Curva di Peano e curva di Hilbert

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Curva di Peano e curva di Hilbert

• Si ringrazia sentitamente lesperto Giorgio
  Pietrocola, per i suoi consigli riguardanti luso
  del linguaggio logo e per il suo prezioso
  apporto, decisamente illuminante...

05/03/2006
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Indice

• Costruzione della curva di Peano (due slides)
• Dimensione della curva di Peano (quattro slides)
• Animazione degli stadi di costruzionedella curva
  di Peano
• Costruzione della curva di Hilbert (due slides)
• Animazione esplicativa della genesi della curva
  di Hilbert (dellesperto Giorgio Pietrocola)
• Lunghezza della poligonale Generalizzazione (di
  Giorgio Pietrocola)
• Animazione degli stadi di costruzione della
  curva di Hilbert
• Bibliografia

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Costruzione della curva di Peano 1/2
Si divide un segmento unitario in tre segmenti
uguali. Sulla parte centrale si costruisce un
rettangolo formato da due quadrati e il lato di
ognuno è 1/3 del segmento iniziale. È esattamente
una poligonale, formata da 9 segmenti, che può
essere percorsa senza alzare la matita e senza
passare due volte sullo stesso tratto.
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Costruzione della curva di Peano 2/2
Tale costruzione si ripete su ciascuno dei 9
segmenti, dividendo ognuno in tre parti uguali e
costruendo sulla parte centrale un rettangolo con
il medesimo procedimento illustrato nella
diapositiva precedente. Continuando, con laiuto
di un calcolatore, si realizza una curva che
annerisce lintero quadrato!
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Dimensione della curva di Peano 1/4
Nel 1890 il matematico Giuseppe Peano era giunto
a concludere che tale curva ha dimensione 2. Il
segmento di partenza viene diviso in 3 parti
uguali e il numero dei segmenti della poligonale
è 9 quindi 9 32 Ciò suggerisce di dare
allesponente 2 il significato di dimensione, per
cui è uguale a 2 la dimensione della curva
ottenuta ripetendo allinfinito la costruzione.
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Dimensione della curva di Peano 2/4
Analizziamo con attenzione la costruzione
iniziale della curva di Peano
La poligonale è formata da 9 segmenti che si
possono ottenere partendo dal segmento iniziale e
costruendo, su questo, un quadrato
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Dimensione della curva di Peano 3/4
Si scompone tale quadrato in 9 quadratini uguali.
Si possono mettere tali 9 quadratini in
corrispondenza biunivoca con i 9 segmenti della
poligonale iniziale e si rende visualizzabile
tale corrispondenza, in modo che ogni segmento
della poligonale sia la diagonale di un
quadratino.
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Dimensione della curva di Peano 4/4
Ripetendo la costruzione su ciascuno dei 9
quadratini, si capisce che, continuando a
reiterare lo stesso procedimento, la poligonale
tende a una curva che passerà per tutti i punti
del quadrato e avrà la dimensione uguale a 2.
Come si agisce su un quadratino
Come si agisce sui 9 quadratini
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Animazione degli stadi di costruzionedella curva
di PEANO
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Costruzione della curva di Hilbert 1/2
Si parte da un quadrato di lato unitario e lo si
divide in 4 quadratini uguali si prende il
centro di ognuno di essi e lo si congiunge col
centro di due quadratini adiacenti con una linea
spezzata di tre segmenti. Ciascuno dei 3 segmenti
rettilinei della poligonale è ½ della misura del
lato del quadrato di partenza. La poligonale è
lunga 3/2. Al secondo stadio della costruzione
ognuno dei 4 quadratini viene diviso in 4
quadratini uguali e si ripete lo stesso
procedimento. Considerando anche il numero dei
segmentini che si ripetono lungo uno stesso
segmento, la poligonale risulta formata da 15
segmentini congruenti, che misurano, ognuno, ¼
della misura del lato del quadrato di partenza.
La poligonale è lunga 15/4.
Primo stadio della costruzione
Secondo stadio della costruzione
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Costruzione della curva di Hilbert 2/2
Al terzo stadio della costruzione ognuno dei 16
quadratini viene diviso in 4 quadratini uguali e
si ripete lo stesso procedimento. La poligonale
risulta formata da 63 segmentini congruenti, che
misurano, ognuno, 1/8 della misura del lato del
quadrato di partenza. La poligonale è lunga
63/8. Al quarto stadio della costruzione ognuno
dei 64 quadratini viene diviso in 4 quadratini
uguali e si ripete lo stesso procedimento. La
poligonale risulta formata da 255 segmentini
congruenti, che misurano, ognuno, 1/16 della
misura del lato del quadrato di partenza. La
poligonale è lunga 255/16.
Terzo stadio della costruzione
Quarto stadio della costruzione
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Animazione esplicativa della genesi della curva
di Hilbert(dellesperto Giorgio Pietrocola)
Con la seguente animazione, lesperto Giorgio
Pietrocola illustra chiaramente come a ogni
stadio della costruzione si ripeta quattro volte
la figura dello stadio precedente e come ogni
volta tre segmentini di raccordo rappresentino il
tessuto connettivo della poligonale.
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Lunghezza della poligonale Generalizzazione(di
Giorgio Pietrocola)
Segmenti congruenti di cui è costituita la
poligonale 1 stadio 3 (ognuno misura ½) 2
stadio 433 42-1 15 (ognuno misura ¼) 3
stadio 4153 43-1 63 (ognuno misura
1/8) 4 stadio 4633 44-1 255 (ognuno
misura 1/16) 5 stadio 42553 45-1 1023
(ognuno misura 1/32) Ecc. Generalizzando,
indicando con s i vari stadi della costruzione,
la misura della lunghezza della poligonale è data
da (4s 1)/2s
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Animazione degli stadi di costruzione della
curva di HILBERT
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Bibliografia

• Emma Castelnuovo PENTOLE, OMBRE, FORMICHE ( In
  viaggio con la matematica)" ed. La Nuova Italia
• http//www.maecla.it/bibliotecaMatematica/af_file/
  castelnuovo.htm
• Giuseppe Arcidiacono SPAZIO IPERSPAZI FRATTALI -
  Il magico mondo della geometria, Di Renzo
  Editore, 2004 - www.direnzo.it
• http//www.maecla.it/bibliotecaMatematica/af_file/
  ARCIDIACONO.htm