DEFINICI

1
MATRICES

• DEFINICIÓN
• OPERACIONES
• RANGO
• APLICACIONES

2
TEMA 1. MATRICES

• http//euclides.us.es/da/apuntes/alige/alige-I-1.p
  df
• Tres gavillas de buen cereal, dos gavillas de
  cereal mediocre y una gavilla de cereal
• malo se venden por 39 dou. Dos gavillas de bueno,
  tres mediocres y una mala se venden
• por 34 dou. Y una buena, dos mediocres y tres
  malas se venden por 26 dou. Cual es el
• precio recibido por cada gavilla de buen cereal,
  cada gavilla de cereal mediocre, y cada
• gavilla de cereal malo?

3
TEMA 1. MATRICES
4
TEMA 1. MATRICES
5
TEMA 1. MATRICES
6
TEMA 1. MATRICES
7
Concepto de matriz. Igualdad de matrices
Se llama matriz a una disposición rectangular de
números reales, a los cuales se les denomina
elementos de la matriz. Cada elemento tiene dos
subindices, el primero indica la fila y el
segundo la columna
2ª columna
3ª fila
Dos matrices son iguales cuando tienen la misma
dimensión y los elementos que ocupan la misma
posición en cada una de ellas son iguales.
8
Definición de matríz
Se llama matriz de orden mn a todo conjunto
rectangular de elementos aij dispuestos en m
líneas horizontales (filas) y n verticales
(columnas) de la forma
Abreviadamente suele expresarse en la forma A
(aij), con i 1, 2, ..., m, j 1, 2,
..., n. Los subíndices indican la posición del
elemento dentro de la matriz, el primero denota
la fila ( i ) y el segundo la columna ( j ). Por
ejemplo el elemento a25 será el elemento de la
fila 2 y columna 5. El orden es el número de
filas y columnas que tiene la matriz, se
representa por m x n.
9
Expresión matricial ejemplo
El sistema
Ejercicio, escribe en forma matricial 3x 2y
z 39, 2x 3y z 34, x 2y 3z 26,
10
Clasificación de matrices Forma

• Matriz simétrica es una matriz cuadrada que
  verifica que

? A AT

• Matriz antisimétrica es una matriz cuadrada
  que verifica que

? A AT
11
Clasificación de matrices Elementos

• Matriz unidad o identidad es una matriz
  escalar, cuya diagonal principal es 1.

• Matriz nula es una matriz en la que todos los
  elementos son nulos.

• Matriz triangular superior es una matriz
  donde todos los elementos por debajo de la
  diagonal son ceros.

• Matriz diagonal es una matriz cuadrada, en la
  que todos los elementos no pertenecientes a la
  diagonal principal son nulos.

• Matriz triangular inferior es una matriz
  donde todos los elementos por encima de la
  diagonal son ceros.

• Matriz escalar es una matriz diagonal
  donde todos los elementos de ella son iguales.

12
Operaciones con matrices
Trasposición de matrices
Suma y diferencia de matrices
Producto de una matriz por un número
Producto de matrices
Propiedades simplificativas
Matrices inversibles
13
Operaciones con matrices I
1.- Trasposición de matrices
Dada una matriz de orden m x n, A (aij), se
llama matriz traspuesta de A, y se representa por
At, a la matriz que se obtiene cambiando las
filas por las columnas (o viceversa) en la matriz
A. Es decir
Propiedades de la trasposición de matrices 1ª.-
Dada una matriz A, siempre existe su traspuesta y
además es única. 2ª.- La traspuesta de la matriz
traspuesta de A es A. a (At)t A.
14
Matriz traspuesta ejemplo y propiedades
La traspuesta de una matriz A cualquiera se
obtiene cambiando filas por columnas y se
representa por At. Si A (aij), entonces At
(aji). Si A es mxn, entonces At es nxm.
Propiedades
I. Para la matriz A,
(At)t A
II. Para las matrices A y B, (A
B)t At Bt
III. Para la matriz A y el número real k, (k .
A)t k . At
IV. Para las matrices A y B, (A
. B)t Bt . At
V. Si A es una matriz simétrica, At
A
15
Operaciones con matrices II
2.- Suma y diferencia de matrices

