LA DERIVADA

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LA DERIVADA
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INCREMENTOS Y TASAS

• El calculo diferencial es el estudio del cambio
  que ocurre en una cantidad cuando ocurren
  variaciones en otras cantidades de las cuales
  depende la cantidad original

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Incremento

• Definición Sea x una variable con un primer
  valor x1 y un segundo valor x2. Entonces el
  cambio en el valor de x, que es x2 x1, se
  denomina incremento de x y se denota por ?x

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Ejemplo 1

• El volumen de ventas de gasolina de cierta
  estación de servicio depende del precio por
  litro. Si p es el precio por litro en centavos,
  se encuentra que el volumen de ventas q (en
  litros por dia) esta dado por
• q 500(150-p)
• Calcule el incremento en el volumen de ventas que
  corresponde a un incremento de 120 a 130

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• Resolviendo la ecuación ?x x2 x1 para x2,
  tenemos x2 x1 ?x. Usando este valor de x2 en
  la definición de ?y, obtenemos
• ?yf(x1 ?x) - f(x1)
• Dado que x1 puede ser cualquier valor de x la
  ecuación se puede escribir como
• ?yf(x ?x) - f(x)
• En forma alternativa
• y?yf(x ?x)

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Ejemplo 2

• Dada f(x)x2, calcule ?y si x 1 y ?x0,2

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Ejemplo 3

• En el caso de la funcion y x2, determine ?y
  cuando x1 para cualquier incremento de ?x

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Ejemplo 4

• De nuevo considere la función y x2 y determine
  ?y para los valores generales de x y ?x

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Tasa de cambio

• La tasa de cambio promedio de un función f sobre
  un intervalo de x a x ?x se define por la razón
  de ?y/ ?x. Por tanto, la tasa de cambio promedio
  de y con respecto a x es

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Ejemplo 6

• Un fabricante de productos químicos advierte que
  el costo por semana de producir x toneladas de
  cierto fertilizante esta dado por C(x)2000040x
  y el ingreso obtenido por la venta de x toneladas
  esta dado por R(x)100x-0.01x2. La compañía
  actualmente produce 3100 toneladas por semana,
  pero está considerando incrementar la producción
  a 3200 toneladas por semana. Calcule los
  incrementos resultantes en el costo, el ingreso y
  la utilidad. Determine la tasa de cambio promedio
  de la utilidad por tonelada extra producida.

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Limites

• Sea f(x) una función que está definida en todos
  los valores de x cerca de c, con la excepción
  posible de c mismo. Se dice que L es el limite de
  f(x) cuando x tiende a c, si la diferencia entre
  f(x) y L puede hacerse tan pequeña como se desee
  con solo restringir a x a estar lo
  suficientemente cerca de c. En símbolos,
  escribimos

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Ejemplo 1

• Si f(x) (x2-9)/(x-3), evalué lim f(x)

x?3
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(No Transcript)
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Ejemplo 2

• Tomando m2, b3, c1, obtenemos el resultado

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Ejemplo 3

• Tomando m2, b3, c1, obtenemos el resultado

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(No Transcript)
17
(No Transcript)
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LA DERIVADA

• Ejemplo
• Durante el periodo de 10 años de 1970 a 1980, se
  encontró que la población de cierto país estaba
  dada por la formula
• P(t)10,03tt2
• En donde P está dado en millones y t es el tiempo
  medido en años desde el inicio de 1970.
• Calcule la tasa de crecimiento instantánea al
  inicio de 1975

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• Sea y f(x) una función dada. La derivada de y
  con respecto a x, denotada por dy/dx, se define
  por

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• A la derivada también se le da el nombre de
  coeficiente diferencial y la operación de calcula
  la derivada de una función se denomina
  diferenciación
• Si la derivada de una función existe en un
  punto particular, decimos que f es diferenciable
  en tal punto.
• La derivada de yf(x) con respecto a x tambien se
  denota por uno de los simbolos siguientes

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Ejemplo

• Calcule la derivada de 2x23x1
• Calcule dy/dx para la ecuación cubica
• yAx3Bx2CxD

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(No Transcript)
23
(No Transcript)
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• Calcule dy/dx si y x2 x1/2

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Analisis Marginal

• Suponga que el fabricante de cierto articulo
  descubre que a fin de producir x de estos
  articulos a la semana, el costo total en dolares
  esta dado por C2000.03x2. Por ejemplo si se
  producen 100 articulos a la semana, el costo esta
  dado por C2000.03(100)2500. El costo promedio
  por articulo al producir 100 articulos es
  500/1005
• Si el fabricante considera cambiar la tasa de
  produccion de 100 a 100?x unidades por semana,
  en donde ?x representa el incremento en la
  produccion semanal

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• El costo es
• C?C2000,03(100?x)2
• 2000,03(10000200?x ?x2)
• 5006 ?x0,03 ?x2
• Por consiguiente, el costo extra determinado por
  la produccion de los articulos adicionales es
• ?C(C ?C)- ?x
• ?C 5006 ?x0,03 ?x2-500
• ?C ?x0,03 ?x2

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• En consecuencia, el costo promedio por articulo
  de las unidades extra es
• ?C / ?x 60,03 ?x
• Cual seria el costo promedio si se pasa de 100 a
  150 unidades?

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• El costo marginal se define como el valor limite
  del costo promedio por articulo extra cuando este
  numero de articulos extra tiende a cero. Asi se
  puede pensar que el costo marginal es como el
  costo promedio por articulo extra cuando se
  efectua un cambio muy pequeño en la cantidad
  producida

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• Ejemplo
• En el caso de la funcion de costo
• C(x)o.001x3-0.3x240x1000
• Calcule el costo marginal cuando x50, x100 y
  x150

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• Es importante no confundir el costo marginal con
  el costo promedio. Si C(x) es la función de
  costo, el costo promedio de producir x artículos
  es el costo total C(x) dividido entre el numero
  de los artículos producidos

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Ingreso Marginal

• Si R(x) denota el ingreso en dolares por la venta
  de x articulos, definimos el ingreso marginal
  como la derivada R(x)

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• Ejemplo
• Si la funcion de ingreso marginal esta dada por
• R(x) 10x-0,01x2
• Evalue el ingreso marginal cuando x 200

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• Determine el ingreso marginal cuando x300 si la
  ecuacion de la demanda es
• x1000-100p

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Utilidad marginal

• La utilidad marginal representa la utilidad
  marginal adicional por articulo si la produccion
  sufre un pequeño incremento

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• La ecuacion de demanda de cierto articulo es
• p0.1x80
• La funcion del costo es
• C(x) 500020x
• Calcule la utilidad marginal cuando se producen y
  venden 150 unidades y tambien en el caso de que
  se produzcan y vendan 400 unidades.