomi del sistema di Hilbert restano
  invariati.
• Per ottenere gli assiomi per la geometria non
  euclidea ellittica, oltre ad abbandonare
  lassioma euclideo delle parallele in favore
  dellassioma di Riemann, si devono cambiare anche
  altri assiomi.

51
LA CURVA DI HILBERT"

• Il nome di Hilbert è legato a una semplice curva
  che riempie lo spazio. Essa viene generata
  continuando allinfinito il seguente processo
  suddividiamo un quadrato unitario in 4 quadrati
  uguali e congiungiamo i loro punti centrali con
  una linea spezzata aperta formata da 3 segmenti
  ora dividiamo ogni quadratino in altri 4 quadrati
  uguali e congiungiamo i centri dei 16 quadrati
  così ottenuti con una nuova linea spezzata e
  così via allinfinito. La curva di Hilbert è il
  limite delle successive curve poligonali
  costruite ad ogni passo.

52
La costruzione della curva di Hilbert 1
53
La costruzione della curva di Hilbert 2
54
con un segmento ti copro un quadrato

• La curva di Hilbert fornì un altro esempio di
  applicazio-ne continua di un segmento in un
  quadrato infatti, poiché sia i sottoquadrati che
  le parti del segmento unitario si contraggono ad
  un punto al procedere della suddivisione,
  possiamo vedere intuitivamente che ad ogni punto
  del segmento unitario corrisponde un punto del
  quadrato.

55
Altre curve fastidiose

• La curva di Giuseppe Peano (1858-1932)
• Il fiocco di neve di HelgeVon Koch (1870-1924)

56
La curva di Peano
57
La curva di Von Koch
58
I 23 PROBLEMI DI HILBERT

• Hilbert viaggiò molto, specialmente per
  partecipare ai congressi internazionali di
  matematica, che sono diventati caratteristici nel
  XX secolo. Il primo congresso ufficiale di
  matematica fu tenuto a Zurigo nel 1893, il
  secondo a Parigi nel 1900, e da allora in poi si
  sono ripetuti più o meno regolarmente ogni 4
  anni. A quello di Parigi, Hilbert, che era già un
  professore famoso a Gottinga, presentò una
  relazione in cui proponeva 23 problemi che a suo
  giudizio sarebbero stati o avrebbero dovuto
  essere quelli che maggiormente avrebbero
  impegnato lattenzione dei matematici del XX
  secolo.

59
La matematica è una scienza viva!

• Se vogliamo farci unidea del probabile sviluppo
  della conoscenza matematica nellimmediato
  futuro, dobbiamo passare in rassegna davanti alla
  nostra mente le questioni irrisolte e guardare ai
  problemi che la scienza moderna ha di fronte e la
  cui soluzione ci aspettiamo dal futuro.
• I problemi proposti da Hilbert interessavano la
  topologia, le equazioni differenziali, il
  calcolo delle variazioni, la struttura del
  continuo dei numeri reali, gli assiomi
  dellaritmetica e altre branche della matematica.
  Circa metà di essi sono rimasti irrisolti, anche
  perché la matematica si è sviluppata in parecchie
  direzioni che non erano state minimamente
  anticipate nel 1900.
• Fin tanto che una disciplina scientifica
  presenta una grande quantità di problemi, essa
  continua ad essere viva.

60
STRUTTURA DEI GRUNDLAGEN
61
I GRUNDLAGEN IN SINTESI

• Hilbert apre i Grundlagen con la seguente frase
  di Kant Ogni conoscenza umana parte da
  intuizioni, procede attraverso concetti e culmina
  in idee
• subito dopo elenca i concetti indefiniti
• punto, retta, piano, giacere su, stare fra,
  congruenza di coppie di punti e congruenza di
  angoli
• poi presenta il suo sistema di assiomi che
  riunisce in un solo insieme la geometria
  euclidea piana e solida.
• Gli assiomi sono suddivisi in 5 gruppi
• assiomi di connessione, assiomi di ordinamento,
  assiomi di congruenza, assioma delle parallele e
  assiomi di continuità.

62
tavoli, sedie e boccali di birra

• Secondo Hilbert, non è necessario assegnare alcun
  significato esplicito ai concetti indefiniti.
  Questi elementi, punto, retta, piano ed altri,
  potrebbero essere sostituiti, come disse Hilbert
  stesso, da TAVOLI, SEDIE, BOCCALI DI BIRRA e
  da altri oggetti. Gli assiomi non sono verità
  evidenti in sé, ma devono essere considerati
  arbitrari, anche se, di fatto, sono suggeriti
  dallesperienza

63
GLI 8 ASSIOMI DI CONNESSIONE (o di incidenza)

1. Per ogni coppia di punti A e B, esiste una retta
   a che giace su A e B
2. Per ogni coppia di punti A e B, esiste al più una
   retta a che giace su A e B
3. Su ogni retta ci sono almeno due punti. Esistono
   almeno tre punti che non giacciono su una retta
4. Per ogni terna di punti A, B, C che non giacciono
   su una retta, esiste un piano a che giace su
   questi tre punti. Su ogni piano cè almeno un
   punto
5. Per ogni terna di punti non allineati A, B, C
   esiste non più di un piano che li contiene
6. Se due punti di una retta a giacciono su un piano
   a, allora ogni punto sulla retta giace su a
7. Se due piani a e ß hanno un punto A in comune,
   allora hanno almeno un altro punto B in comune
8. Esistono almeno quattro punti che non giacciono
   sullo stesso piano