• La suma de dos matrices A(aij), B(bij) de la
  misma dimensión, es otra matriz
• S(sij) de la misma dimensión que los sumandos y
  con término genérico S (aij bij).
• La suma de las matrices A y B se denota por AB.
• Ejemplo

Por tanto, para poder sumar dos matrices estas
han de tener la misma dimensión.
La diferencia de matrices A y B se representa por
AB, y se define como la suma de A con la opuesta
de B AB A (B)
16
Suma de matrices ej de orden 3
Para sumar dos matrices A y B con las mismas
dimensiones se suman los correspondientes
elementos si A (aij) y B (bij) entonces A
B (aij bij)
17
Propiedades de la adición de matrices
Sean A, B y C tres matrices del mismo orden.

• Asociativa A (B C) (A
  B) C

• Conmutativa A B B A

• Elemento neutro A 0 0 A A
  donde 0 es la matriz nula.

• Elemento opuesto A ( A) ( A) A 0
• La matriz A (opuesta) se obtiene cambiando de
  signo los elementos de A.

18
Operaciones con matrices III
3.- Producto de un número por una matriz
Para multiplicar un número real por una matriz,
se multiplican cada uno de los elementos de la
matriz por dicho número.
Si A (aij), entonces kA (kaij)
19
Propiedades con la suma y el producto por un
número
Sean A y B dos matrices del mismo orden y k y h
dos números reales.

• Distributiva I k(A B) kA kB

• Distributiva II (k h)A kA hA

• Elemento neutro 1 A A

• Asociativa mixta k(hA) (kh)A

El conjunto de las matrices m x n con las
operaciones suma y producto por un escalar antes
definidas, tiene estructura de espacio vectorial
20
Operaciones con matrices IV
4.- Producto de matrices
Dadas dos matrices A y B, su producto es otra
matriz P cuyos elementos se obtienen
multiplicando las filas de A por las columnas de
B (por lo que deben coincidir estas). De manera
más formal, los elementos de P son de la forma
Pij ? aik bkj con k1,.n
Es evidente que el número de columnas de A debe
coincidir con el número de filas de B. Es más, si
A tiene dimensión m x n y B dimensión n x p, la
matriz P será de orden m x p,
21
Cuándo es posible el producto de matrices?
El producto de matrices es posible cuando
coincide el número de columnas de una matriz con
el número de filas de la otra matriz.
22
Producto de matrices Desarrollo
es la matriz C A B, tal que el elemento que
ocupa la posición ij es cij ai1. b1j ai2.
b2j ... ain. bnj
23
Ejemplo producto de matrices
2. Qué dimensiones tiene la matriz producto?
24
Propiedades del producto de matrices (I)
I. Propiedad asociativa. Para las matrices A de
dimensión mxn, B de dimensión nxp y C de
dimensión pxr. A . (B . C) (A . B) . C
II. Elemento unidad. Si A es una matriz mxn, y
III. Propiedad distributiva a la izquierda. Para
las matrices A de dimensión mxn, B de
dimensión nxr y C de dimensión nxr. A . (B
C) A . B A . C
IV. Propiedad distributiva a la derecha. Para las
matrices A de dimensión mxn, B de dimensión
mxn y C de dimensión nxp.
(A B) . C A . C
B . C
25
Propiedades del producto de matrices (II)
I. La multiplicación de matrices no cumple la
propiedad conmutativa si una de las dos
matrices no es cuadrada ni siquiera tiene sentido
plantear el producto en un orden distinto al
dado.
II. Si A . B 0 entonces no siempre ocurre que A
0 ó B 0.
III. Si A . C B . C y C ? 0, entonces no
necesariamente A B.
IV. (A B)2 ? A2 2A . B B2 salvo que A y B
conmuten.
V. (A B)2 ? A2 2A . B B2 salvo que A y B
conmuten.
VI. A2 B2 ? (A B) . (A B) salvo que A y B
conmuten.
26
Producto Potencia de una matriz
Ejemplo
27
Propiedades de la matriz inversa
Operaciones con matrices V
Inversa de una matriz, Matrices inversibles
Una matriz cuadrada que posee inversa se dice que
es inversible o regular en caso contrario recibe
el nombre de singular.
Dada una matriz cuadrada A de orden n, no siempre
existe otra matriz B tal que AB BA In. Si
existe dicha matriz B, se dice que es la matriz
inversa de A y se representa por A-1
I. Si las matrices A y B son inversibles (A .
B)1 B1 . A1
II. Si A es una matriz inversible y k ? 0, (k .
A)1 (1/k) . A1
III. Si A es una matriz inversible, (A1)1 A
IV. La matriz unidad es inversible y además I1
I
V. Si A es una matriz inversible, (A1)t (At)1
28
Métodos de cálculo de la matriz inversa
Observación Podemos encontrar matrices
que cumplen AB I, pero que BA ¹ I, en tal
caso, podemos decir que A es la inversa de B "por
la izquierda" o que B es la inversa de A "por la
derecha".
Hay varios métodos para calcular la matriz
inversa de una matriz dada

