Logica e linguaggio

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Logica e linguaggio

• Come già sappiamo dalla parola greca logos ?????
• Derivano sia linguaggio che logica.Dobbiamo però
  capire in che consistono queste distinzioni.

• Come già sappiamo dell'origine del linguaggio ci
  siamo già occupati. L'origine della logica è
  invece documentata è stato sicuramente Aristotele
  ad aver formalizzato la logica.

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Aristotele,Platone

• In teoria ragionamenti logici sono già presenti
  in Platone. Per esempio Socrate (il Socrate di
  Platone) confutava Gorgia il Sofista per il quale
  ogni opinione è accettabile affermando che, se
  ogni opinione

• È accettabile, vuol dire anche che accettabile
  anche l'opinione che afferma che non tutte le
  opinioni siano accettabili.
• Platone riduceva a contraddizione l'opinione di
  Gorgia

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Platone e la storia della logica

• Potremmo allora forse dire che la logica sia
  allora presente in Platone? Certamente ma allora
  anche in Parmenide maestro di Platone?
  Sicuramente. Allora la logica è contemporanea
  all'origine del linguaggio?

• In un certo senso si, ma attenzione a differenza
  del linguaggio non solo non possiamo dire che
  l'origine della logica è un problema storico, ma
  che la logica non ha storia, è in qualche modo
  ETERNA.

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Linguaggi storici e logica

• Il problema è chiarito meglio facendo riferimento
  al linguaggio degli indiani Hopi già visto.
• Abbiamo visto quanto diverso è il linguaggio hopi
  dall'italiano.
• Ma...

• La possibilità di confrontare i due linguaggi è
  data dal fatto che alla fine ne comprendiamo le
  differenze. E le comprendiamo perchè c'è un
  massimo comun denominatore. Questo è la logica.

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Logica e sua formalizzazione

• Questo massimo comun denominatore non può essere
  a sua volta un linguaggio.
• Deve essere qualcosa di diverso da un linguaggio
  perchè ne rappresenta tutte le possibilità.

• Apparentemente siamo ancora nella posizione
  linguistica che voleva raggiungere una grammatica
  generale di tutte le lingue. In realtà la
  consapevolezza matura della logica giunge dalla
  matematica.

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La logica matematica.

• Siamo circa nel 1900.
• I logici Peano,Frege e Russell iniziano a pensare
  in termini di logica matematica. Ma anche qui non
  possiamo dire che siano stati i primi a pensare
  in questi termini.

• Già i logici stoici, medioevali, Leibniz e Boole
  avevano impostato posizioni del tipo le leggi
  del pensiero.
• Quello che cambia con Frege, Peano e Russell è
  l'idea che la matematica ha bisogno della logica.

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L'Espressione della logica

• Si tratta allora di questo la storia della
  logica è semplicemente la storia dei modi con cui
  l'attività simbolica dell'uomo ha cercato di
  esprimere CHIARAMENTE
• I costrutti logici che sono presenti nel

• ragionamento. La parentela tra logica e
  matematica permette di chiarire che la logica può
  usare ogni mezzo espressivo in questo compito.

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Logica e matematica

• In realtà l'impiego della logica è dovuto ad una
  impasse della storia della matematica.Quella che
  si chiama appunto crisi dei fondamenti della
  matematica. Ve ne darà un esempio che è di
  Russell.

• La definizione di cosa sia un numero ha sempre
  suscitato molti problemi ai matematici. Tanto è
  vero che avevano trovato sempre aiuto nel campo
  geometrico.

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Matematica e geometria

• Per quanto punto, linea, e spazio siano concetti
  non meno problematici di numero, tuttavia
  sembrava possedessero caratteri di realtà
  maggiori del concetto di numero. Ad esempio
  numeri positivi e

• Negativi potevano essere rappresentati benissimo
  da una retta
• Con lo 0 nel mezzo
• Essendo la retta infinita era una buona
  rappresentazione dei numeri.