64
I 4 ASSIOMI DI ORDINAMENTO

• Se un punto B giace fra i punti A e C, allora A,
  B, C sono tre punti diversi su una retta e
  inoltre B giace anche fra C e A
• Per ogni coppia di punti A e C esiste almeno un
  punto B sulla retta AC tale che C giace fra A e B
  
• Fra tre punti qualsiasi su una retta non più di
  uno giace fra gli altri due
• DEF. Siano A e B due punti su una retta a, la
  coppia di punti A, B oppure B, A è detta SEGMENTO
  AB. I punti fra A e B sono detti punti del
  segmento AB o interni al segmento AB. A e B sono
  detti estremi del segmento. Si dice che sono
  esterni al segmento tutti gli altri punti della
  retta a.
• (Assioma di Pasch) Siano A, B, C tre punti che
  non giacciono su una retta e sia a una retta
  qualsiasi nel piano di A, B, C che non passa per
  A, B e C. Se a passa per un punto del segmento
  AB, allora deve passare anche per un punto del
  segmento AC o per un punto del segmento BC

65
I 5 ASSIOMI DI CONGRUENZA

• Se A, B sono due punti di una retta a e A è un
  punto di a o di unaltra retta a, allora su un
  lato fissato (definito in precedenza) di A sulla
  retta a si può trovare un punto B tale che il
  segmento AB sia congruente al segmento AB.
• In simboli AB AB
• Se AB e AB sono congruenti ad AB, allora AB
  AB
• Siano AB e BC due segmenti su una retta a privi
  di punti interni comuni, e siano AB e BC
  segmenti su una retta a privi di punti interni
  comuni.
• Se AB AB e BC BC, allora AC AC
• Supponiamo che langolo lt(h,k) giaccia su un
  piano a e che la retta a giaccia su un piano a.
  Sia fissato un lato di a su a. Sia h un
  raggio di a che emana da un punto O. Allora in
  a esiste uno ed un solo raggio k tale che
  langolo lt(h,k) è congruente allangolo lt(h ,k)
  e tale che tutti i punti interni di lt(h,k)
  giacciano su un lato fissato di a in simboli
  lt(h,k) lt(h,k). Inoltre
  ogni angolo è congruente a se stesso.
• Se per due triangoli ABC e ABC si ha che AB
  AB, AC AC e gli angoli ltBAC ltBAC
  allora anche gli angoli ltABC ltABC

66
LASSIOMA DELLE PARALLELE

• Sia a una retta e A un punto non di a.
• Allora nel piano di a e A esiste al più una
  retta per A che non incontra a.
• OSS. Lesistenza di almeno una retta per A che
  non interseca a può essere dimostrata e quindi
  non è necessaria in questo assioma

67
I 2 ASSIOMI DI CONTINUITA

• (Assioma di Archimede)
• Se AB e CD sono due segmenti qualsiasi, allora
  esiste sulla retta AB una famiglia di punti A1,
  A2, An tali che i segmenti
• AA1, A1A2, An-1An sono congruenti a CD
• e tali che B giace fra A e An .
• (Assioma di completezza lineare)
• I punti di una retta formano una collezione di
  punti che, soddisfacendo gli assiomi di
  connessione, di ordinamento, di congruenza e di
  Archimede, non possono essere estesi ad una
  collezione più grande che continui a soddisfare
  gli stessi assiomi.

68
A
B
C

• Primo assioma di ordinamento
• Secondo assioma di ordinamento
• Assioma di Pasch

A
B
C
C
a
B
A
69
A
B
C
a

• Terzo assioma di congruenza
• Assioma delle parallele
• Assioma di Archimede

C
B
A
a
A
a
A
A1
An
B
A2
An-1
C
D
70
Il significato culturale della geometria

• La geometria è stata al centro di momenti
  cruciali per lo sviluppo della scienza, anzi
  della civiltà occidentale
• di più essa ne è stata spesso il motore.
  Francesco Speranza
• Purtroppo la divisione delle due culture
  (scientifica e umanistica) è stata
  particolarmente nociva per la matematica e per la
  filosofia che costituivano fino allinizio
  dellOttocento una cerniera fra le due visioni
  del mondo. La matematica è stata percepita
  dallopinione pubblica principalmente (se non
  esclusivamente) come strumento di calcolo,
  perdendo così gran parte del suo fascino.
• Non è raro trovare in qualche popolare talk-show
  televisivo importanti ed affermati personaggi del
  mondo della politica, della medicina o dello
  spettacolo che si vantano di aver raggiunto la
  loro posizione sociale senza aver mai capito
  nulla di matematica.
• Ma allora la tesi di Speranza ricordata poco
  sopra è falsa? E se invece è vera, dove possiamo
  trovare argomenti che la sostengano?