• Directamente
• Por el método de Gauss-Jordan
• Usando determinantes

29
Inversa de una matriz (directamente)
Si A es una matriz cuadrada, se dice que B es la
inversa de A si A . B B . A I, siendo la
matriz unidad. La matriz inversa se representa
por A1.
Y de aquí se deduce que
30
Combinación lineal entre filas y columnas
En una matriz A, las filas pueden representarse
por F1, F2, ... , Fm y las columnas por C1, C2,
... , Cn.
Se llama combinación lineal de las filas F1, F2,
F3 ... , Fm a una expresión de la forma
k1 . F1 k2 . F2 k3 . F3 ... km . Fm
siendo k1, k2, ... , km números reales.
Se llama combinación lineal de las columnas C1,
C2, C3 ... , Cn a una expresión de la forma
k1 . C1 k2 . C2 k3 . C3 ... kn . Cn
siendo k1, k2, ... , kn números reales.
31
Dependencia lineal entre filas y columnas

• Una fila (o columna) de una matriz depende
  linealmente de otras si es combinación lineal de
  ellas.
• Si entre las filas (o columnas) de una matriz,
  alguna depende linealmente de otras, se dice que
  son linealmente dependientes en caso contrario,
  son linealmente independientes.

F3 F1 2F2
32
Rango de una matriz

• El rango por filas de una matriz es el número de
  filas linealmente independientes.
• El rango por columnas de una matriz es el número
  de columnas linealmente independientes.
• Se puede demostrar que el rango por filas
  coincide con el rango por columnas en cualquier
  matriz. A este valor común se le llama rango de
  la matriz y se representa rg A.

Operaciones que no modifican el rango de una
matriz

• Intercambiar dos filas (o columnas) entre sí.
• Multiplicar una fila (o columna) por un número
  distinto de cero.
• Sumar a una fila (o columna) una combinación
  lineal de otras filas (o columnas).

33
Método de Gauss-Jordan para el cálculo de la
matriz inversa
El método de Gauss-Jordan para calcular la
matriz inversa de una dada se basa en una
triangulación superior y luego otra inferior de
la matriz a la cual se le quiere calcular la
inversa.
Dada una matriz A de orden n, para calcular su
inversa hay que transformar la matriz (A I In)
mediante transformaciones elementales por filas
en la matriz (In I B). La matriz B será la
inversa de A.
Para aplicar el método se necesita una matriz
cuadrada de rango máximo. Sabemos que no siempre
una matriz tiene inversa, por lo cual
comprobaremos que la matriz tenga rango máximo al
aplicar el método de Gauss para realizar la
triangulación superior. Si al aplicar el método
de Gauss (triangulación inferior) se obtiene una
línea de ceros, la matriz no tiene inversa.
Las transformaciones elementales son las
siguientes

• Permutar 2 filas ó 2 columnas.

• Multiplicar o dividir una línea por un número no
  nulo.

• Sumar o restar a una línea otra paralela
  multiplicada por un número no nulo.