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Il matrimonio indissolubile

• Questa identità tra matematica e geometria era un
  dato accertato uno sposalizio tra due
  fedelissimi. Tanto è vero che Platone,ammiratore
  della matematica soleva dire che nella

• Sua scuola, l'Accademia non poteva entrare chi
  non era matematico, ma la frase esatta era chi
  non era geometra. (concidendo per lui la
  matematica con la geometria)

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Il divorzio

• Tutto questo va bene fino a circa il 1829 quando
  il russo Lobacevskij, pubblica nel Bollettino
  dell'Università di Kazan una memoria destinata a
  fare scandalo.

• Il titolo della memoria faceva riferimento ad una
  geometria idealeche piu' tardi sarà definita da
  Gauss,Riemann e il nostro Beltrami geometria non
  euclidea.Esistevano dunque due geometrie.

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Due geometrie? Ma allora Due matematiche?

• La domanda sembra logica ma in realtà è equivoca.
  Possiamo dire che dopo Lobacevskij, la geometria
  ha qualche problema non cosi' la matematica.
  Tuttavia la matematica aveva perso il suo

• Fondamento certo nel senso che ora vi erano due
  geometrie non una sola.
• Tuttavia bisogrrebbe presentare anche se
  embrionalmente il ragionamento di Lobacevskij,

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Il ragionamento delle geometrie non euclidee

• Il ragionamento è elementare
• Se prendete il segmento PD e fate scorrere il
  punto D verso B langolo LPD
• diventa sempre più piccolo. Ora (ecco
  lartificio) prendete il punto D giacente sulla
  retta B allinfinito. Che succede?

Langolo si annulla

• Come viene naturale dire (essendo il punto
  allinfinito un non punto) langolo si annulla.
  Quindi PD coincide con PL.
• Le rette parallele si incontrano allinfinito

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Langolo si annulla

• Come viene naturale dire (essendo il punto
  allinfinito un non punto) langolo si annulla.
  Quindi PD coincide con PL.
• Le rette parallele si incontrano allinfinito

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Due geometrie?

• Certamente. Tra l'altro la teoria della
  relatività generale di Einstein utilizza appunto
  la geometria non euclidea. Ma la matematica non
  ha piu' il suo fondamento quasi reale.

• Si comincia a pensare che la matematica non abbia
  un fondamento reale (Come del resto pensava
  Platone e difatti i matematici piu' moderni si
  dicono appunto platonisti),

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La teoria degli insiemi

• I realisti ritornano pero' all'attacco (contro i
  platonisti) e ritengono che la teoria degli
  insiemi possa bastare per rendere reale la
  matematica.
• Ma anche qui Russell comincia a sfondare questa
  altra torre

• E' il cosidetto paradosso di Russell paradosso a
  cui Russell era interessato molto perchè per lui
  e per tutti i logicisti la matematica ha il suo
  unico fondamento nella logica.

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Paradosso di Russell

• Ci sono due tipi di insiemi insiemi che
  contengono se stessi ad esempio l'insieme di tre
  sedie, di tre tavoli di tre bibite contengono
  ognuno il numero 3. I numeri sono semplicemente
  insiemi che

• Che contengono se stessi.
• Abbiamo invece insiemi che NON contengono se
  stessi ad esempio l'insieme di tre tavoli non è
  un tavolo ( è semmai il numero 3).

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Il dispettoso Russell

• Domanda
• La TOTALITA'
• Degli insiemi che non contengono se stessi
• CONTIENE SE STESSO?

• Il cerchio rappresenta la totalità degli insiemi
• Che non contengono se stessi

non
non
non
non
non
non
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Paradosso

• SE contiene se stesso vuol dire che appunto
  contiene se stesso,
• Ma diamine dentro il cerchio ci sono solo e
  soltanto insiemi che NON contengono se stessi...
  quindi non è possibile Dunque se rispondiamo SI
  contiene se stesso dobbiamo dire subito dopo NO
  non contiene se stesso.,

• Ma allora rispondiamo e diciamo ma non contiene
  se stesso NO.
• Ma perbacco ma allora è uno di quegli insiemi che
  non contengono se stessi e dunque SI
• Dunque se rispondiamo NO dobbiamo soggiungere
  subito dopo SI

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Il paradosso dunque rende insicuri gli insiemi

• E qunque l'unico fondamento della matematica
  appare a Russell la logica.