71
GEOMETRIA E CULTURA(solo alcuni esempi)

• Geometria e filosofia
• Geometria ed epistemologia
• Geometria ed arte

72
Rapporto geometria-filosofia

• La crisi delle grandezze incommensurabli, viene
  liquidata come un problema tecnico
  linadeguatezza della matematica greca, e ci si
  addentra in un mare di calcoli prevalentemente
  senza interesse culturale
• (i radicali).

• Basterebbe sottolineare che questa crisi
  sconvolse lidea del mondo per i platonici
  (insieme finito di punti-atomi) e soprattutto,
  mettendo in crisi quello che i sensi sembravano
  asserire in modo incontrovertibile, portò i
  pensatori greci allidea che solo la ragione può
  condurre alla vera conoscenza nascita
  dellidealismo.

73
Rapporto tra geom. non euclideee nuovo
razionalismo

• Lidea di introdurre elementi di geom. non
  euclidea nei programmi della scuola superiore è
  ottima, ma cè il rischio che , invece di
  sviluppare le idee più profonde scaturite dalla
  rivoluzione non euclidea, ci si limiti a
  dimostrare qualche ulteriore teorema magari
  accompagnato da alcune sparse notizie storiche.
• I principali aspetti epistemologici da mettere in
  risalto dovrebbero essere il superamento della
  vecchia concezione della geometria la
  possibilità di pensare per modelli la doppia
  natura della geometria scienza empirica e
  scienza astratta (descrittrice della realtà e
  ideatrice di strutture astratte)
• il nuovo razionalismo non può svilupparsi se non
  in stretta interazione con il pensiero
  scientifico e poiché il pensiero scientifico si
  trasforma, anche il nuovo razionalismo non può
  pretendere in alcun momento di aver trovato la
  soluzione definitiva ai problemi
  epistemologici.(Gonseth, 1937)

74
Modelli di Geometrie Non Euclidee

• Modello di Poincarè, geom iperbolica

• Modello di geometria ellittica

• Modello di
• geometria
• iperbolica

75
Modello di Poincaré

• È un modello per la geometria iperbolica piana
• il piano è un cerchio
• le rette sono archi di cerchio (interni al
  cerchio fissato, che lo tagliano ortogonalmente)
  e le rette per il suo centro.
• Data una retta r ed un punto P che non le
  appartiene, esistono infinite rette passanti per
  P e parallele ad r.

76
Le rotte aeree sono archi di cerchi massimi

• È un modello per la geometria ellittica
• il piano è la superficie di una sfera
• le rette sono cerchi massimi sulla sfera ( ad
  esempio lequatore e i meridiani terrestri)
• Data una retta r ed un punto P che non le
  appartiene, non esiste alcuna retta passante per
  P e parallela ad r.

77
Rapporto geometria-arte

• LeonBattista Alberti (1435) e Piero della
  Francesca (1478) Albrecht Durer (1525)
  anticipano di circa 200 anni la geometria
  proiettiva e con linvenzione della prospettiva e
  del punto di fuga sconfiggono lhorror infiniti
  dei greci
• A lato Flagellazionedi Cristo, di Piero della
  Francesca(Galleria Nazionale delle Marche,
  Urbino) e Creazione meccanica dellimmagine
  prospettica, di Albrecht Durer

78
geometria e arteMAURITS CORNELIS ESCHER
79
(No Transcript)
80
(No Transcript)
81
(No Transcript)
82
(No Transcript)
83
Gruppi di trasformazioni inMAURITS CORNELIS
ESCHER
84
Gruppi di trasformazioni nellARTE ARABA
85
BIBLIOGRAFIA ESSENZIALE

• Carl B. BOYER, Storia della matematica, Arnoldo
  Mondadori Editore
• Morris KLINE, Storia del pensiero matematico,
  Biblioteca Einaudi
• Francesco SPERANZA, Scritti di epistemologia
  della matematica, Pitagora Editrice Bologna
• R. COURANT e H. ROBBINS, Che cosè la
  matematica?, Serie Scientifica, Bollati
  Boringhieri
• A.D. ALEKSANDROV, A.N. KOLMOGOROV, M.A.
  LAVRENTEV, Le matematiche, Serie Scientifica,
  Bollati Boringhieri
• Nikolaj LOBACEVSKIJ, Nuovi principi della
  geometria (con una teoria completa delle
  parallele), Serie Scientifica, Bollati
  Boringhieri
• Bernhard RIEMANN, Sulle ipotesi che stanno alla
  base della geometria, Serie Scientifica, Bollati
  Boringhieri
• Emma CASTELNUOVO, Pentole, ombre, formiche (in
  viaggio con la matematica), La Nuova Italia
• M.C. ESCHER, Grafica e disegni, Taschen

86
RINGRAZIO

• Anna, Giorgia e Riccardo per la loro pazienza nei
  miei confronti e per lamore che sempre mi
  donano
• Laura per avermi trasmesso la passione per la
  ricerca e il desiderio di capire
• Il Prof. Eugeni e la Prof.ssa Ghiraldini per
  avermi dato loccasione di realizzare questo
  lavoro.