• Suprimir las filas o columnas que sean nulas,

34
Cálculo de la Matriz Inversa por el método de
Gauss Jordan I
Si hacemos transformaciones elementales en una
matriz, esto es equivalente a multiplicarla por
otra matriz dada. Ejemplo
Esta transformación es equivalente a la siguiente
multiplicación
En consecuencia al transformar (A I In) en (In
I B) realmente lo que estamos haciendo son las
siguientes multiplicaciones A-1A In y
A-1 In A-1B
35
Cálculo de la Matriz Inversa por el método de
Gauss Jordan II Ejemplo

• Aplicando el método de Gauss-Jordan a la matriz
                       
• En primer lugar triangulamos inferiormente (y
  operamos en las dos partes de la matriz de igual
  manera)
•                                                   
                                                    
                                   
• Una vez que hemos triangulado superiormente lo
  hacemos inferiormente
•                                                 
                                                    
                                                    
                
• Por último, habrá que convertir la matriz
  diagonal en la matriz identidad
•                                                 
                                                    
                                                    
                       
•             
• De donde, la matriz inversa de A es
                                      

36
Cálculo de la Matriz Inversa por el método de
Gauss Jordan III Ejemplo
Aplicando el método de Gauss-Jordan a la matriz
                             se tiene
                                                  
                                                  
                                                  
                Como hay una fila completa
de ceros, la matriz A no tiene rango máximo, en
este caso 2, por tanto no tiene inversa pues es
una matriz singular
37
Cálculo de la Matriz Inversa por el método de
Gauss Jordan IV Ejemplo
2º.- Triangulamos la matriz A de arriba a abajo y
realizamos las mismas operaciones en la matriz de
la derecha.
Como podemos observar el rango de la matriz es
máximo (en este caso 3), por tanto la matriz A es
regular (tiene inversa), podemos calcular su
inversa.
38
Cálculo de la Matriz Inversa por el método de
Gauss Jordan V continuación
3º.- Triangulamos la matriz de abajo a arriba,
realizando las mismas operaciones en la matriz de
la derecha.
4º.- Por último se divide cada fila por el
elemento diagonal correspondiente.
39
Dependencia e independencia lineal filas
Vectores fila de una matriz Las filas de una
matriz pueden ser consideradas como vectores. Es
posible que sean linealmente Independientes
(L.I.) y es posible que unos dependan linealmente
de otros. Por ejemplo
Se llama rango de una matriz al número de filas
Linealmente Independientes
40
Dependencia e independencia lineal columnas
Vectores columna de una matriz También las
columnas de una matriz pueden ser consideradas
como vectores. Podríamos definir rango de la
matriz como el número de columnas linealmente
independientes, pero aparece la duda de si esa
definición puede contradecir en algún caso la
anterior.
Es posible que en una matriz el número de filas
linealmente independientes sea distinto del
número de columnas linealmente independiente?. El
siguiente teorema nos asegura que no.
Teorema En una matriz el número de filas L.I.
coincide con el número de columnas L.I.
Por esto podemos dar una nueva definición de
Rango
Rango de una matriz es el número de filas, o
columnas, linealmente independientes.
41
Ejemplos rango de una matriz escalonada
42
Métodos de cálculo del rango de una matriz
El rango de una matriz lo podemos calcular por
dos métodos diferentes

• Por el método de Gauss

• Usando Determinantes

43
Rango de una matriz

• El rango por filas de una matriz es el número de
  filas linealmente independientes.
• El rango por columnas de una matriz es el número
  de columnas linealmente independientes.
• Se puede demostrar que el rango por filas
  coincide con el rango por columnas en cualquier
  matriz. A este valor común se le llama rango de
  la matriz y se representa rg A.

Operaciones que no modifican el rango de una
matriz

• Intercambiar dos filas (o columnas) entre sí.
• Multiplicar una fila (o columna) por un número
  distinto de cero.
• Sumar a una fila (o columna) una combinación
  lineal de otras filas (o columnas).

44
Cálculo del rango de una matriz por el método de
Gauss
Transformaciones elementales Son las
transformaciones que podemos realizarle a una
matriz sin que su rango varíe.
Las transformaciones elementales son las
siguientes

• Permutar 2 filas ó 2 columnas.

• Multiplicar o dividir una línea por un número no
  nulo.

• Sumar o restar a una línea otra paralela
  multiplicada por un número no nulo.

• Suprimir las filas o columnas que sean nulas,

• Suprimir las filas o columnas que sean
  proporcionales a otras.

45
Proceso para el cálculo del rango de una
matrizMétodo de Gauss

• a) Si es necesario, reordenar filas para que
  a11 ? 0 (si esto no fuera posible, aplicar todo
  el razonamiento a a12).
• b) Anular todos los elementos por debajo de
  a11 para ello multiplicar la primera fila por
  a21/a11 y sumar a la segunda, multiplicar la
  primera fila por a31/a11 y sumar a la tercera,
  .... multiplicar la primera fila por am1/a11 y
  sumar a la m-ésima.
• c) Repetir los pasos anteriores basados en a22
  y, después, en cada aii.
• d) El proceso termina cuando no quedan más
  filas o están formadas por ceros.

46
Cálculo del rango de una matriz
Aplicando los procesos anteriores se puede llegar
a una matriz escalonada que indica el número de
filas o columnas independientes y por tanto el
rango de la matriz.
47
Ejemplos del cálculo del rango de una matriz por
el método de Gauss I
48
Ejemplos del cálculo del rango de una matriz por
el método de Gauss II
                                                                                                                                           
                                                                                             
49
Condición para que una matriz sea inversible

Vamos a estudiar si A
es inversible

• Al operar con las filas de A se ha llegado a una
  matriz de rango distinto a la dimensión de la
  matriz A.
• Por tanto una matriz cuadrada A de orden n es
  inversible si y sólo si rg A n.
• De otra forma A es inversible si y sólo si sus
  filas (o sus columnas) son linealmente
  independientes.

50
DETERMINANTES

• DEFINICIÓN
• OPERACIONES
• RANGO
• APLICACIONES

51
Determinantes
Definición Se llama determinante de A al número
que se obtiene mediante la suma de los productos
de un elemento de cada fila y columna precedidos
del signo o según la paridad de la
permutación que indican sus filas y columnas.
Dada una matriz cuadrada
se llama determinante de A, y se representa por
A ó det(A), al número
(Sn es el grupo de las permutaciones del conjunto
1, 2,.. n , e i (s) es la signatura de la
permutación)
52
Determinantes de orden 2 y 3

53
Regla de Sarrus
La regla de Sarrus permite recordar gráficamente
los productos que aparecen en la expresión del
determinante de orden 2 y 3 y sus signos. Los
elementos de la diagonal principal y sus
paralelas, con su signo y los de la diagonal
secundaria y sus paralelas cambiadas de signo.
54
Aplicaciones a la regla de Sarrus
det(A) 3 . (2) . (4)
4 . (3) . 1
5 . (1) . 2
1 . (2) . 2
(1) . (3) . 3
5 . 4 . (4)
24 12 10 4 9 80
77
55
Cálculo de determinantes usando desarrollo por
los elementos de una fila o columna

• Se llama menor Mij de la matriz A al determinante
  de la matriz que se obtiene al suprimir en A la
  fila i-ésima y la columna j-ésima.
• Se llama adjunto Aij del elemento aij de la
  matriz A al número Aij (1)ijMij.

56
Ejemplos desarrollos de un determinante de orden
3
Desarrollo por primera columna de un determinante
de orden 3
Desarrollo por tercera fila de un determinante de
orden 3
57
Determinante de cualquier orden
El determinante de la matriz A de orden n se
puede obtener multiplicando los elementos de una
fila o columna por sus respectivos adjuntos det
(A) ai1 . Ai1 ai2 Ai2 ... ain . Ain
sería el desarrollo por la i-ésima fila det (A)
a1j . A1j a2j A2j .. . amj . Amj sería
el desarrollo por la j-ésima columna
34
1 3 6 5 1 1 0 (1)
58
Cálculo inmediato de determinantes (I)
I. El determinante de una matriz con dos filas o
columnas proporcionales es cero.
II. El determinante de una matriz con una fila o
columnas nulas es cero.
59
Cálculo inmediato de determinantes (II)
III. El determinante de una matriz en que una
fila o columna depende linealmente de otras filas
o columnas es cero.
IV. El determinante de una matriz triangular es
igual al producto de los elementos de su diagonal
principal.
60
Cálculo inmediato de determinantes (III)
V. El determinante de la matriz unidad es 1

61
Propiedades operaciones con filas y columnas (I)
I. Si se multiplican los elementos de una fila o
columna de una matriz por un número el
determinante de la matriz se multiplica por ese
número.
II. Si se intercambian entre sí dos filas o dos
columnas de una matriz, su determinante cambia de
signo.
62
Propiedades operaciones con filas y columnas (II)
III. Al sumar a una fila o columna una
combinación lineal de las otras filas o columnas,
respectivamente, el valor del determinante no
varía.

63
Determinantes de operaciones con matrices (I)
I. El determinante del producto de dos matrices
cuadradas y multiplicables es igual al producto
de los determinantes de cada una de ellas.
II. El producto de los determinantes de dos
matrices inversas es 1.
64
Operaciones con matrices (II)
III. Al trasponer una matriz su determinante no
varía.
VI. Si se multiplica una matriz cuadrada de
orden n por un número, el nuevo determinante es
igual al anterior multiplicado por la potencia
n-ésima del número.
65
Operaciones con matrices (III)
V.- Si una fila o columna es suma de varios
sumandos, se descompone en tantos determinantes
como sumandos haya
66
Rango de una matriz por determinantes I
Se llama menor de orden p de una matriz al
determinante que resulta de eliminar ciertas
filas y columnas hasta quedar una matriz cuadrada
de orden p. Es decir, al determinante de
cualquier submatriz cuadrada de A (submatriz
obtenida suprimiendo alguna fila o columna de la
matriz A).
En una matriz cualquiera A mn  puede haber
varios menores de un cierto orden p dado.
Definición
El RANGO (o característica) de una matriz es el
orden del mayor de los menores distintos de cero.
El rango o característica de una matriz A se
representa por rg(A).
Consecuencias
El rango no puede ser mayor al número de filas o
de columnas.
Las filas o columnas de una matriz cuadrada son
linealmente dependientes si y sólo si su
determinante es cero.
67
Algoritmo para el cálculo del rango de una matriz

• El rango de la matriz nula es 0.
• Si la matriz A no es nula rang(A) ? 1.

• Si el determinante de alguna matriz cuadrada de
  orden dos es distinto de cero rang(A) ? 2.

En caso contrario rang(A) 1

• Se añaden a la matriz anterior todas las filas y
  columnas posibles para formar matrices de orden 3.

• Si el determinante de alguna matriz cuadrada de
  orden tres es distinto de cero rang(A) ? 3.

En caso contrario rang(A) 2

• Se añaden a la matriz anterior todas las filas y
  columnas posibles para formar matrices de orden 4.

En caso contrario rang(A) 3

• Si el determinante de alguna matriz cuadrada de
  orden cuatro es distinto de cero rang(A) ? 4.

Y así hasta que no sea posible continuar
68
Obtención de la matiz inversa mediante
determinantes (I)

• La matriz cuadrada A tiene inversa si y sólo si
  A ? 0.

• Se llama Adjunto Ai,j del elemento ai,j al
  determinante del menor Mi,j multiplicado por
  (-1)ij

• Dada la matriz cuadrada A, se llama matriz
  adjunta de A y se representa adj (A), a la
  matriz que se obtiene al sustituir cada elemento
  aij por su adjunto Aij.

69
Obtención de la matiz inversa mediante
determinantes (II)
Esto es fácil probarlo puesto que sabemos que la
suma de los productos de los elementos de una
fila por sus adjuntos es el valor del
determinante, y que la suma de los productos de
los elementos de una fila por los adjuntos de
otra fila diferente es 0
La matriz A tiene inversa ya que det(A) 2 ?
0
70
Calculo de la matriz inversa por el método de los
adjuntos I
71
Calculo de la matriz inversa por el método de los
adjuntos II
72
Cálculo de determinantes por el método de Gaus

• El determinante de una matriz se obtiene sumando
  los productos de los elementos de una fila o
  columna por sus adjuntos.
• El método de Gauss consiste en, utilizando las
  propiedades anteriores, anular todos los
  elementos de una fila o columna excepto uno
  llamado pivote, y que interesa que valga 1 ó 1,
  para simplificar los cálculos.